冪級(jí)數(shù)及其收斂性

1、冪級(jí)數(shù)及其收斂性第1頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三一般形式為冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過(guò)變量代換 y = x - x0 方法化為式 .一、冪級(jí)數(shù)及其收斂性第2頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的，否則稱為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).例如冪級(jí)數(shù)缺 x 的奇次冪，叫缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，又如是不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).第3頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三定理 如果 該冪級(jí)數(shù)收斂;該冪級(jí)數(shù)發(fā)散.記作 R , R=. 即第4頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 因?yàn)樗灰欢ㄊ钦?xiàng)級(jí)數(shù)，證 若將 x 看成是一個(gè)

2、確定的值，那么就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)， 為此，我們可對(duì)冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值，得這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù).運(yùn)用比值審斂法.因?yàn)榈?頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三也就是說(shuō)顯然，此時(shí)所給冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值越來(lái)越大，一般項(xiàng)不趨近于零 . 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知該冪級(jí)數(shù)發(fā)散.因此它必然收斂 .第6頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 可運(yùn)用上述定理求收斂半徑例 2 試求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 .解 所給的冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的， 它是發(fā)散的.此為調(diào)和級(jí)數(shù)，第7頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三第8頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 例

3、3求冪級(jí)解所給冪級(jí)數(shù)缺少 x 的奇次冪項(xiàng)， 對(duì)此正項(xiàng)級(jí)數(shù)利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑 R.是一個(gè)缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，第9頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 所求冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 第10頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 冪級(jí)數(shù)收斂 . 例 4 解運(yùn)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法 .第11頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三區(qū)間端點(diǎn)處:當(dāng) x = 0 時(shí)，第12頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三一、 麥克勞林 (Maclaurin) 公式二、 直接展開法三、 間接展開法8.2.2、 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開第13頁(yè)，

4、共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三泰勒 (Taylor) 公式 如果函數(shù) f(x) 在 x = x0有直到 (n + 1) 階的導(dǎo)數(shù)， 則在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有如下公式 :一、 麥克勞林(Maclaurin)公式第14頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 其中稱為拉格朗日型余項(xiàng) . 式稱為泰勒公式 .就得到第15頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 式稱為麥克勞林公式 .冪級(jí)數(shù)我們稱之為麥克勞林級(jí)數(shù) . 那么它是否以函數(shù) f(x) 為和函數(shù)呢 ?第16頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三即那么， 級(jí)數(shù) 收斂于函數(shù) f(x)

5、的條件為若令麥克勞林級(jí)數(shù) 的前n + 1 項(xiàng)和為第17頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 注意到麥克勞林公式 與麥克勞林級(jí)數(shù) 的關(guān)系，可知于是，當(dāng)時(shí)，有反之，若必有第18頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三這表明，麥克勞林級(jí)數(shù) 以 f(x) 為和函數(shù)的充要條件，這樣，我們就得到了函數(shù) f(x) 的冪級(jí)數(shù)展開式 ：第19頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 也表示了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式是唯一的 .它就是函數(shù) f(x) 的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式 .冪級(jí)數(shù) :稱為泰勒級(jí)數(shù) .第20頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三 利用麥克勞林

6、公式將函數(shù) f(x) 展開成冪級(jí)數(shù)的方法，稱為直接展開法 .解例 1試將函數(shù) f(x) = ex 展開成 x 的冪級(jí)數(shù).可以得到二、 直接展開法第21頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三因此我們可以得到冪級(jí)數(shù)顯然，這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 (,+ ) .因?yàn)榈?2頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三注意到，對(duì)任一確定的 x 值，而級(jí)數(shù) 是絕對(duì)收斂的， 因此其一般項(xiàng)當(dāng) n 時(shí)，所以，當(dāng)n 時(shí), 第23頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三由此可知因此有,e)( xxf=確實(shí)收斂于這表明級(jí)數(shù)第24頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47

7、分，星期三解于是可以得到冪級(jí)數(shù)例 2 試將第25頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三且它的收斂區(qū)間為 因?yàn)樗o函數(shù)的麥克勞林公式的余項(xiàng)為所以可以推知第26頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三因此得到第27頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三解而 所以根據(jù)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則，可得例 3 試求函數(shù)三、 間接展開法第28頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三因?yàn)閮缂?jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變， 所以，上式右端級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為 R = 1; 故收斂域?yàn)?1 x 1 . 當(dāng) x = 1 時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂 . 而當(dāng) x = 1 時(shí)該級(jí)數(shù)發(fā)散，第29頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三解 因?yàn)槔?6 試將函數(shù) x 的冪級(jí)數(shù) .展開成第30頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47分，星期三所以且第31頁(yè)，共38頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)47