數(shù)學(xué)高斯函數(shù)

1、 第一講:高斯函數(shù) 1 第一講:高斯函數(shù) 高斯函數(shù)是數(shù)論中的重要函數(shù),從小學(xué)、初中、高中,直到大學(xué)的各級、各類數(shù)學(xué)競賽均有涉及,是數(shù)學(xué)競賽極獨(dú)特的內(nèi)容. 定義:x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則y=x稱為高斯函數(shù),也叫取整函數(shù).由任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和,即x=x+(01),這里,x稱為x的整數(shù)部分,而,即x-x稱為x的小數(shù)部分,記x=x-x. 函數(shù)性質(zhì):高斯函數(shù)y=x的定義域是R,值域是Z;函數(shù)y=x的定義域是R,值域是0,1);函數(shù)y=x與y=x-x,即y=x的圖像分別為:函數(shù)y=x是一個分段表達(dá)的不減的無界函數(shù),即當(dāng)x1x2時,有x1x2;y=x是一有界、周期為1的非單調(diào)函

2、數(shù); 等式性質(zhì):n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,xR,則=x,特別地,=,=(證明:由x-1xxxnxnxx+1=x) 不等性質(zhì):若xR,則x-1xxx+1;若x,yR,則x+yx+y,且x+yx+y,一般地,若xiR,則,特別地,nxnx,n;若x,yR+,則xyxy,特別地,一般地,若xiR+,則,特別地,xnxn,xn; 厄米特恒等式:若xR,nN6,則x+x+x+x+=nx; 證明:引入輔助函數(shù)f(x)=nx-(x+x+x+x+)f(x+)=nx+1-(x+x+x+x+)=nx+1-(x+x+x+x+1)=f(x)f(x)是一個以為周期的周期函數(shù),而當(dāng)x0

3、,時,直接計算知f(x)=0.故對任意xR,厄米特等式成立. 1.函數(shù)性質(zhì):例1:(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=|x-x+a|存在最大值M(a),則正實(shí)數(shù)a的取值范是 (其中x表示不超過x的最大整數(shù)).解析:設(shè)x+a=n+,其中,nZ,01,則f(x)=|x-x+a|=|n+-a-n|=|-a|;當(dāng)0a時,由-a-a|-a|f(x)無最大值;當(dāng)a時,由-a-a0)有三個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .3.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)某學(xué)校數(shù)學(xué)課外活動小組,在坐標(biāo)紙上某沙漠設(shè)計植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(xk,yk)處,其中x1=1

4、,y1=1,當(dāng)k2時,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 2.求值問題:例2:(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)整數(shù)的末兩位數(shù)是_.解析:由=(1031)2-10313+32-=(1031)2-10313+32-1=1031(1031-3)+8末兩位數(shù)是08.練習(xí)2:1.(2006年上海市TI杯高二年級數(shù)學(xué)競賽試題)有一個根據(jù)某年某月某日計算“星期幾”的有趣公式:d+2.6m-0.2+y+月份123456789101112對應(yīng)的m值111212345678910-2c除以7的余數(shù),

5、其中,c表示年的前兩位數(shù)字(即世紀(jì)),y表示年的后兩位數(shù)字,d表示日,m表示月對應(yīng)的數(shù)字(見表).x表示不于x的最大整數(shù).則2008年6月18日是星期 .2.(2008年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級初試試題)以x表示不超過x的最大整數(shù),試確定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值. (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= .3.(2005年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)設(shè)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),求集合n|n=,1k2004,kN的元素個數(shù). (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)設(shè)a

6、n=+,則= . (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)對正整數(shù)n,設(shè)xn是關(guān)于x的方程nx3+2x-n=0的實(shí)數(shù)根,記an=(n+1)xn(n=2,3,)(x表示不超過x的最大整數(shù)).則(a2+a3+a2011)= . (2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),比如3.14=3,0=0,-3.14=-4.數(shù)列滿足an:an=3n-2,若bn=,則b1+b2+b2007= . 3.求和問題:例3:(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則log21+log22+log23+ 第一講:高斯函數(shù) 3 log22012= .解析:我們來

