(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修五第一章《數(shù)列》測試題

1、n n 一、選題1已知數(shù)列n列滿足 a ，列 5 n列且b 8 ，則 7 等于（ ）A24 B C8 D2設(shè)等比數(shù)列和為 S ，且 n n 4 3，若a 1，則（ ）ACa ， a 1 3 a ， 1 3 4Ba ， a a 1 3 2 4a ， 1 3 43已知數(shù)列 n ， +1 ，則數(shù)列n n 的前 n 項(xiàng)和 T ）nA n Bn2 C 4在等差數(shù)列a ，a a 1 3 30，則此數(shù)列前 項(xiàng)等于（ ）A810 B840 C870 D5在 ABC 中，角 , C所對的邊分別為 b c，已知2, b2, c2成等差數(shù)列，則cos B的最小值為（ ）A12BC6已知遞增的等差數(shù)列n 項(xiàng)為 S，

2、1 7， ，對于 ，不等式 1 S S n恒成立，則整數(shù) 的小值是（ ）A1B 2C 7數(shù)列n式a n1 n( ( N*)，若前 項(xiàng)和為 ，項(xiàng)為（ ）AB11C98已知數(shù)列n 項(xiàng)和為 S ，且 a ，則（ ）An列Bn列C a S 9已知橢圓 2 2 1(ab與雙曲線 =n有相同的焦c ,0)和c若 a2 2 m 2 是 am 的比中,n2是 2m2與 2的等差中項(xiàng)則圓的離心率是 )n 1 n n n 1 n n ACB10元 1202 年大利數(shù)學(xué)家昂納波那契以兔子繁殖為例，引“兔子數(shù)列：，1，5， ， a 2 n n （ n *）此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng).若記

3、項(xiàng)為 S ， ）（ n N* ）數(shù)列 2020 an2n an n A B C D11等差數(shù)列n 項(xiàng)和為 ， 235， 360n， ，則 ） n A12整數(shù)數(shù)列nBa C k2 a k k *) 21，則（ ）A數(shù)列n中不可能同時有 和 2019 兩 B的最小值必定為 C 是奇數(shù)時， 二、填題a n n 的小值可能為 13知數(shù)列na ，前 n 項(xiàng)為 S ，且滿 1 n 2 ，若數(shù)列n列則實(shí)數(shù) m 的值范圍_14數(shù) 中已知 ，n sinn n ，記 S 為a 的 項(xiàng)，則S _15列 1，4，的項(xiàng)正負(fù)交替，且 項(xiàng)的絕對值為 1 的有 1 個，2 的 個， 的 個則該數(shù)第 2020 項(xiàng) _16列na

4、 12， 1 2n，則數(shù)列 na n_.等比數(shù)列和 ， ， n 9 6_.18知數(shù)列n 項(xiàng)為 ， ， 1 nn 19數(shù)列 是項(xiàng)數(shù)列且 1 n2n n * ，則a n20 為等差列n 項(xiàng)，若 S ， a 2 7 三、解題n na n n a n na n n a 21知數(shù)列n 項(xiàng)為 滿 ，數(shù)列 n正的等比數(shù)列，滿足b 1，b 3 .（）數(shù)列nn式（） n an ，求數(shù)列n 項(xiàng) T .22知各項(xiàng)為正數(shù)的等比列n 項(xiàng)為 S，若log a , 2, log a 2 2 5成等差數(shù)列， ，列 3 n 值； （）n ，數(shù)列 項(xiàng)為 n2 2（）n的通項(xiàng)公式23知數(shù)列n列，a ， n 和為 2S，數(shù)列n列公比

5、為，且b2 54 ， b 3 3 2.（）數(shù)列nn式（）數(shù)列 ，數(shù)列 和 T .n n n n 24知數(shù)列正數(shù)，記數(shù)列 項(xiàng)為 ，數(shù)列 n n n為 T，且 n， N *.（） 的及數(shù)列n式（）有 nn ，求證： 2 25知等比數(shù)列 n ，并且滿足 ， a ，4成等差數(shù)列（）數(shù)列n式（）數(shù)列 n1b log 3 n，記 為數(shù)列 項(xiàng)和，求使 n2 2 20 成立的正整數(shù) 的小值26知等比數(shù)列 n ， 6a 30.（）n式（） ，設(shè) b 1 （ n *），記數(shù)列 項(xiàng)和 ， S .n n 【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要除 4 4 2 4 4 2 一選題1C解析：【分析】利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)

