傳輸線(經(jīng)典)精品課件

1、傳輸線(經(jīng)典)第1頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（1）一維Maxwell方程利用一階導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似，上面的方程變?yōu)榈?頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（2）采用歸一化磁場 使得電場與歸一化磁場有相同的數(shù)量級，于是可以得到FDTD迭代公式為式中， 為自由空間中的光速。第3頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（3） 用計(jì)算機(jī)語言表示的FDTD公式式中，時間變量已隱含在迭代公式中，以及 只要給定了所

2、有空間點(diǎn)上電/磁場的初值，就可以一步一步地求出任意時刻所有空間點(diǎn)上的電/磁場值。第4頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（3）電場與磁場分量的空間-時間分布圖0123第5頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.1 一維Maxwell方程的Yee算法（4）Main loop in 1D FDTD C-program: for (k=0;k=kmax;k+) Hyk=0; Exk=0;for (n=1;n=nmax;n+) Ex(0)=Source(n); for (k=0;kkmax;k+) Hyk=Hyk-cak

3、*(Exk+1-Exk); for (k=1;knmax結(jié) 束NoYes第18頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（1）上面介紹的FDTD算法是從點(diǎn)的觀點(diǎn)對Maxwell方程微分形式中的兩個旋度方程直接進(jìn)行導(dǎo)數(shù)二階中心差分近似得到的。這種觀點(diǎn)對理解FDTD如何模擬波在媒質(zhì)中的傳播是有用的。但是，當(dāng)模擬細(xì)幾何結(jié)構(gòu)如導(dǎo)線、槽和曲面時，點(diǎn)的觀點(diǎn)對于指導(dǎo)為了獲得適當(dāng)解需要作怎樣的算法修正卻幫助甚少。為了解決這一問題，我們從積分形式的Ampere和Faraday定理出發(fā)來解釋Yee算法。第19頁，共29頁，2022

4、年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（2）僅討論自由空間的情況。考慮右圖中實(shí)線網(wǎng)格的y-z平面上包圍面積S1的矩形圍線C1。沿C1應(yīng)用Faraday定理:( i+1/2, j+1/2, k-1/2 )C2S2Ey( i , j, k )C1S1EzEyEzHxHxHxHzHz第20頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（3）假設(shè)在圍線任一邊上和圍線所圍的面積上相應(yīng)的場值不變，時間導(dǎo)數(shù)采用中心差分近似，則Faraday定理近似為 整理后便可得

5、到自由空間中FDTD公式。第21頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日2.3 以積分形式的Faraday和 Ampere 定理解釋Yee算法（4） 以相同的方式，把Ampere 定理應(yīng)用于圖中虛線網(wǎng)格的x-z平面上包圍面積S2的矩形圍線C2，并作類似的假設(shè)，也可以得到相應(yīng)的FDTD公式。 所以，F(xiàn)DTD公式既是微分形式的Maxwell旋度方程的中心差分近似，也自然滿足積分形式的Ampere和Faraday定律。第22頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日 2.4 Yee算法的無散性（1）對于無源區(qū)域，滿足Maxwell兩個旋度方程的場也一定滿足Maxwell

6、的兩個散度方程或它們的積分形式 下面證明對于從旋度方程近似而來的FDTD 公式也滿足兩個散度方程。第23頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日 2.4 Yee算法的無散性（2）在自由空間的一個Yee網(wǎng)格上考慮 ，有利用磁場分量的FDTD公式，把與磁場分量時間導(dǎo)數(shù)相關(guān)的電場空間有限差分代入上式中各項(xiàng)，可得第24頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日 2.4 Yee算法的無散性（3）于是設(shè)初始時磁場為零，則 所以，對于無源區(qū)域，F(xiàn)DTD公式滿足磁場Gauss定理，即對于磁場是無散的。同理可以證明，對于電場，F(xiàn)DTD公式也滿足Gauss定理，即電場也是無散的。第2

7、5頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日結(jié) 論 2 （1） 本講介紹了求解矢量Maxwell方程的FDTD Yee算法，歸納起來，Yee算法的主要特點(diǎn)有：Yee算法采用耦合的Maxwell旋度方程，同時在時間和空間求解電場和磁場，而不是采用波動方程只求解電場或磁場。同時使用E和H信息比只使用其中一個的優(yōu)點(diǎn)是獲得的解更穩(wěn)固（robust），即算法可以適用非常廣泛的電磁波物理結(jié)構(gòu)，并且電場和磁場的特性可以用更直接的方式模擬。如果同時使用電場和磁場，每一種場的獨(dú)立特性，如邊沿和角處切向磁場的奇異性、細(xì)線附近磁場的奇異性以及靠近點(diǎn)、邊沿和細(xì)導(dǎo)線處徑向電場的奇異性就能夠獨(dú)立地模擬。第2

8、6頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日結(jié) 論 2 （2）Yee網(wǎng)格在三維空間這樣安排E和H分量，使得每一個E或H分量由四個H或E循環(huán)的分量所環(huán)繞。這提供了一幅三維空間中由相互交鏈的Faraday定理和Ampere定理圍線陣列構(gòu)成的優(yōu)美而簡單的圖畫。保證了Yee算法同時模擬了Maxwell方程點(diǎn)意義上的微分形式和宏觀的積分形式。后者對于處理邊界條件和奇異性是極其有用的。旋度算子中空間導(dǎo)數(shù)的差分公式是二階精度的中心差分。如果不同材料的交界面平行于Yee網(wǎng)格的一個坐標(biāo)軸，在交界面上切向E和H的連續(xù)性自然保持。在Yee算法隱含地執(zhí)行了兩個高斯定律。所以，同時保證了無源區(qū)域中電磁場的

9、無散性。第27頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日結(jié) 論 2（3）Yee算法以蛙跳算法在時間上安排E和H分量。在某一時刻，使用前一時刻的E數(shù)據(jù)計(jì)算所有H分量。然后，再使用剛計(jì)算的H數(shù)據(jù)計(jì)算所有的E分量。如此循環(huán)，直至完成時間步進(jìn)過程。蛙跳時間步進(jìn)過程是全顯式的，所以完全避免了因求解聯(lián)立方程和矩陣求逆所帶來的問題。旋度方程中時間導(dǎo)數(shù)的差分公式是二階精度的中心差分。時間步進(jìn)算法是無數(shù)值損耗的，即在網(wǎng)格中傳播的數(shù)值波并不產(chǎn)生寄生衰減。第28頁，共29頁，2022年，5月20日，22點(diǎn)2分，星期日習(xí) 題 22.1證明對于電場，Yee算法也滿足Gauss定理，即對于電場Yee算法也是無散的。2.2 試推導(dǎo)二維TE模（Ez=0）和TM模（Hz=0）的FDTD Yee 算法。2.3 編制二維TM模Yee 算法的程序。假設(shè)模擬區(qū)域?yàn)樽杂煽臻g單位正方形，時間步為 ，x方向與y方向步長相等。模擬區(qū)域的