專升本《高等數(shù)學(xué)》精選練習(xí)強化試卷12

1、專升本高等數(shù)學(xué)精選練習(xí)強化試卷12選擇題1.半圓形閘門的半徑為R，將其垂直放入液體中，且直徑與液面相齊。設(shè)液體的密度，若坐標(biāo)原點取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為（ C ）. （A）； （B）； （C）； （D）。2.如圖，x軸上有一線密度為，長度為L的細桿，有一質(zhì)量為m的質(zhì)點到桿右端的距離為a ，已知引力系數(shù)為k，則質(zhì)點和細桿之間引力的大小為（ A ）（A）； （B）； （C）；（D）。解：用微元法，在，其質(zhì)量，則質(zhì)點和這一小段細桿之間引力，。故應(yīng)選（A）。3.雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為（ A ）（A）；（B）；（C）；（D）.解：雙紐線的極坐標(biāo)方程為，。 由對稱性可知，

2、所求面積為。二、填空題1.如圖，由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積為。 解：。2.設(shè)曲線由確定，則該曲線對應(yīng)于的弧長為。解：， ，。3.函數(shù)在上的平均值. 解：。三、計算下列廣義積分1.解:2.解法1:解法2:.3. 解：是瑕點，令，則 。四、解答題求曲線，所圍成的平面圖形的面積S，并求 該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：所求面積，。 。 平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ， 平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 ， 故所求旋轉(zhuǎn)體的體積。解法2：（薄殼法） 。2設(shè)有曲線，過原點作其切線，試求：切線方程；此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積

3、。解：設(shè)切點為，則過原點的切線方程為，再以點代入，解得， 則切線方程為。 體積 表面積 。3半徑為R的球沉入水中，它與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，問需要做多少功？解法1：如圖建立坐標(biāo)系 則圓的方程為。 取積分變量為x，積分區(qū)間為，下面研究厚度為dx部分的球所作的功。 由于球的比重與水相同，因此這部分的球由x處提到水面不作功。而將球從水中取出，這部分球?qū)⑾蛏咸崞穑朔亓ψ鞴?，從?故。解法2：如圖建立坐標(biāo)系，則圓的方程為，積分區(qū)間為， .5.設(shè)在連續(xù)，且在內(nèi)有，證明在內(nèi)存在唯一的，使曲線與兩直線，所圍成的面積A1是曲線與兩直線，所圍成的面積A2的三倍。證明思路：要證存在唯一的，使，等價于證明存在唯一的，使。證明：先證存在性。設(shè)輔助函數(shù)，則。 ，在上