6、計算 【詳解】 數(shù) 是比數(shù)列na a 2 8 ，又a80 ， a 4 8，又是等差數(shù)列，b 2 7 8 8故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵對正整數(shù)m, p, l，若 p ， n是等差數(shù)列，則a a l，若 n是等比數(shù)列，則a a a m l，特別地若m p ， n是等差數(shù)列，則 2 ， n n是等比數(shù)列，則 a 2 m p2B解析：【分析】首先根據(jù)題中所給的條件S 4 S3，a 1利用等比數(shù)列求和公式求出 ，情況討論求得【詳解】 q ，從而可以得到項(xiàng)之間的大小關(guān).設(shè)等比數(shù)列n q 由 1 可得 a ， 3 若 則 131顯然不成

7、立，所以 ，所以a 131 a 12，即 2 1， 1 因?yàn)?1 2 2 ， 2 1，所以q ，所以 q ，當(dāng)q 時，q 1 ，因?yàn)?則 1 1a 1 1q 以 2 1 q ，a a 所以a ， a 1 3 4，故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列求和公式將已知條件化簡得到aq結(jié)合 1求出 的圍3B解析：【分析】利用倒數(shù)法求出數(shù)列n式進(jìn)而利用裂項(xiàng)相法可求得 T.【詳解】已知數(shù)列 n ， +1 ，在等式 +1 兩邊同時取倒數(shù)得1 1 a 1 ， a a a 1 1 2a ， 所以，數(shù)列 差數(shù)列，且首項(xiàng)為 ，公差為 2，則 ，a ， a an n n 2n 因此， 1 1 1 5

8、 7 1 1 n n 2 n .故選：【點(diǎn)睛】使用裂項(xiàng)法求和時，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被 消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的 4B解析：【解析】數(shù)列前 30 項(xiàng)可看作每三項(xiàng)一，共十組的和，顯然這十組依次成等差數(shù)列，因此和為 165)5A解析：，選 B.解 得 或 ， 解 得 或 ， 【解析】分析：用余弦定理推論得 c B a 2 2 2ac由a 2 b 2 2成等差數(shù)列，可得b2a 2 2 a 2 2 a 2 ，所以 cos ，用重要不等式可得 2 2ac a 2 2 4ac 4ac 詳解：因?yàn)閍2 b 2 c 成等

9、差數(shù)列，所以 2a 2 2 2a 2 2 由余弦定理推論得 2 ac 4 當(dāng)且僅當(dāng) a ，上式取等號故選 A點(diǎn)睛：本題考查等差中項(xiàng)、余弦定理的推論、重要不等式等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及 轉(zhuǎn)化能力利用重要不等式、基本不等式求最值時，一定要判斷能否取相等，不能相等 時，應(yīng)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值6C解析：【分析】先求出等差數(shù)列的 a 和 d ，由等差數(shù)列前 n 項(xiàng)公式得 ， 拆兩項(xiàng)的差，用裂項(xiàng) n n相消法求得和【詳解】 S ，在 n 變化時，求得 M 的圍，得出結(jié)論 S a是等差數(shù)列， a 6 1 2 6，由 a 1 1a a 7 7又 n 是遞增數(shù)列， ，a 2 1 3，S na n ( ( ( 2

10、) 3 3， 1 S1 2 3 1 n ( n 1 n n 1 1 9 1 1 n 4 2 n 4，n n 由不等式 1 S S n恒成立，得M ，最的整數(shù) 故選：【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)公 式，裂項(xiàng)相消法求和，本題屬于中檔題7C解析：【解析】分析：由已知，a n1 n( n n ，利用裂項(xiàng)相消法求和后，令其等于 ，得到所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié).詳解：a n1 n( n n ( )，數(shù)列 項(xiàng) n 1 1 n S ) ) ) n n ，當(dāng) 時，解得 n ，故選 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，在解題的過程中，需要對數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行分