7、解決一般性問題:設(shè)aN+,且a2,求和loga1+loga2+loga3+loga當(dāng)atkat+1時,logak=t,t=0,1,2,且在區(qū)間at,at+1)中的正整數(shù)有(a-1)at個.并設(shè)amnam+1,n=am+b(bN+),則loga1+loga2+loga3+logan=(a-1)0a0+1a+2a2+(m-1)am-1+mb=(a-1)(m-1)-am-1+mb=a(m-1)-am-1+m(b+1) 回到本題:a=2,由2102012211m=10,由2012-210=2012-1024=988b=988和為(29-2)29+2+10989=18084.練習(xí)3:1.(2008年全國

8、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則log21+log22+log23+log2500= . (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則lg1+lg2+lg3+lg2010= . (2009年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級初試試題)x表示不超過x的最大整數(shù),若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,試確定正整數(shù)n的值. (1991年第二屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)x表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù),則log21+log22+log21991= .2.(1990年第一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)x表示不超過

9、x的最大整數(shù),則+-+-+-+-的值是 . (2012年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年級初賽試題)若x表示不超過x的最大整數(shù),求滿足方程nlg2+nlg5=2012的自然數(shù)n的值.3.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則= . (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)對正整數(shù)x,記m=+,其中k為滿足2kx的最小整數(shù),符號x表示不超過x的最大整數(shù).x與m的差,即x-m稱為正整數(shù)x的“虧損數(shù)”.(如x=100時,m=+=97,x-m=3,因此,數(shù)100的“虧損數(shù)”為3).則“虧損數(shù)”為9的最小正整數(shù)x為_. 4.方程問題:例4:(1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

10、)用x表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),方程lg2x-lgx-2=0的實(shí)根個數(shù)是_.解析:由xx,lg2x-lgx-2=0lg2x-2=lgxlgx-1lgx2lgx=-1,0,1,2;當(dāng)lgx=-1時,lg2x=1lgx=-1;當(dāng)lgx=0時,lg2x=2lgx=,無解;當(dāng)lgx=1時,lg2x=3lgx=;當(dāng)lgx=2時,lg2x=4lgx=2實(shí)根個數(shù)是3.練習(xí)4:1.(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù),集合A=x|x2-2x=3,B=x|2x8,則AB= . (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)設(shè)集合A=x|x2-x=2和B=x|x|2,其中符號x表示不

11、大于x的最大整數(shù),則AB= . (1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西預(yù)賽試題)tanx表示不超過tan的最大整數(shù),則方程tanx=2cos2x的解為 . (2009年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)若a表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù),則方程tanx=2sin2x的解是 .2.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)對于實(shí)數(shù)x,當(dāng)且僅當(dāng)nxn+1(nN+)時,規(guī)定x=n.則不等式4x2-36x+451,設(shè)x=1+,y=lg2+lg3+lgn.則滿足x=y的所有整數(shù)n構(gòu)成的集合為 (a表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)). 6.方程應(yīng)用:例6:(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)一個正數(shù),若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成

12、等比數(shù)列,則該數(shù)為_.解析:設(shè)該數(shù)為x,則(x-x)x=x2x=x(x0);由0 x-x10 x10 x2x=1 第一講:高斯函數(shù) 5 x=.練習(xí)6:1.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)設(shè)a是整數(shù),0b4n+1;若m為偶數(shù),則m2=4k4n+1knkn+1m24n+44n+3;若m為奇數(shù),則m2=4k+14n+1knkn+1m24n+54n+3;綜上m24n+3,即m;特別地,取m=+1,滿足:m24n+1,則m+1=; 因(+)2=2n+1+22n+1+2n=4n+1+;且(+)2=2n+1+22n+1+2(n+1)=4n+3+1,下面的等式=一定能成立嗎？ (1948年第8屆普特

13、南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)如果n為一正整數(shù),試證:+=.2.(1991年第9屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)r是實(shí)數(shù),且滿足條件r+r+r+=546.求100r. (1981年第13屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)試證方程x+2x+4x+8x+16x+32x=12354沒有實(shí)數(shù)解.3.(1989年國家理科試驗(yàn)班入學(xué)考試試題)通項(xiàng)為an=b+d的數(shù)列an:1,3,3,3,5,5,5,5,5,其中每一個正奇數(shù)m恰好連續(xù)出現(xiàn)m次.上述b、c、d是侍定的整數(shù),求b+c+d的值. 8.不等問題:例8:(1981年美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)對正整數(shù)n和一切實(shí)數(shù)x.求證:nx+.解析:為方便,記an=+.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=1

