近世代數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)

1、近世代數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)第1頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三第一章 基本概念集合 映射代數(shù)運(yùn)算結(jié)合律交換律分配律一一映射同態(tài)同構(gòu)、自同構(gòu)等價(jià)關(guān)系與集合分類(lèi)第2頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三第二章 群論群的定義單位元、逆元、消去律有限群的另一定義群的同態(tài)變換群置換群循環(huán)群子群子群的陪集不變子群、商群同態(tài)與不變子群第3頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三第三章 環(huán)和域加群、環(huán)的定義交換律、單位元、零因子、整環(huán)除環(huán)、域無(wú)零因子環(huán)的特征子環(huán)、環(huán)的同態(tài)多項(xiàng)式環(huán)理想剩余類(lèi)環(huán)、同態(tài)與理想最大理想第4頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，1

2、8點(diǎn)43分，星期三集合的定義若干個(gè)固定事物的全體叫做一個(gè)集合 簡(jiǎn)稱集元組成一個(gè)集合的事物叫做這個(gè)集合的元素 有時(shí)簡(jiǎn)稱元一個(gè)沒(méi)有元素的集合叫做空集合集合的積 令A(yù)1 A2，An是n個(gè)集合，有一切從A1 A2，An里順序取出的元素組（a1 ，a2， a3，an）（aiAi）所做成的集合叫做集合 的積子集 若集合b的每一個(gè)元素都屬于集合a，我們說(shuō)，b是a的子集交集 集合a和集合b的所有共同元所組成的集合就叫做a和b的交集并集 由至少屬于集合a和b之一的一切元素組成的集合就叫做a和b的并集第5頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三映射映射的定義 假如通過(guò)一個(gè)法則，對(duì)于任何一個(gè)A1A

3、2An的元都能得到一個(gè)唯一的D的元d，那么這個(gè)法則叫做集合A1A2An到集合D的一個(gè)映射 像 逆象， 映射的相同 效果相同就行 第6頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三代數(shù)運(yùn)算定義一個(gè)AB到D的映射叫做一個(gè)AB到D的代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算是一種特殊的映射 描寫(xiě)它的符號(hào)，也可以特殊一點(diǎn)，一個(gè)代數(shù)運(yùn)算我們用。來(lái)表示二元運(yùn)算 假如。是一個(gè)AA到A的代數(shù)運(yùn)算，我們說(shuō)集合A是閉的 二元運(yùn)算第7頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三分配律第一分配律 b（a+b）=（ba)+(ba）第二分配律 （a1+a2）b=（a1b）+（a2b）第8頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20

4、日，18點(diǎn)43分，星期三同態(tài)同態(tài)映射 一個(gè)A到的映射l，叫做一個(gè)代數(shù)運(yùn)算和來(lái)說(shuō)，A到的同態(tài)映射，假如，在之下不管a和b是A的哪兩個(gè)元，只要aa，bb 就有a b a b假如運(yùn)算1和1來(lái)說(shuō)，有一個(gè)A到A的滿射的同態(tài)映射存在，同態(tài)滿射同構(gòu)映射 一一映射的同態(tài)映射就是一個(gè)同構(gòu)映射 自同構(gòu)第9頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三等價(jià)關(guān)系與等價(jià)類(lèi)集合的等價(jià)關(guān)系 假如滿足以下規(guī)律反射律；aa，不管a是A的哪個(gè)元。，對(duì)稱律:abba ，推移律：ab，bc=ac同余關(guān)系第10頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三群的定義群的第一定義一個(gè)不空集合G對(duì)于乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)

