2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期入學考試數(shù)學試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期入學考試數(shù)學試題一、單選題1已知集合，集合，則（）ABCD【答案】C【分析】先求出集合B，再求出.【詳解】集合.因為，所以.故選：C2已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法，結(jié)合共軛復數(shù)的概念求解即可【詳解】由已知可得，所以.故選：B.3已知向量、為單位向量，則是的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

2、充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：因為向量、為單位向量，所以，若，則，則，即，即，即，所以，故充分性成立，若，則，所以，即，所以，所以成立，故必要性成立，故是充分必要條件；故選：C4已知，則（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再根據(jù)利用兩角和的余弦公式計算可得.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以故選：C5隨著北京冬奧會的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有個完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位運動員要與這個“冰墩墩”站成一排拍照留念，則有且只有個“冰墩墩”相鄰的排隊方法數(shù)為（）ABCD【答案】B【分析】將其中個

3、“冰墩墩”捆綁，記為元素，另外個“冰墩墩”記為元素，將、元素插入這位運動員所形成的空中，結(jié)合插空法可求得結(jié)果.【詳解】因為個“冰墩墩”完全相同，將其中個“冰墩墩”捆綁，記為元素，另外個“冰墩墩”記為元素，先將甲、乙、丙、丁位運動員全排，然后將、元素插入這位運動員所形成的空中，且、元素不相鄰，則不同的排法種數(shù)為.故選：B.6已知等差數(shù)列的前n項和為，則n的值為（）A8B11C13D17【答案】D【分析】根據(jù)為，得到，結(jié)合，兩式相加，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用求出的值.【詳解】，因為，所以，+得：，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以，又因為，所以.故選：D7已知變量的關(guān)系可以用模型（其中為自然對數(shù)的

4、底數(shù)）進行擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：46781023456由上表可得線性回歸方程，則當時，預測的值為（）ABCD【答案】D【分析】求出，代入線性回歸方程求得，可得模擬函數(shù)，然后代入可得的預測值【詳解】由表格數(shù)據(jù)計算可知：.將代入，解得.所以.所以.所以當時，.故選：D.8對于問題“求證方程只有一個解”，可采用如下方法進行證明“將方程化為，設(shè)，因為在上單調(diào)遞減，且，所以原方程只有一個解”.類比上述解題思路，則不等式的解集是（）ABCD【答案】A【分析】類比題目構(gòu)造函數(shù)的過程，對不等式進行整理變形為，由其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，對原不等式進行轉(zhuǎn)化求解.【詳解】由不等式，得.設(shè)函

5、數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以.解得或.故選：A.二、多選題9下列敘述正確的是（）A命題“”的否定是“”B在空間中，已知直線，滿足，則C的展開式中的系數(shù)為D已知定義在上的函數(shù)是以為周期的奇函數(shù)，則方程在上至少有個實數(shù)根【答案】ACD【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷A，根據(jù)空間中直線與直線的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)二項式展開式的圖通項公式判斷C，根據(jù)奇函數(shù)及周期性判斷D.【詳解】解：對于A：命題“”為全稱命題，其否定是“”，故A正確；對于B：若在空間中直線，滿足，則和相交或異面或平行，故B錯誤；對于C：二項式展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為，故C正確；對于D：因為函數(shù)是上的

6、奇函數(shù)，所以，又函數(shù)的周期為，所以，又且，所以，所以方程在上至少有個實數(shù)根，故D正確；故選：ACD10函數(shù)，某相鄰兩支圖像與坐標軸分別交于點，則方程的解為（）ABCD【答案】BD【分析】先根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求出，得到的解析式，直接解方程即可求得.【詳解】因為函數(shù)，某相鄰兩支圖像與坐標軸分別交于點，所以函數(shù)的周期為解得：.此時.又圖像經(jīng)過，所以，且，解得：.所以.故方程可得：或，解得：或.故選：BD11（多選題）如圖，正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，以下結(jié)論正確的有（）AB點到平面的距離為定值C三棱錐的體積是正方體體積的D異面直線，所成的角為定值【答案】ABC【分析】由線面垂直推出異面直線

7、垂直可判斷A；由點到平面的距離可判斷B；運用三棱錐的體積公式可判斷C；根據(jù)異面直線所成角的定義判斷D.【詳解】解：對于，根據(jù)題意，且，所以平面，而平面，所以，所以正確；對于，到平面的距離是定值，所以點到的距離為定值，所以正確；對于，三棱錐的體積為，三棱錐的體積是正方體體積的，所以正確；對于，當點E在處，F(xiàn)為的中點時，異面直線AE，BF所成的角是，當在的中點時，F(xiàn)在的位置，異面直線AE，BF所成的角是，顯然兩個角不相等，命題錯誤；故選：12已知F為雙曲線的右焦點，過F的直線l與圓相切于點M，l與C及其漸近線在第二象限的交點分別為P，Q，則（）AB直線與C相交C若，則C的漸近線方程為D若，則C的離