11、析，選擇相應(yīng)的求和方法-錯相減法，之后根據(jù)題的條件，建立關(guān)于 n 的量關(guān)系 式，從而求得結(jié).8D解析：【分析】利用已知條件求出數(shù)列n式再求出n 項(xiàng)和為 ，可判斷四個選項(xiàng)的正誤 【詳解】因?yàn)?a n n ，當(dāng) n 時，a 2a 1 1，解得：a 1，當(dāng) 時，nn ，-得a 2a n nn ， a nn ，所以a n nn為首項(xiàng)， 2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以a 6 ，所以a 6 n ，所以 列， ，故 不確，n S n n 故選項(xiàng) 不確，選項(xiàng) D 正. 故選： D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查了構(gòu)造法，考查了分組求和，屬于 中檔題9D解析：【解析】由題意可知 2n2m2+c

12、2又 m2+n2， m=c c 是 a， 的等比中項(xiàng)，cam ，c，e c 2選 D10解析：【分析】由n n用遞推式可得到值為，b 是等比數(shù)列，再求前 2020 項(xiàng).【詳解】 由題意可知 a n 2 a n 2 n n n n a 2 2 又 a 2 1 2 ，因此 ，故 ，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了通過遞推數(shù)列揭示數(shù)列存在的規(guī)律即等比數(shù)列，還考查了數(shù)列求和，屬于中檔 題11解析：【分析】1 n3 n 1 n3 n 根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前 項(xiàng)公式可得 5 1 52 3，變形可得 3，又由 360 183 177 n n ，變形可得n ，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析可得答.【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列

13、n 235，則 S 5 1 2 3，變形可得 3，又由 360 ， n ，則 a 360 183 ， a n n n n n n ，又由 360n，則 S n 2 2 10 360，解可得 18.故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用等差數(shù)列求和公式求參數(shù)，同時也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計 算能力，屬于中等題12解析：【分析】根據(jù)題意知，數(shù)列 可得結(jié)論【詳解】一都是正整數(shù)，利列舉法直接寫出數(shù)列中的項(xiàng)，進(jìn)而 對于選項(xiàng) A，假設(shè)： 1，則后面依次為，循環(huán)；假設(shè)：a 1，則后面依次為4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2循，綜上，數(shù)列n中不可能同時有 和 2019 兩，故選項(xiàng) A 正確；由選項(xiàng) 知

14、，選項(xiàng) B、 都對；對于選項(xiàng) C，a ， ， ，以 1 2 3 1 ，故選項(xiàng) C 不確故選：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)的求法，考查數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ) 二、填題 4 4 413【分析】利用退一作差法求得再求得根據(jù)列不等式解不等式求得的取值范 圍【詳解】由可得：兩式相減得：兩式相減可得：數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列 數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列將代入及可得：將代入可得要使得恒成立只需要解析： 【分析】利用退一作差法求得a 4( 3) n ，再求得 , a ，據(jù) a a 2 4 3 4列不等式，解不等式求得 的值范圍. 【詳解】由S nn 2n 可： n n n3( n 兩式相減得：a 4

15、 n n an n兩式相減可得：a 4( 3) n 數(shù) a ， a ， a ，.是 等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列 ， a ， ，是 為公差的將 n 代入 2 及a 1可得：a m 2將 2代入a 4 n 2) 得 a 4 m n a 4 2要使得 * ， n n 恒成立只需要a a 1 2 即可 m m m 5 解得 4則 的值范圍是 5 . 故答案為： 【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知 S 求 ，考查數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔. n141010【分析】推導(dǎo)出從而得到數(shù)列是一個以 4 為周期的數(shù)列由此能求出的 值【詳解】數(shù)列中；可以判斷所以數(shù)列是一個以 為周期的數(shù)列故答案為： 1010【點(diǎn)睛】本題考