14、時,a1=x,nx=x原不等式成立;假設(shè)當(dāng)k.2.(2005年國家集訓(xùn)隊訓(xùn)試試題)求所有正整數(shù)m、n,使得不等式(m+n)+(m+n)m+m+n(+)對任意實(shí)數(shù)、都成立.3.(2005年國家集訓(xùn)隊選拔考試試題)設(shè)n是任意給定的正整數(shù),x是正實(shí)數(shù).證明:n. 第一講:高斯函數(shù) 1 第一講:高斯函數(shù) 高斯函數(shù)是數(shù)論中的重要函數(shù),從小學(xué)、初中、高中,直到大學(xué)的各級、各類數(shù)學(xué)競賽均有涉及,是數(shù)學(xué)競賽極獨(dú)特的內(nèi)容. 定義:x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).則y=x稱為高斯函數(shù),也叫取整函數(shù).由任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和,即x=x+(01),這里,x稱為x的整數(shù)部分,而,即x-x稱為x的小數(shù)部分

15、,記x=x-x. 函數(shù)性質(zhì):高斯函數(shù)y=x的定義域是R,值域是Z;函數(shù)y=x的定義域是R,值域是0,1);函數(shù)y=x與y=x-x與y=x的圖像分別為:函數(shù)y=x是一個分段表達(dá)的不減的無界函數(shù),即當(dāng)x1x2時,有x1x2;y=x是一有界、周期為1的非單調(diào)函數(shù); 等式性質(zhì):n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,xR,則=x,特別地,=,=(證明:由x-1xxxnxnxx+1=x) 不等性質(zhì):若xR,則x-1xxx+1;若x,yR,則x+yx+y,且x+yx+y,一般地,若xiR,則,特別地,nxnx,n;若x,yR+,則xyxy,特別地,一般地,若xiR+,則,特別地,xn

16、xn,xn; 厄米特恒等式:若xR,nN6,則x+x+x+x+=nx; 證明:引入輔助函數(shù)f(x)=nx-(x+x+x+x+)f(x+)=nx+1-(x+x+x+x+)=nx+1-(x+x+x+x+1)=f(x)f(x)是一個以為周期的周期函數(shù),而當(dāng)x0,時,直接計算知f(x)=0.故對任意xR,厄米特等式成立. 1.函數(shù)性質(zhì):例1:(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)若關(guān)于x的函數(shù)f(x)=|x-x+a|存在最大值M(a),則正實(shí)數(shù)a的取值范是 (其中x表示不超過x的最大整數(shù)).解析:設(shè)x+a=n+,其中,nZ,01,則f(x)=|x-x+a|=|n+-a-n|=|-a|;當(dāng)0a時,由

17、-a-a|-a|f(x)無最大值;當(dāng)a時,由-a-a1-a,因|1-a|-a|f(x)有最大值.故a的取值范是,+).練習(xí)1: 2 第一講:高斯函數(shù) 1.(1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北預(yù)賽試題)設(shè)f(x)=-,且m表示不超過m的最大整數(shù),則f(x)+f(-x)的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(-)+(-)=+-1=0f(-x)=-f(x);設(shè)f(x)=k+,其中,kZ,00)有三個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .解:令g(x)=kx+k,由圖知g(2)1,g(3)1k.3.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)某學(xué)校數(shù)學(xué)課外活動小組,在坐標(biāo)紙上某沙漠設(shè)計植樹方案如下:第k棵

18、樹種植在點(diǎn)Pk(xk,yk)處,其中x1=1,y1=1,當(dāng)k2時,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為 .解:令f(k)=-,則f(k+5)=-=1+-1+=-=f(k),故f(k)是周期為5的函數(shù);計算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由xk=xk-1+1-5f(k)xk-xk-1=1-5f(k)x2008=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+(x2008-x2007)=x1+2007-5f(2)+f(3)+f(2008)=x1+2007-5

