高考數(shù)學二輪復習第2部分八大難點突破難點1與三角變換、平面向量綜合的三角形問題學案

1、難點一與三角變換、平面向量綜合的三角形問題（對應學生用書第62頁）高考數(shù)學命題注重知識的整體性和綜合性，重視在知識的交匯處考察，對三角形問題的考察重點在于三角變換、向量綜合，它們之間互相聯(lián)系、互相交叉，不僅考察三角變換，同時深化了向量的運算，體現(xiàn)了向量的工具作用，試題綜合性較高，所以要求學生有綜合處理問題的能力，縱觀最近幾年高考，試題難度不大，但是如果某一知識點掌握不到位，必會影響到整個解題過程從以下幾個方面闡述解題思路，以達到拋磚引玉的目的.向量運算與三角形問題的綜合運用解答這類題，首先向量的基本概念和運算必須熟練，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的應用條件，其次要注意把題目中的向量用三角中邊

2、和角表示，體現(xiàn)向量的工具作用.【例1】(鎮(zhèn)江市2017屆高三上學期期末)已知向量m(cosa,1),n=(2,sina),其中aC0,彳，且mln.(1)求cos2a的值；(2)若sin(aB)=”,且BC0,A,求角(3的值.解法一(1)由mLn得，2cosasina=0,sina=2cosa,代入cos2a+sin2a=1,得5cos2a=1,兀目ae0, TOC o 1-5 h z 5.25則cosa=5，sina=5,則cos2a=2cos2a-1=2X521=1.55兀兀兀兀(2)由ae0,萬，Be0,2得，ae.Ec10ic3：10因sin(a-3)=0則cos(aB)=；。.則s

3、in3=sina(aB)=sinacos(aB)cosasin(a3)2,53：105102=-x-J-x_=r-.5105102一一一兀r,兀因BC0,_2，則3=法二(1)由miln得,2故 cos 2 a = cos a一.一 2一sin acos2 民sin2 51 tan2 51 4cos2 a 法二(1)由miln得,2故 cos 2 a = cos a一.一 2一sin acos2 民sin2 51 tan2 51 4cos2 a + sin211 + tan2 a 1+435.(2)由(1)知，2cosa sin2 cossina 邛,cos5c 兀0,萬，7t2,7t2 .s

4、in(c、 10， C、 3 ；10a B ) = 10，則 cos( B ) = 10 .sin3 = sin a(a)= sinc Cos( a) ) cos a sin( a 3 )2,53,105.10_25X105*10=2,一一一兀一.一兀因Be0,萬，則B=了.2.三角函數(shù)與三角形問題的結合三角函數(shù)的起源是三角形，所以經(jīng)常會聯(lián)系到三角形，這類型題是在三角形這個載體上的三角變換，第一：既然是三角形問題，就會用到三角形內角和定理和正、余弦定理以及相關三角形理論，及時邊角轉換，可以幫助發(fā)現(xiàn)問題解決思路；第二：它也是一種三角變換，只不過角的范圍縮小了，因此常見的三角變換方法和原則都是適用

5、的.【例2】(2017江蘇省無錫市高考數(shù)學一模)在4ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的4I兀對邊.若acosB=3,bcosA=1,且AB=.6(1)求邊c的長;(2)求角B的大小.b2+c2a22bc =1，b2+c2a22bc =1，解(1)acosB=3,bcosA=1,/.axa2+；2b2=3,2ac化為：a2+c2b2=6c,b2+c2a2=2c.相加可得：2c2=8c,解得c=4.(2)由(1)可得：a2-b2=8.由正弦定理可得:ab由正弦定理可得:=.兀一.12B兀一.12B+ -,可得 sin C=一一_兀一一兀一.一一又AB=r-,-A=BH,C=兀一(A+B)=i