8、心率為【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，計算切線長判斷A；由直線斜率與的大小說明判斷B；求出出點Q，P的坐標計算判斷C，D作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，有，依題意，如圖，對于A，A正確；直線的斜率，直線是雙曲線C過第一三象限的漸近線，直線與C不相交，B不正確；對于C，由選項A可得點，設(shè)點，依題意，即，解得，即，又點Q在直線上，則有，解得，有，C的漸近線方程為，C不正確；對于D，由選項C同理得點，因此，即，解得，D正確.故選：AD三、填空題13已知，且，則的最小值為_.【答案】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】解：，且，則，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值等于，故答案

9、為：14在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊在x軸的非負半軸，終邊過點且，則_【答案】【分析】根據(jù)終邊上一點，求得，再結(jié)合可求得，再利用三角函數(shù)定義可求解.【詳解】因為終邊上一點，所以，又，所以可得，所以，故答案為：15設(shè)過點的直線l的斜率為k，若圓上恰有三點到直線l的距離等于1，則k的值為_.【答案】1或7【分析】設(shè)出直線l的方程，根據(jù)圓上恰有三點到直線l的距離等于1，得到圓心到直線l的距離為1，利用點到直線距離列出方程，求出k的值.【詳解】設(shè)直線l的方程為，其中的圓心為，半徑為2，因為圓上恰有三點到直線l的距離等于1，故圓心到直線l的距離為1，即，解得：或7，故答案為：1或716若

10、過點可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍是_.【答案】【分析】設(shè)切點為,過點P的切線方程為.把題意轉(zhuǎn)化為方程有三個不等根. 令，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值，即可求出m的取值范圍.【詳解】由題意得.設(shè)切點為,過點P的切線方程為，代入點P坐標化簡為,即這個方程有三個不等根.令，求導得：.令,解得：;令,解得：或.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故得到.因為所以，即m的取值范圍是.故答案為：四、解答題17已知分別為的內(nèi)角所對的邊，且(1)求角的大?。?2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦定理化角為邊，再利用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)即得；（2）

11、由余弦定理表示出關(guān)系，再由基本不等式得出的最大值，從而可得面積最大值；或利用正弦定理邊角互化，然后利用三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)即得【詳解】(1)在中，由題意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因為，所以；(2)方法一：由（1）知，又，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以；方法二：由（1）知，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因為，所以，因為，所以，所以當，即時，的面積取得最大值，最大值為.18設(shè)為數(shù)列的前n項和，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出的通項公式，即可得到，再根據(jù)作差計算可得；（2）由（

12、1）可得，記數(shù)列的前項和為，利用錯位相減法計算可得.【詳解】(1)解：因為是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，當時，當時，所以，當時也成立，所以.(2)解：由（1）可知，記數(shù)列的前項和為，所以，所以，所以，所以.19中國制造2025是經(jīng)國務(wù)院總理李克強簽批，由國務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件，是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強國的生命線某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標準的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布N（，2），并把質(zhì)量差在（，

13、+）內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在（+，+2）內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差s作為的估計值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布N（，2），則：P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3+3）0.9973（3）假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個箱

14、子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值【答案】（1）70； （2）； （3）分布列見解析，【解析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖，用同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表即可求得平均值，利用平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）由題意，可得，得到正品概率，再利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可求解；（3）得出所有可能為，再利用超幾何分布求出每個的取值所對應(yīng)的概率即可得到分布列，然后求出數(shù)學期望即可【詳解】（1）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式，可得（2）由題意可知，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，即樣本方差，所以標準差，所以隨機變量，可得該廠

15、生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率： .（3）由題意，隨機變量所有可能為，則，所以隨機變量的分布列為：0123 所以隨機變量的期望【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，正態(tài)分布中概率的計算，以及離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求解，著重考查數(shù)據(jù)分析能力，以及運算能力.20如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為的中點，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點H，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）證明出，.利用向量法

16、求解；（3）利用向量法求解.【詳解】(1)連接FG.在中，F(xiàn)、G分別為的中點，所以.又因為平面, 平面，所以平面.(2)因為平面,平面，所以.又，所以.以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系.則,.,.設(shè)平面SCD的一個法向量為.則，即，令,得.所以平面SCD的一個法向量為.又平面ESD的一個法向量為.所以由圖形可知,二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.(3)假設(shè)存在點H,設(shè),則.由（2）知,平面的一個法向量為.則，即,所以.故存在滿足題意的點H,此時.21橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，且的面積為2.(1)求橢圓C的方程；(2)過點的直線l與橢圓交于A，B兩點

17、，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)橢圓的定義、三角形面積公式及勾股定理求出，即可求出，從而得解；（2）首先求出的坐標，分直線的斜率為與不為兩種情況討論，當直線的斜率不為時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理可得，由，推出，解得，進而可得答案【詳解】(1)解：因為，所以，即，所以，所以又，所以，即，所以，所以，所以橢圓方程為.(2)解：由（1）知，所以，即，當直線的斜率為時，此時，不合題意，當直線的斜率不為時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，當時，直線過點，不符合題意，所以直線的方程為22已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當時，若不等式恒成立，求的最小值【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對求導，通過分類討論判斷的單調(diào)性（2）恒成立，利用導數(shù)求出的最大值，通過對上式變形可