19、4001(f(2)+f(3)+f(6)+f(2)+f(3)=3;同理可得y2008=402.所以,2008棵樹的種植點(diǎn)為(3,402). 2.求值問題:例2:(1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)整數(shù)的末兩位數(shù)是_.解析:由=(1031)2-10313+32-=(1031)2-10313+32-1=1031(1031-3)+8末兩位數(shù)是08.練習(xí)2:1.(2006年上海市TI杯高二年級數(shù)學(xué)競賽試題)有一個根據(jù)某年某月某日計算“星期幾”的有趣公式:d+2.6m-0. +-2c除以7的余數(shù),其中,c表示年的前兩位數(shù)字(即世紀(jì)),y表示年的后兩位數(shù)字,d表示日,m表示月對應(yīng)的數(shù)字月份1234567891

20、01112對應(yīng)的m值111212345678910 (見表).x表示不于x的最大整數(shù).則2008年6月18日是星期 .解:因c=20,y=8,d=18,m=4d+2.6m-0.2+y+-2c=18+10.2+8+2+5-40=33(mod7)2008年6月18日是星期三.2.(2008年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級初試試題)以x表示不超過x的最大整數(shù),試確定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值.解:因?yàn)?1,2、3,4,5、62sin1、sin2、sin3(0,1),sin4、sin5(-1,0)sin1= 第一講:高斯函數(shù) 3 sin2=sin3=0,sin4=sin5=-1

21、sin1+sin2+sin3+sin4+sin5=-2. (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= .解:因?yàn)?1,2,3,4,52,62sin1(0,1),cos2(1,0),tan3(1,0),sin4(1,0),cos5(0,1),tan6(1,0)sin1+cos 2+tan 3+sin 4+cos5+tan 6 =0+(-1)+(-1)+(-1)+0+(-1)=-4.3.(2005年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)設(shè)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),求集合n|n=,1k2004,kN的元素個數(shù).解:當(dāng)1,

22、即k44時,=0;當(dāng)12,即45k63時,=1;當(dāng)23,即64k77時,=2;當(dāng)34,即78k89時,=3;當(dāng)45,即90k100時,=4;當(dāng)56,即100k109時,=5;當(dāng)67,即110k118時,=6;當(dāng)78,即119k126時,=7;,集合n|n=,1k2004,kN的元素個數(shù)=1503. (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽試題)設(shè)an=+,則= .解:由kk+an+nn+10,且當(dāng)n2時,f()=n()3+2-n=(-n2+n+1)0 xn(,1)n(n+1)xnn+1an=(n+1)xn=n(a2+a3+a2011)=2013. (2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)x表示不

23、超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),比如3.14=3,0=0,-3.14=-4.數(shù)列滿足an:an=3n-2,若bn=,則b1+b2+b2007= .解:由bn=b5k+r=3k+=3k+(r=0,1,2,3,4)b5k=3k-1,b5k+1=b5k+2=3k,b5k+3=3k+1,b5k+4=3k+2b5k-4+b5k-3+b5k-2+b5k-1+b5k=15k-10b1+b2+b2007=(b1+b2+b5)+(b4015-4+b4015-3+b4015-2+b4015-1+b4015)+(b4015+1+b4015+2)=15-10401+(3401+3401)=(15201-4)401=120741

24、1. 3.求和問題:例3:(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則log21+log22+log23+log22012= .解析:我們來解決一般性問題:設(shè)aN+,且a2,求和loga1+loga2+loga3+loga當(dāng)atkat+1時,logak=t,t=0,1,2,且在區(qū)間at,at+1)中的正整數(shù)有(a-1)at個.并設(shè)amnam+1,n=am+b(bN+),則 loga1+loga2+loga3+logan=(a-1)0a0+1a+2a2+(m-1)am-1+mb=(a-1)(m-1)-am-1+ 4 第一講:高斯函數(shù) +mb=a(m-1)-am-1+m

25、(b+1) 回到本題:a=2,由2102012211m=10,由2012-210=2012-1024=988b=988和為(29-2)29+2+10989=18084.練習(xí)3:1.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則log21+log22+log23+log2500= .解:當(dāng)2tk2t+1時,log2k=t,t=0,1,2,且在區(qū)間2t,2t+1)中的正整數(shù)有2t個.設(shè)f(x)=log2x,注意到29=512,所以,log21+log22+log23+log2500=f(1)+=0+121+222+323+424+525+626+727+8(28-11)=