16、查數(shù)列的求和考查數(shù)列的周性三角函數(shù)性質(zhì)等解析：【分析】推導(dǎo)出 ( n 2，從而得到a ，列 n 是一個以 4 為周期的數(shù)列，由此能求出 的 【詳解】數(shù)列 ， a ， a n sinn n ， ( n 2， a ， a 3 3 ，a sin 2 4 ， 5 5 ， ；可以判斷 ，所以數(shù)列 n是一個以 4 為周期數(shù).2019 ， ) (1 0) 1010 ，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)列的周期性、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生對這 些知識的理解掌握水.15【分析】將絕對值相同的數(shù)字分為一組則每組數(shù)字個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列然后 計算原第 2020 項(xiàng)在這個數(shù)列的第幾項(xiàng)再根據(jù)題意可得【

17、詳解】將絕對值相同的 數(shù)字分為一組則每組數(shù)字個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列因?yàn)閯t 2020 項(xiàng)前共包含解析 【分析】將絕對值相同的數(shù)字分為一組，則每組數(shù)字個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 項(xiàng)在這個數(shù)列的第幾項(xiàng)，再根據(jù)題意可.【詳解】將絕對值相同的數(shù)字分為一組，則每組數(shù)字個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列a ，然后計算原第 2020，因?yàn)?( 63 n 63 ，則 項(xiàng)前共包含 個完整組，且第 63 組后一個數(shù)字為第 項(xiàng)，且第 2016 項(xiàng)的 符號為負(fù)，故 項(xiàng)為第 64 組第 個數(shù)字，由奇偶交替規(guī)則，其為.故答案為： 【點(diǎn)睛】.2 3 4 3 5 2 3 4 3 5 本題考查數(shù)列創(chuàng)新問題，解題關(guān)鍵是把絕對值相同的數(shù)字歸為一組，通過組數(shù)來討論原數(shù)

18、 列中的項(xiàng)，這借助于等差數(shù)列就可完成，本題考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔.16【分析】當(dāng)時作差即可得到再利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；【詳 解】解：因?yàn)?；?dāng)時；得即所以所以所以所以所以所以又所 以當(dāng)時也成立所以故答案為：【點(diǎn)睛】對于遞推公式為一般利用累乘法求出數(shù)解析： 2 【分析】當(dāng) 時， 2 ，作差即可得到a n a n n ，再利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可； 【詳解】解：因?yàn)?1 2n；當(dāng) 時 2 n 減得 a n n n n n ，所以 ，所以 ，所以a n a n n 所以 a ， ， ， ，a n 1 3 n 所以 2 4 a 1 2 1 2 3 n 3 4 5n 2 ，所以 ，又

19、 ，以 1 1 ，當(dāng) 時 也成立，所以 n 故答案為： 【點(diǎn)睛】對于遞推公式為 f 法出數(shù)列的通項(xiàng)公式，對于遞推公式為n f ，一般利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；17【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比從而列出關(guān)系式又接著用表示代 入到關(guān)系式中可求出的值【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前 項(xiàng)和為則成等比且所以 又因?yàn)榧此哉淼霉蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的解析：【分析】 2 n n 2 S 4 6 2 n n 2 S 4 6 6 4根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到 S , S n成等比，從而列出關(guān)系式，又，接著用6表示3，代入到關(guān)系式中，可求出96的值.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列 項(xiàng)為 S ，則 S

20、 成等比，且 0n，所以 S 6 3 3 ，又因?yàn)?即S S，所以1S S6 1 1S S S4 4，整理 得 .故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到S , n 2 n 3 n n成等比18【分析】根據(jù)可得兩式相減可得利用遞推關(guān)系即可求解【詳解】 得當(dāng)時故答為：點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的項(xiàng)與前 項(xiàng)和 的關(guān)系考查了利用遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)屬于中檔題解析：【分析】根據(jù) n n，兩式相減可得an 2 a ( n n，利用遞推關(guān)系即可求. 【詳解】a ， n n， 得an 2 a ( n 2) n，當(dāng) 2時，a 2 2 1，

21、 a 43 a 4 故答案為： 【點(diǎn)睛】，本題主要考查了數(shù)列的項(xiàng)與前 n 項(xiàng)S的關(guān)系，考查了利用遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)，屬于中檔題19【分析】有已知條件可得出時與題中的遞推關(guān)系式相減即可得出且當(dāng)時也2 2 2 2 2 2 成立【詳解】數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列且所以即時兩式相減得所以（）當(dāng)時適合上式所 以【點(diǎn)睛】本題考差有遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式屬于一般題解析 4 【分析】有已知條件可得出a 161， 時a a a ，與題中的遞推關(guān)系式相減即可得出a 時成立 【詳解】數(shù)列a列且 a 1 2 n2n * a 16 所以，即11n 2時 n 兩式相減得n， 所以 a 4 n（ n 2）當(dāng) n 時，a 161適合