6、t66兀4sin B+ 6兀4sin B+ 6 a=兀sin 2B+ 4sin B b兀sin 2B+ .,16sin2B+_16sin七=8加2如+看兀cos 2B cos 2B+3-1-cos2B+?Tis2B)=sin22B+-兀cos 2B cos 2B+3sin22B+i,一.兀.兀.2兀.2sin2B+sin=sin2B+,兀兀5兀sin2B+=0或sin2B+=1,BC0,-2一一_兀解得：B=-.3.三角變換、向量、三角形問題的綜合高考會將幾方面結合起來命題，三角函數(shù)主要考察它的圖象、常見性質；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有關的三角形性質；向量主要考察向量的運算、向量的

7、模、向量的夾角、向量的垂直以及向量的共線，體現(xiàn)向量的工具作用，三角變換主要考察求值、化簡、變形.【例3】(揚州市2017屆高三上學期期中)在4ABC中，AB=6,AC=3/2,AB-AC=-18.(1)求BC的長；(2)求tan2B的值.解(1)因為ABAC=ABXA6cosA=18,且AB=6,AC=30BC=.AB2+AC2-2ABXAOcosA=162+3722-2X18=3.(2)法一：在ABC43,AB=6,AC=3V2,BC=310,BA2+BC2-AC262+3/102-3取23斤cosB=1F=,2BAXBC2X6X3：1010B= ?1 cos2B = 0,sinB1所以ta

8、nBB= ?1 cos2B = 0,2tanB所以32B=1_tan2B24-=24-=4.1 一 32法二：由AB=6,AC=球，AB-AOABxAOcosA=18可得cosA=%,BC AC 一在中3=常,所以sinAO sin A3 2X210B=BC AC 一在中3=常,所以sinAO sin A3 2X210B=Be3. 1010 又 BC 0, 4 ,所以 cos B= 1 sin2B = 3100,所以sin B 1 tan B=-=cos B 322tan B 3 所以 tan 2 B= 1 _ tan2B =13一4.24.實際應用中的三角形問題在實際生活中往往會遇到關于距離

9、、角度、高度的測量問題,可以借助平面圖形,將上述量放在一個三角形中，借助解三角形知識達到解決問題的目的.【例4】（2017江蘇省淮安市高考數(shù)學二模）一緝私艇巡航至距領海邊界線1（一條南北3倍，假設緝方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30。方向相距4海里的B3倍，假設緝正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行.北北（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向,使得用最短時間在領海內攔截成功；（參考數(shù)據(jù)：sin 17(2)問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領

10、海內成功攔截？并說明理由.解(1)設緝私艇在C處與走私船相遇(如圖)，則AG=3BC北 ABO43北 ABO43,由正弦定理可得 sin/BAC=sin 120緝私艇應向北偏東470方向追擊,.、16+BC2AC2ABC43,由余弦定理可得cos120=-,-B01.68615.8BCB到邊界線l的距離為3.84sin30.1.686150|BA|BC|? P? P是ABC勺內心；若D E兩點分別是ABC勺邊BC CA上的中點，且DP-PB=DP-PC?P是aABC勺外心;EP-PC=EP-PA若GAGB+GC=0,貝UG是ABC勺重心;若P是 ABC所在平面內的一點，且PA-PB=PA-PC

11、=PC-PB,貝U若P是 ABC所在平面內的一點，且心.【例5【例5】（2017 江蘇省泰州市高考數(shù)學一模）在 ABC 中，若 BC BA+ 2AC AB=sinA“CB則snC的值為【導學號：56394090】解析在ABC4設三條邊分別為a、b、c,三角分別為A、B、C,由BCBA+2AC-AB=CA-CB,得ac-cosB+2bccosA=bacosC,1)777)1)77由余弦th理得：2(a+cb)+(b+ca)=-(b+ac),化簡得-;7=2,-=2(2,由正弦定理得=-=J2.c2csinCc故答案為：2.答案也6.2判斷三角形形狀三角形的邊可以看做向量的模長，三角形的內角可以看做向量的夾角，所以可利用向