大物 17 簡諧振動(dòng)

1、1第17章 振動(dòng)12振動(dòng) 任一物理量在某一定值附近往復(fù)的變化。機(jī)械振動(dòng) 物體在其穩(wěn)定平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。周期和非周期振動(dòng)例如：一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)等.其運(yùn)動(dòng)形式有直線、平面和空間振動(dòng)。171 簡諧振動(dòng)23 物體振動(dòng)時(shí), 若決定其位置的坐標(biāo)按余弦（或正弦）函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化,這樣的振動(dòng)稱為簡諧振動(dòng)。諧振子 作簡諧運(yùn)動(dòng)的物體。簡諧運(yùn)動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)合成分解一、簡諧振動(dòng)171 簡諧振動(dòng)34彈簧振子的振動(dòng)產(chǎn)生振動(dòng)的原因：彈性恢復(fù)力、慣性。自由振動(dòng)：物體只在彈性恢復(fù)力作用下所作的振動(dòng)。45（1）受力特點(diǎn)線性恢復(fù)力（2）動(dòng)力學(xué)微分方程令56 簡諧運(yùn)動(dòng)的微分方程 簡諧運(yùn)動(dòng)的

2、運(yùn)動(dòng)方程速度加速度67圖線表示法78簡諧運(yùn)動(dòng)的三項(xiàng)基本特征 討論 891.振幅2.周期、頻率彈簧振子周期周期圖二、簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位由初始條件決定。910周期頻率角頻率 周期和頻率取決于振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)。（2 s 內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)）10113.相位物理意義 描述質(zhì)點(diǎn) t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相位在 內(nèi)變化, 質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)； 初相位 描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 兩個(gè)振動(dòng)之間的相位之差 。4.相位差1112 （1）對同一簡諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間。1213x2超前同步反相 （2）對于兩個(gè)同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它們間步調(diào)上的差異。1314利用初始條件三

3、、振幅和初相的確定 得 振幅和初相 1415例1 物體沿 x 軸作諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s，當(dāng) t = 0時(shí)，物體的坐標(biāo)為6cm，且向x 軸正方向運(yùn)動(dòng)，求(1)初相；(2) t=0.5s 時(shí)，物體的坐標(biāo)、速度和加速度；(3) 物體在平衡位置，且向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)的初相， 并寫出運(yùn)動(dòng)方程。解 設(shè)選向右為x軸的正方向，并設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為1516又當(dāng) t=0 時(shí)：x0= 6cm，v0 0。或因?yàn)?v0 0，所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為(1) 根據(jù)題意知：A=12cm,1617負(fù)號表示 t=0.5s 時(shí)，物體的速度和加速度方向皆與 x 軸正方向相反。(2) t =0.5s 時(shí)，坐標(biāo)、

4、速度和加速度分別為1718或因?yàn)関00，所以運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為(3) 根據(jù)題意，當(dāng)t=0時(shí)：x0=0，v0 0，將這些條件代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得1819l0例2 一勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧, 上端固定, 下端懸掛一質(zhì)量為m的物體M。平衡時(shí), 彈簧將伸長一段距離st , 稱為靜止變形, 見圖。如果再用手拉物體, 然后無初速地釋放。解 以物體 M 為研究對象, 它共受重力 P 和彈性回復(fù)力 f 兩個(gè)力的作用。試寫出物體M的運(yùn)動(dòng)微分方程，并確定它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1920當(dāng)物體處于平衡位置時(shí)l0 在運(yùn)動(dòng)過程中，物體所受的合力FR為2021根據(jù)牛頓第二定律，得令簡諧振動(dòng)2122k1k2kk即彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù)為