22、上式，所以 n【點(diǎn)睛】本題考差有遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于一般題2014【分析】本題先求再求即可解題【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列所以 解得所以故答案為：14【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量法是基礎(chǔ)題 解析：【分析】本題先求 a 、 【詳解】，再求 即解題10解：因?yàn)閿?shù)列列 S 2 7所以 a 7 ，解得 ， 所以a 10 1故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量法，是基礎(chǔ). 三、解題 2 2 211）a nn，b ；（） n 4 .【分析】（）a S S n 可求得數(shù)列，已知條件計出等比數(shù)列 n而可求得等比數(shù) n； n1 （）算得出 4 ，利用裂項(xiàng)求和法可求得.【詳解】（） n 時

23、， 1；當(dāng) 時，a n n n. 滿 2 1 ，所以，對任意的 ，a nn.設(shè)等比數(shù)列n ， q ， b 3 1q6261024 ，解 q ， n 1n n n ；（）c n an n 1 n 4 n 4 n 1 2 1 1 3 1 1 1 1 n 4 4 n .【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（）于等差比數(shù)列，利用公式法直接求和；（）于n n其 n列，n列利用錯位相減法和； （）于n 利分組求和法； 1 （）于 列，其中 a an 求和. n的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法221）q2 ；） b nn.【分析】（）正項(xiàng)的比數(shù)列n本量代換，列方程組解出公比 q；（） n n n ，由題意分析、

24、計算得d n，從而得到 ，用累加法和錯位相減法求出 b .nn 2 n n 2 n 【詳解】（）log , 2,log a 2 1 成等差數(shù)列，log log 2 5 1 5，即a 5 16 ，又 n ，又 7,3 q 4 a 1 解得 或 23(舍.記 n n ，當(dāng) n 2 ， 又d 1也符合上式， d n.而a a ，n nn， n 1 3 n 2n (n 2)， n2 n n兩式相減得 ， .而 也符合上式，故b nn.【點(diǎn)睛】(1) 等（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換；(2)數(shù)求和常用方法：公法倒相加法；裂項(xiàng)相消法；錯相減法231） ， nn ；（）T 2 n.【分析】 （）等

25、差數(shù)d ，根據(jù)已知條求出 、 的，進(jìn)而可求得數(shù)列 n n與n式（）出數(shù)列n式利用分組求和法求得 T.【詳解】 （）等差數(shù)n ，2 n 2 n 則 S 33 1 32a 254 ， 3，則 b 3 2，由b 3 可得 a a 6 2 1 2 ，d ，因此，a n 2n 6 n n ；（） ， n n nT n 2 n n 1 n 2 .【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（）于等差比數(shù)列，利用公式法直接求和；（）于n n其 n列，利用錯位相減法求 n和； （）于n 利分組求和法； （）于 列，其中 aan 求和. n的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法241）a ， a 12 ；（）明見解析【分析】（）

26、知等式令 ，求得 a ，在T n2n S 中 n ，后兩式相減， n得出 a 的遞推關(guān)系，從而可得其通項(xiàng)公式； （） 時由 2n (2 8n ，用放縮法求出 2 3n后可證得不等式成立 【詳解】（） S中令 n 得 3a 2 ，因?yàn)閍 ，以 a ，又由T S得 3 得3 S ) a ，即3 2 ( ) a ，因?yàn)?，以 n n于是有3a n 2) n n ，得3n ann n，所以 n 2 ，n 2 n，又由T 2 S 2，即 2 ) ) ) 2 2，整理得 2 2 ，又 3 3 n 3 3 na 2，所以 ，所以2 21所以n 2 n， N *所以 n通項(xiàng)公式為nn ；（）（） nn n ， 時， n n 2 1 )2 2 n ，所以 2 ，所以 3 1 8 1 ( 7 24 )