26、3498. (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則lg1+lg2+lg3+lg2010= .解:因?yàn)?k9lgk=0;10k99lgk=1;100k999lgk=2;1000k2010lgk=3;所以,lg1+ lg2+lg3+lg2010=601+9002+10113=4923. (2009年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級初試試題)x表示不超過x的最大整數(shù),若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,試確定正整數(shù)n的值.解:由log36=log37=log38=1log36+log37+log38=3;log39=log31

27、0=log326=2log39+log310+log326=36;log327=log328=log380=3log327+log328+log380=162;log381=log382=log3242=4log381+log382+log3242=648;3+36+162+648=849;log3243=log3244=log3728=5log3243+log3244+log3728=2430n=474. (1991年第二屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)x表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù),則log21+log22+log21991= .解:當(dāng)log2n為整數(shù)時,log2n=log2n(n=20,2

28、1,210);當(dāng)log2n為整數(shù)時,log2n=log2n+1;所以,log21+log22+log21991=log21+log22+log21991+1991-11;由a=2,1024=2101991211m=10,由1991-210=967b=967log21+log22+log21991+1991-11=29-229+2+10968+1991-11=19854.2.(1990年第一屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則+-+-+-+-的值是 .解:當(dāng)為整數(shù)時,+-=0(k=12,22,19892),當(dāng)不是整數(shù)時,設(shè)=n+(01),則=n,-=-n-=-(n+1)

29、+(1-)=-(n+1)+-=-1+-+-+-+-=-19891990+1989=-19892. (2012年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高中一年級初賽試題)若x表示不超過x的最大整數(shù),求滿足方程nlg2+nlg5=2012的自然數(shù)n的值.解:因?yàn)閚lg2和nlg5是無理數(shù),那么可以表示nlg2=m+a其中m=nlg2,a=nlg20,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1-a)nlg5=n-m-1nlg2+nlg5=n-1=2012n=2013.3.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù),則= . 解:由12012+2k2012k11當(dāng)k11時,=0

30、;當(dāng)k=0時,=1006;當(dāng)k=1時,=503;當(dāng)k=2時,=250;當(dāng)k=3時,=126;當(dāng)k=4時,=63;當(dāng)k=5時,=31;當(dāng)k=6時,=16;當(dāng)k=7時,=8;當(dāng)k=8時,=4;當(dāng)k=9時,=2;當(dāng)k=10、 第一講:高斯函數(shù) 5 11時,=1=1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012. (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)對正整數(shù)x,記m=+,其中k為滿足2kx的最小整數(shù),符號x表示不超過x的最大整數(shù).x與m的差,即x-m稱為正整數(shù)x的“虧損數(shù)”.(如x=100時,m=+=97,x-m=3,因此,數(shù)100的“虧損數(shù)”為3).則“虧損數(shù)”

31、為9的最小正整數(shù)x為_.解:設(shè)下x=an2n+an-12n-1+a222+a121+a020,其中ai0,1(i=0,1,2,n),則x-2=a0;-2=a1;-2=a2,-2=ana0+a1+a2+an=(x-2)+(-2)+(-2)+(-2)=x-(+)=x-m=x的“虧損數(shù)”虧損數(shù)”為9的最小正整數(shù)x=1+2+22+28=511. 4.方程問題:例4:(1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)用x表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),方程lg2x-lgx-2=0的實(shí)根個數(shù)是_.解析:由xx,lg2x-lgx-2=0lg2x-2=lgxlgx-1lgx2lgx=-1,0,1,2;當(dāng)lgx=-1時,lg2x=

32、1lgx=-1;當(dāng)lgx=0時,lg2x=2lgx=,無解;當(dāng)lgx=1時,lg2x=3lgx=;當(dāng)lgx=2時,lg2x=4lgx=2實(shí)根個數(shù)是3.練習(xí)4:1.(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù),集合A=x|x2-2x=3,B=x|2x8,則AB= .解:由2x8-3x3x=-3,-2,-1,0,1,2;若x-2,則x2=2x+30,沒有實(shí)數(shù)解;若x=-1,則x2=1x=-1;若x=0,則x2=3,沒有符合條件的解;若x=1,則x2=5,沒有符合條件的解;若x=2,則x2=7有一個符合條件的解x= AB=-1,. (2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)設(shè)