5、例3 一重為m的物體用兩根彈簧豎直懸掛，各彈簧的勁度系數(shù)標(biāo)明在圖上, 求圖示兩種情況下，系統(tǒng)沿豎直方向振動(dòng)的固有頻率。解 對兩彈簧串聯(lián)情況，彈簧的靜止形變?yōu)?223所以，系統(tǒng)的固有頻率為k1k2kk同理，對兩彈簧并聯(lián)情況 2324例4 單擺的運(yùn)動(dòng)分析。 取逆時(shí)針方向?yàn)榻俏灰频恼颍亓Φ那邢蛄υ诤苄r(shí)，故l擺球的切向加速度2425由牛頓第二定律，得或與彈簧振子的微分方程比較在角位移 很小時(shí), 單擺的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。 2526角頻率周期頻率2627諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)的矢量旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在 x 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。 長度為A，以O(shè)為原點(diǎn)作角速度為的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。2728t 時(shí)刻t=

6、0 時(shí)刻2829旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動(dòng)的對應(yīng)關(guān)系的長度 諧振動(dòng)的振幅 A 諧振動(dòng)的角頻率的角速度 諧振動(dòng)的初相位 | t = 0 與 x 軸的夾角 2930例7 一音叉振動(dòng)的角頻率 =6.28102rad/s，音叉尖端的振幅為1.0mm。試用旋轉(zhuǎn)矢量法求以下三種情況的初相并寫出運(yùn)動(dòng)方程 (1) 當(dāng)t = 0時(shí),音叉尖端通過平衡位置向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)； (2) 當(dāng)t=0時(shí), 音叉尖端在 x 軸的負(fù)方向一邊且位移具有最大值; (3) 當(dāng) t = 0時(shí),音叉尖端在 x 軸的正方向一邊，離開平衡位置距離為振幅之半，且向平衡位置運(yùn)動(dòng) 。 = 3/2解 (1) 根據(jù)題意，t = 0時(shí),旋轉(zhuǎn)矢量的位置如圖所示。

7、3031 = = /3(2) t = 0時(shí), 旋轉(zhuǎn)矢量的位置如圖所示。 (3) t = 0時(shí),旋轉(zhuǎn)矢量的位置如圖所示。 3132例8 兩質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作同方向同振幅的諧振動(dòng), 其周期均為5s，當(dāng)t = 0時(shí), 質(zhì)點(diǎn)1在 處向 x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，而質(zhì)點(diǎn)2在 -A處。試用旋轉(zhuǎn)矢量法求這兩個(gè)諧振動(dòng)的初相差, 以及兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過平衡位置的時(shí)刻 。解 兩質(zhì)點(diǎn)的諧振動(dòng)方程分別為 3233向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng), 其旋轉(zhuǎn)矢量 A1如圖所示。質(zhì)點(diǎn)1在 t = 0 時(shí)，由圖得初相角 1 = /4 同理, 旋轉(zhuǎn)矢量 A2 如圖所示。初相角 2 = 兩質(zhì)點(diǎn)的初相差 2 - 1 = - /4 = 3/4質(zhì)點(diǎn)2的相位比質(zhì)

8、點(diǎn)1的相位超前 3/4 。3334 由圖得，質(zhì)點(diǎn)1第一次經(jīng)過平衡位置的時(shí)刻為 質(zhì)點(diǎn)2第一次經(jīng)過平衡位置的時(shí)刻為t1 = T/8 = 0.625s t2 = T/4 = 1.25s 3435諧振動(dòng)的能量以彈簧振子為例設(shè)彈簧原長處彈性勢能為零3536 彈性回復(fù)力是保守力，作簡諧振動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。機(jī)械能動(dòng)能勢能3637平均動(dòng)能平均勢能 諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢能和平均動(dòng)能相等。37一、同方向同頻率諧振動(dòng)的合成17.6 諧振動(dòng)的合成方法一 解析法38令其中39方法二 旋轉(zhuǎn)矢量法40（1）相位差 討論相互加強(qiáng)41（2）相位差相互削弱42一般情況相位差相互加強(qiáng)相互削弱相位差43合成諧振動(dòng)的振幅求合成諧振動(dòng)的初相位、振幅和振動(dòng)方程。 1 = 0， 2 = ，A1=4cm，A2=2cm例1 質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與的兩個(gè)諧振動(dòng)解 合成運(yùn)動(dòng)仍是諧振動(dòng) 44合成諧振動(dòng)的初相 合成諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為旋轉(zhuǎn)