5、做成一個(gè)群，假如G對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的結(jié)合律成立：a（bc）=（ab）c對(duì)于G的任意的三個(gè)元a，b，c都對(duì)；對(duì)于G的任意兩個(gè)元a，b來(lái)說(shuō)，方程ax=b 和ya=b都在G里有解群的第二定義 G對(duì)乘法是閉的 結(jié)合律成立：a（bc）=(ab)c對(duì)于G里的任意元都對(duì) G里至少存在一個(gè)左單位元e，能讓ea=a 對(duì)G中的任意a都成立 對(duì)于G的每個(gè)元a，在G里至少存在一個(gè)左逆元a 能讓aa=e 第11頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三單位元、逆元、消去律單位元 一個(gè)群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的單位元逆元 一個(gè)群的每一個(gè)元a來(lái)說(shuō)，在群里存在一個(gè)而且只存在一個(gè)元a，能使a

6、a=aa=e消去律 若 ax=ax，那么x=x 若 ya=ya，那么y=y第12頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三群的同態(tài)定理 假定G與G對(duì)于它們的乘法來(lái)說(shuō)同 態(tài)，那么G也是一個(gè)群注意 假如G和G同態(tài)，那么不一定是群定理2 假定G和G是兩個(gè)群。在G到G的一個(gè)同態(tài)映射下，G的單位元e的象是G的單位元，G的元a的逆元a的象是a的象的逆元在一個(gè)同構(gòu)映射下，兩個(gè)單位元互相對(duì)應(yīng)，相互對(duì)應(yīng)的元的逆元相互對(duì)應(yīng)。第13頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三變換群定理1 假定G是集合A的若干個(gè)變換所做成的集合，并且G包含恒等變換，若是對(duì)乘法（：aa，：aa 那么a（a

7、)）來(lái)說(shuō)做成一個(gè)群，那么G只包含A的一一變換。變換群 一個(gè)集合的若干個(gè)一一變換對(duì)于以上規(guī)定的乘法做成的一個(gè)群叫做A的一個(gè)變換群定理2 一個(gè)集合的所有一一變換做成一個(gè)變換群定理3 任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu) 證明，假定G是一個(gè)群，G的元是a，b，c 我們?cè)贕里任意取出一個(gè)元x來(lái)，那么x：ggx=gx是集合的一個(gè)變換。因?yàn)榻o了G的任意元g，我們能夠得到一個(gè)唯一的G的元gx。這樣由G的每個(gè)元x，可以得到G的一個(gè)變換x。我們把所有這樣的來(lái)的G的變換放在一起，做成一個(gè)集合G= a，b，c 那么xx是G到G的滿射，但消去律xy=gxgy告訴我們?nèi)魓y，那么x y，所以xx是一一映射。在進(jìn)一步看，是同構(gòu)映

8、射 所以任何群和一個(gè)變換群同構(gòu) 第14頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三置換群一個(gè)有限集合的一一變換叫做置換一個(gè)有限集合的若干個(gè)置換群做成的一個(gè)群叫做置換群。定義 一個(gè)包含n個(gè)元的集合的全體置換做成的群叫做對(duì)稱群 sn定理 1 n次對(duì)稱群sn的階是n！定義 sn的一個(gè)把a(bǔ)i1變到ai2而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個(gè)k-循環(huán)置換定理2 每一個(gè)n個(gè)元的置換都可以寫(xiě)成若干個(gè)互相沒(méi)有共同數(shù)字的循環(huán)置換的乘積。定理3 每個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu) 第15頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三循環(huán)群定義 若一個(gè)群G的每一個(gè)元都是G的某個(gè)固定元

9、a的乘方，我們就把G叫做循環(huán)群，我們也可以說(shuō)，G是由元a生成的，并且用符號(hào)G=（a）來(lái)表示。a叫做G的一個(gè)生成元定理 假定G是一個(gè)由元a所生成的循環(huán)群。那么G的構(gòu)造完全可以由a的階來(lái)決定a的階若是無(wú)限，那么G與整數(shù)加群同構(gòu)a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n，那么G與n的剩余類(lèi)加群同構(gòu)第16頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三子群定義 一個(gè)群的一個(gè)子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的乘法來(lái)說(shuō)做成一個(gè)群做成子群的必要條件; ,a，bH=abHaH=a H定理 做成子群的充分必要條件a，bH=ab H一個(gè)群的不空有限子集H作成G的一個(gè)子群的充分必要條件是：a，babH第17頁(yè)，共27頁(yè)