33、集合A=x|x2-x=2和B=x|x|2,其中符號x表示不大于x的最大整數(shù),則AB= .解:因|x|2x的值可取-2,-1,0,1;當(dāng)x=-2,則x2=0無解;當(dāng)x=-1,則x2=1x=-1;當(dāng)x=0,則x2=2無解;當(dāng)x=1,則x2=3x=AB=-1,. (1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西預(yù)賽試題)tanx表示不超過tan的最大整數(shù),則方程tanx=2cos2x的解為 .解:由02cos2x20tanx2tanx=0,1,2;當(dāng)tanx=0時,cosx=0,tanx無意義;當(dāng)tanx=1時,cosx=,注意:tanx=1x=k+(kZ);當(dāng)tanx=2時,cosx=1sinx=0tanx=0,

34、矛盾. (2009年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)若a表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù),則方程tanx=2sin2x的解是 .解:由02sin2x20tanx2tanx=0,1,2;當(dāng)tanx=0時,sinx=0,tanx=0 x=k;當(dāng)tanx=1時,sinx=,注意:tanx=1x=2k+(kZ);當(dāng)tanx=2時,sinx=1cosx=0tanx=0無意義.2.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南預(yù)賽試題)對于實(shí)數(shù)x,當(dāng)且僅當(dāng)nxn+1(nN+)時,規(guī)定x=n.則不等式4x2-36x+450的解集為 . 6 第一講:高斯函數(shù) 解:由4x2-36x+450 x2x72x8. (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山

35、東預(yù)賽試題)對任意的xR,x表示不大于x的最大整數(shù),則滿足|x2-1|=10的x的集合是( )(A)(-2,-) (B),2 (C)(-2,-,2) (D)-2,-)(,2解:因|x2-1|=1010|x2-1|11-11x2-1-10,或10 x2-10;若x3,則x3xx27;若0 x2,則0 x2xx22=4;若2x3,則x=2x2=x.3.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽內(nèi)蒙古預(yù)賽試題)方程x2-8x+7=0的所有解為 .解:由xx=1x7x=1,2,3,4,5,6,7x=1,7. (2007年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)若x表示不超過x的最大整數(shù),且x2-2008x+2007=

36、0,則x的值是 .解:1,2005,2006,2007. (1992年第三屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試題)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),則方程3x-4-2x-1=0的解是 .解:設(shè)2x+1=k,則x=,3x-4=k+,于是原方程等價于k+-k=0=001kk=13,14解是x=6,. (2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川預(yù)賽試題)設(shè)x為實(shí)數(shù),定義x為不小于x的最小整數(shù),例如=4,-=-3,關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程3x+1=2x-的全部實(shí)根之和等于 .解:設(shè)2x-=kZ,則x=,3x+1=k+1+,于是原方程等價于=-1,即-2-1-k-k=-5,-4x=-,-所有實(shí)根之和為-4. 5.方程綜合:例5:(1

37、998年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題.2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題)求方程+=x的所有解(a表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)).解析:由方程知解x是整數(shù),設(shè)x=42p+q(pZ,q0,1,41),則(21p+)+(14p+)+(6p+)=42p+q+=p+qq=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,因此,方程的解集為0,-6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,-

38、51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85. 第一講:高斯函數(shù) 7 練習(xí)5:1.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題)將方程x3-3x=4的實(shí)數(shù)解從小到大排列得x1,x2,xk,則x13+x23+xk3的值為 (x表示不超過x的最大整數(shù)).解:由x-1xx;當(dāng)x3時,x3-3xx3-3x=x(x2-3)3(32-3)=18;當(dāng)x-3時,x3-3xx3-3(x-1)=x(x2-3)+3-3(-3)2-3+3=-15;當(dāng)-3x3時,x=-3,-1,-1,0,1,2;若x=-3,則x3=3x+4=-5,不合要求;若x=-2

39、,則x3=3x+4=-2x=-,合要求;若x=-1,則x3=3x+4=-1,不合要求;若x=0,則x3=3x+4=4,不合要求;若x=1,則x3=3x+4=7x=,合要求;若x=2,則x3=3x+4=10 x=,合要求(-)3+()3+()3=15.2.(1989年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)設(shè)x表示x的整數(shù)部分,x=xx,則方程x3+x2+x=x1的所有實(shí)數(shù)根是 .解:由x3+x2+xZx1Zx=0 xZx3+x2+x=-1(x+1)(x2+1)=0 x=-1. (1991年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)求滿足x22x=x22x的一切實(shí)數(shù)x.其中x表示不超過x的最大整數(shù).解:設(shè)x=n,x-x=(01)

