復數(shù)的概念及運算-精講版課件

1、(理解復數(shù)的基本概念/理解復數(shù)相等的充要條件/了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義/掌握復數(shù)代數(shù)形式的四則運算/了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義)第十一單元 數(shù)系的擴 推理與證明11.1 復數(shù)的概念及運算一、復數(shù)的有關概念1虛數(shù)單位i(1)它的平方等于1，即i21；(2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2復數(shù)的定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫復數(shù)，a叫復數(shù)的實部，b叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示3復數(shù)的代數(shù)形式：復數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，把復數(shù)表示成abi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式4復數(shù)的分類：對于復數(shù)abi(a

2、，bR)，當且僅當b0時，復數(shù)abi(a、bR)是實數(shù)a；當b0時，復數(shù)zabi叫做虛數(shù)；當a0且b0時，zbi叫做純虛數(shù)5兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等6復平面、實軸、虛軸：如圖，復數(shù)zabi(a、bR)與有序實數(shù)對(a，b)是一一對應關系這是因為對于任何一個復數(shù)zabi(a、bR)，由復數(shù)相等的定義可知，可以由一個有序實數(shù)對(a，b)唯一確定，復數(shù)z對應點的橫坐標是a，縱坐標是b，復數(shù)zabi(a、bR)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)除了原

3、點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)二、復數(shù)的運算1復數(shù)的四則運算法則若復數(shù)z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，則(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.(4)(abi)(cdi) .2復數(shù)的加法乘法運算律(1)z1z2z2z1.(2)(z1z2)z3z1(z2z3)(3)z1z2z2z1.(4)z1(z2z3)(z1z2)z3.(5)z1(z2z3)z1z2z1z3.3虛數(shù)單位i的乘方i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1.(其中nZ)1設a是實數(shù)，且 是實數(shù)，則

4、a等于()A. B1 C. D2答案：B 2在復平面內，復數(shù) 對應的點位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析： 1i，則復數(shù) 對應的點(1，1)在第四象限答案：D3(2010開封高三月考)復數(shù) ()A1 B1 Ci Di解析： 1.答案：A4復數(shù)(1i)3的虛部為()A3 B3 C2 D2解析：(1i)32i(1i)22i.則復數(shù)(1i)3的虛部為2.答案：D5復數(shù) 的值是_解析： 答案： 1. 根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式，通過其實部和虛部可判斷一個復數(shù)是實數(shù)，還是虛數(shù)2復數(shù)zabi，aR，bR與復平面上的點Z(a，b)是一一對應的，通過復數(shù)z的實部和虛部可判斷出其對應點在復平面上

5、的位置【例1】已知復數(shù)z與(z2)28i均是純虛數(shù)，則z_.解析：設zai，aR且a0，則(z2)28i4a2(4a8)i.(z2)28i是純虛數(shù)，4a20且4a80. 解得a2.因此z2i. 答案：2i變式1. 復數(shù)z (mR，i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點不可能位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：解法一：z顯然 0與 0不可能同時成立，則z 對應的點不可能位于第一象限解法二：z 設x ，y ，則2xy20又直線2xy20不過第一象限，則z 對應的點不可能位于第一象限答案：A復數(shù)的加減乘法運算類似于多項式的加減乘法運算，而復數(shù)的除法是通過分母的實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法

6、運算【例2】已知z1i， 1i，求實數(shù)a、b的值解答：由 1i，把z1i代入得 1i， 1i.(ab)(a2)i(1i)i1i， 得變式2. 求值：(1) (2) 解答：(1)原式 (2)設 ，則31， i. 原式(i)88(1i)862(2i)4162 1. 利用代數(shù)形式進行復數(shù)的乘方運算一般方法就是利用二項式定理展開2在進行復數(shù)乘方運算時要注意以下特殊結論的應用：(1)虛數(shù)單位i的乘方；(2)(1i)22i；(3)1的三次虛根 的乘方【例3】(1)復數(shù)( )10的值是()A1 B1 C32 D32解析：本小題主要考查復數(shù)的運算，以及虛數(shù)單位的性質 答案：A(2)復數(shù) 的值是()A16 B1

7、6 C D. 解析：本小題主要考查復數(shù)的運算. 答案：A【方法規(guī)律】1復數(shù)可以用代數(shù)形式，復平面中的點表示，還可以用三角形式和向量表示等，要注意數(shù)形結合思想方法的運用2可以用復數(shù)相等的定義，將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題來解決3一般兩個復數(shù)不存在大小關系(除非兩個復數(shù)都是實數(shù))這也是復數(shù)與實數(shù)的區(qū)別之一在數(shù)系擴充后有關實數(shù)的一些結論在復數(shù)范圍內未必成立如實數(shù)中a2b20的充要條件是ab0，在復數(shù)集中不一定成立4復數(shù)的加、減、乘法運算類似多項式的運算，虛數(shù)單位的乘方結果呈周期性的變化，復數(shù)的除法通過分母實數(shù)化轉化為乘法運算5對于簡單的復數(shù)乘方運算，可以利用二項式定理進行運算，特殊的可利用：(1)(1i)22i；(2)若 ，則3n1，3n1，3n2 ，nN.6在復數(shù)集中分解因式，對于x的多項式，都可分解為x的一次因式，分解因式與對應方程解的關系與實數(shù)集中分解因式與對應方程解的關系是一樣的7可利用復數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)復數(shù)相等的定義進行復數(shù)的開平方運算. (本題滿分4分)已知 1ni，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則mni等于()A12i B12i C2i D2i【答題模板】解析：由 1ni，