10、，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三子群的陪集ab 當(dāng)且僅當(dāng)ab H時(shí) 是一種等價(jià)關(guān)系ab當(dāng)且僅當(dāng)baH是也是等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系的類(lèi)是右陪集Ha第一種情況由所決定的類(lèi)是左陪集第二種情況一個(gè)右陪集的個(gè)數(shù)和左陪集的個(gè)數(shù)相等它們或者都是無(wú)限大或者都是有限并且相等第18頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三子群的陪集續(xù)指數(shù) 一個(gè)群的子群的右陪集的個(gè)數(shù)叫做H在G里的指數(shù)假定H是一個(gè)有限群G的子群，那么H的階n和它在G里的指數(shù)j都能整除G 的階N 并且N=nj一個(gè)有限群的任一元a的階n都能整除G的階第19頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三不變子群、商群定

11、義 一個(gè)群G是一個(gè)子群N叫做一個(gè)不變子群，假如對(duì)于G的每個(gè)元a來(lái)說(shuō)，都有Na=aN 一個(gè)不變子群的一個(gè)左(右)陪集叫做N的一個(gè)陪集一個(gè)群G的一個(gè)子群是一個(gè)不變子群的充要條件是：aNa=N 對(duì)于任意元a都成立充要條件 aG，nN=anaN商群 一個(gè)不變子群N的陪集所做成的群叫做一個(gè)商群 G/N 有限群時(shí) G的階/N的階=G/N的階第20頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三同態(tài)、不變子群一個(gè)群G同他的每一個(gè)商群G/N同態(tài)同態(tài)映射的核 ：假定 &是一個(gè)群G到另一個(gè)群G的一個(gè)同態(tài)映射。G的單位元e在&之下的所有逆象所做成的G的子集就叫做同態(tài)映射的核 。定理 假定 G 與G是兩個(gè)群

12、，并且G與G同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)映射的核N是G的一個(gè)不變子群，且G/NG第21頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三加群、環(huán)的定義加群 一個(gè)交換群叫做一個(gè)加群環(huán) 一個(gè)集合叫做一個(gè)環(huán) 1 R是加群 對(duì)于一個(gè)叫做加法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)做成一個(gè)交換群2 R對(duì)于另一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)是閉的3 這個(gè)乘法適合結(jié)合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c 是R的哪三個(gè)元兩個(gè)分配律都成立 a（b+c）=ab+ac （b+c）a=ba+ca第22頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三交換律、單位元、零因子、整環(huán)交換環(huán) 一個(gè)環(huán) 假如 ab=ba不管a b是環(huán)的哪兩個(gè)元單位元

13、 ea=ae=a 一個(gè)環(huán)未必有單位元零因子 若環(huán)里a0，b0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子整環(huán) 一個(gè)環(huán)叫做整環(huán) 如果 1.乘法適合交換律：ab=ba.R有單位元1：1a=a1=a R沒(méi)有零因子ab=0=a=0或b=0第23頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三除環(huán)、域除環(huán) 1， R至少包含一個(gè)而不等于零的元 2，R有單位元 3，R的每一個(gè)不等于零的元有一個(gè)逆元域 一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)里所有不等于零的元對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都一樣的一個(gè)無(wú)零因子的環(huán)里的非零元的相同的階叫做環(huán)的特征整環(huán) 除環(huán) 域 的特征或是無(wú)限大 或是一個(gè)素?cái)?shù)第24頁(yè)，共27頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)43分，星期三子環(huán)、環(huán)的同態(tài)一個(gè)非空子集作成子環(huán)的充要條件是，a，bS=a-bS abS一個(gè)除環(huán)