40、,則x22x=(n+)2-2(n+)=n2-2n+2+2(n-1),所以原方程等價于n2-2n+2+2(n-1)=n2-2n2+2(n-1)=002+2(n-1)1;當(dāng)=0時,不等式成立,此時,x=n;當(dāng)0時,由02+2(n-1)10-(n-1)0 x-n-(n-1)x(n,+1)(n=1,2,). (1993年上海市高中數(shù)學(xué)競賽試題)自然數(shù)x使得x+=1993.則x=_.解:由x+=1993x1993x5！;設(shè)x=5！n+r(0r5！=120)(120n+r)+(20n+)+n=1993141n+r+=1993=14141+19n=14,r+=19r=17x=1697.3.(2007年上海市

41、TI杯高二年級數(shù)學(xué)競賽試題)求正整數(shù)n,使得log31+log32+log33+log34+log3n=2007.其中x表示不超過x的最大整數(shù).解:因?yàn)楫?dāng)3kn1,設(shè)x=1+,y=lg2+lg3+lgn.則滿足x=y的所有整數(shù)n構(gòu)成的集合為 (a表示不超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)).解:5,6. 6.方程應(yīng)用:例6:(1989年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)一個正數(shù),若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身成等比數(shù)列,則該數(shù)為_.解析:設(shè)該數(shù)為x,則(x-x)x=x2x=x(x0);由0 x-x10 x10 x2x=1x=.練習(xí)6:1.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)設(shè)a是整數(shù),0b0,2b(a+b)0,不可

42、能,故a0;于是a2=2b(ab)2(a+1)a2-2a-200a1+a=0,1, 8 第一講:高斯函數(shù) 2;a=0時,b=0;a=1時,2b2+2b-1=0b=;a=2時,b2+2b-2=0b=-1.注:本題也可以這樣說:求實(shí)數(shù)x,使x2=2xx.2.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題)設(shè)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),則在平面上,由滿足x2+y2=50的點(diǎn)所形成的圖形的面積是 .解:由x2+y2=50 x=1,y=7;x=5,y=5;x=7,y=1.每組解有4種情況,每種情況下的面積為1圖形的面積是12. (2011年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高一年級初試試題)若x表示不超過x的最大整數(shù).求

43、在平面直角坐標(biāo)系xOy中滿足xy=2011的所有點(diǎn)(x,y)組成的圖形的面積.解:設(shè)x=a,y=b,即所有這樣的點(diǎn)(x,y)組成的圖形就是axa+1,byb+1界定的區(qū)域,它的面積為1,又2011是質(zhì)數(shù),所以滿足xy=2011的點(diǎn)(x,y)組成的圖形是4個面積為1的區(qū)域,即x=1,y=2011;x=2011,y=1;x=1,y=2011;x=2011,y=1.這些圖形的總面積是4. (2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆預(yù)賽試題)x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),則在平面直角坐標(biāo)系xOy中,滿足xy=2013的所有點(diǎn)(x,y)組成的圖形面積為 .解:由xy=2013=12013=3671=11183=3

44、361,共有16種情況,每種情形下的面積為1,所以,所有點(diǎn)(x,y)組成的圖形面積為16.3.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆預(yù)賽試題)數(shù)(3+)2n(nN+),且n2009,設(shè)x為x的整數(shù)部分,則(3+)2n除以8的余數(shù)是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:設(shè)an=(3+)2n+(3-)2n=(17+12)n+(17-12)n,則a1=34,a2=342-2=1154,an+2=34an+1-ana12(m0d8),a22(m0d8),a3342-22(m0d8)an2(m0d8);又因0(3-)2n1(3+)2n=an-1(3+)2n1(m0d8).選(A). (2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林預(yù)賽試題)(+)2010的小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字是 .解:因(+)2010+(-)2010為整數(shù),則(+)2010的小數(shù)部分為1-(-)2010,又因0(-)20100.21005(0.008)300,所以0.91-(-)20104n+1;若m為偶數(shù),則m2=4k4n+1knkn+1m24n+44n+3;若m為奇數(shù),則m2=4k+14n+1knkn+1m24n+54n+3;綜上m24n+3,即m;特