《微積分(下)》多元函數(shù)微分學(xué)演習(xí)題-參考謎底

1、 多元函數(shù)微分學(xué)一、二元函數(shù)的極限專(zhuān)題練習(xí)：1.求以下二元函數(shù)的極限:(1) (2) (3) (4) 解: (1) 當(dāng)時(shí)，因此 。 (2) 當(dāng)時(shí)，因此，。(3) 當(dāng)時(shí)，因此，。(4) 當(dāng)時(shí)，因此，。2證明：當(dāng)時(shí)，的極限不存在。證明: 取，那么 顯然此極限值與k的取值相關(guān)，因此當(dāng)時(shí)，的極限不存在。二、填空題3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. ； 8. 9. ；10. 11. .三、選擇題 12.C 13.D 14.D四、計(jì)算與應(yīng)用題15. (1) , 求； (2) , 求；解： (1) ,， 因此，。(2) ,， 因此， 16.解： ，17. 解： ， ， ， 18.，求。解 ；19.

2、設(shè)函數(shù) ，求 解：20.解：， 21.計(jì)算以下函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù):(1) ； (2) ；解: (1) , ， 。 (2) ,; 。22求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù):(1) ，求；(2) ，求；解: (1) ,;(2) ,;23求以下方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ; (2) ; (3) ; (4) .解：(1) 方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 因此，所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。(2) 方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 ， 因此，所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。(3) 方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 因此，所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。(4) 方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 因此，所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。24.設(shè) 由方程 確定，求 解：令 ， 所以25求以下函數(shù)的極

3、值，并確定其性質(zhì)(1) ；(2) ；(3) ； 解: (1)由 可得駐點(diǎn)(0，0)和(1,1)，又，因此在駐點(diǎn)(0，0)處，且滿(mǎn)足 因此在駐點(diǎn)(0，0)處函數(shù)無(wú)極值。在駐點(diǎn)(1,1)處，又，且滿(mǎn)足，因此在駐點(diǎn)(1,1)處函數(shù)取得極小值-1。(2) 由可得惟一駐點(diǎn)(1，1)，又，因此在駐點(diǎn)(1，1)處，且滿(mǎn)足，, 因此在駐點(diǎn)(1，1)處函數(shù)極小值2。(3) 由可得惟一駐點(diǎn)(-2, 0)。又 ，因此在駐點(diǎn)(1，1)處， ，且滿(mǎn)足，, 因此在駐點(diǎn)(-2, 0)處函數(shù)極小值。26求以下函數(shù)的條件極值： (1) ； (2) ；(3) ；解：(1) 由得駐點(diǎn)(0，0)和(2，2)， 又因?yàn)?，從而在駐點(diǎn)處

4、: 因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(1，1)處取得極大值1。(2) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 由得駐點(diǎn)(2，2，-2)，又因?yàn)?，從而在駐點(diǎn)處 因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(2，2)處取得極小值3。(3) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 由得駐點(diǎn)(2，2，4)，又因?yàn)?，從而在駐點(diǎn)處 因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(2，2)處取得極小值4。27求以下函數(shù)的最值：(1) ； (2) ；(3) ；解：(1)由得駐點(diǎn)(0，0)和(2，2)， 又 從而在駐點(diǎn)(0，0)處: 且因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(0，0)處取得極大值0;在駐點(diǎn)(2，)處: 且因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(2，2)處無(wú)極值; 在邊界上，原函數(shù)化為因此 在邊界上，原函數(shù)化為因此在邊界上，原函數(shù)化為由可知此時(shí)的駐點(diǎn)為 又因?yàn)橐虼?又 因此在邊界上，函數(shù)滿(mǎn)足在邊界上，函數(shù)化為由可知此時(shí)的駐點(diǎn)為 又因?yàn)橐虼?又 因此在邊界上，函數(shù)滿(mǎn)足，綜上所述, 原函數(shù)的最大值為z(4,1)=7,最小值為(2) 由得惟一駐點(diǎn)(1/2,1/2)， 又 從而在駐點(diǎn)(1/2,1/2)處: 且因此原函數(shù)在駐點(diǎn)(1/2,1/2)處取得極小值-1/2;在邊界上，原函數(shù)化為設(shè)那么因此 綜上所述，原函數(shù)的最大值為最小值為(3) 由得惟一駐點(diǎn)(1,1)， 又 從而在駐點(diǎn)(1/2,1/2)處: 且因