無約束最優(yōu)化問題及其Matlab求解

1、、教學(xué)目標了解悟約束規(guī)劃的基本算法最速下降法(共軛梯度法)的基本步驟掌握用Matlab求解五約束的一元規(guī)劃問題、多元規(guī)劃問題、以及Matlab 求解過程中參數(shù)的設(shè)置。針對實際問題能列出其無約束規(guī)劃方程并用Matlab求解。教學(xué)手段用Flashmx 2004制作課件，并用數(shù)學(xué)軟件Matlab作輔助教學(xué)采用教學(xué)手法上采取講授為主、講練結(jié)合的方法。上機實踐操作。三、教學(xué)內(nèi)容(一人求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想標準形式：mEnfX其中 f : En. Ei(借助課件說明過程)(二八無約束優(yōu)化問題的基本算法1最速下降法(共軛梯度法)算法步驟：(1)給定初始點X En，允許誤差； 0,令k=0;計算If

2、Xk ；檢驗是否滿足收斂性的判別準則：pf (xkk J若滿足，則停止迭代，得點X*Xk，否則進行；令Sk -行Xk,從Xk出發(fā)，沿Sk進行一維搜索，即求k 使得：mif f Xk Sk i=f XkkSk *令乂心乂一氣，k=k+1返回.最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位最速下降法的優(yōu)點是工作量小，存儲變量較少，初始點要求不高；缺點是收斂慢。(借助課件說明過程，由于算法在實際中用推導(dǎo)過程比較枯燥，用課件顯示搜索過程比較直觀)2.采用Matlab軟件，利用最速下降法求解無約束優(yōu)化問題常用格式如下：x= fminbnd (fun,x1,x2)x= fminbnd (fun

3、,x1,x2，options)x，fval= fminbnd ()x，fval，exitflag= fminbnd ()x，fval，exitflag，output= fminbnd ()其中(3)、(4)、(5)的等式右邊可選用(1)或(2)的等式右邊。函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能 只給出局部最優(yōu)解?；蛘遞minunc、fminsearch命令。3.優(yōu)化函數(shù)的變量Matlab輸入格式變量描 述調(diào)用函數(shù)f線性規(guī)劃的目標函數(shù)f*X或二次規(guī)劃的目標函 數(shù) X*H*X+f*X中線性項的系數(shù)向量lin prog,quadprogfun非線性優(yōu)

4、化的目標函數(shù).fun必須為行命令對象 或M 文件、嵌入函數(shù)、或MEX八件的名稱fminbn d,fm in search,fm inunc, fmincon,l sqcurvefit,ls qnon li n, fgoalattai n,fmini maxH二次規(guī)劃的目標函數(shù)X*H*X+f*X中二次項的系 數(shù)矩陣quadprogA,bA矩陣和b向量分別為線性不等式約束：AX蘭b中的系數(shù)矩陣和右端向量lin prog,quadprog,fgoalatta in, fmincon, fmin imaxAeq,beqAec矩陣和beq向量分別為線性等式約束：Aeq=beq中的系數(shù)矩陣和右端向量lin

5、 prog,quadprog,fgoalatta in, fmincon, fmin imaxvlb,vubX的下限和上限向量：vlb X0,則x為解；否 則,x不是最終解，它只是迭代制止 時優(yōu)化過程的值所有優(yōu)化函數(shù)fval解X處的目標函數(shù)值lin prog,quadprog,fgoalatta in, fmi ncon,fmini max,lsqcurvefit, Isqnon li n, fminbndexitflag描述退出條件：exitflag0,表目標函數(shù)收斂于解x處exitflag=0,表已達到函數(shù)評價或迭代 的最大次數(shù)exitflag0,表目標函數(shù)不收斂output包含優(yōu)化結(jié)果信

6、息的輸出結(jié)構(gòu).Iterati on s:迭代次數(shù)Algorithm:所采用的算法FuncCount:函數(shù)評價次數(shù)所有優(yōu)化函數(shù)5控制參數(shù)options的設(shè)置Display濕示水平.取值為off 時，不顯示輸出；取值為iter時,顯示每次迭代的信息；取值為final時,顯示最終結(jié)果默認值為final.MaxFunEvals:允許進行函數(shù)評價的最大次數(shù)，取值為正整數(shù).MaxIter:允許進行迭代的最大次數(shù)，取值為正整數(shù).(三人多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題Matlab命令格式為：x= fminunc (fun,X0)；或 x=fminsearch (fun,X0)x= fminunc (fun,X0 , o

7、ption ；或 x=fminsearch (fun,X0 , optionx, fval= fminunc (.) ； 或x, fval= fminsearch ()x, fval, exitflag= fminunc (.);或x, fval, exitflag= fminsearchx, fval, exitflag, output=fminunc ()；或x, fval, exitflag, output=fminsearch ()(四八練習(xí)題例1求f = 2 e”in x在0 x8中的最小值與最大值主程序為wliti1.m:f=2*exp(-x).*sin(x);fplot(f,0,

8、8);% 作圖語句xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x);xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)運行結(jié)果：xmin = 3.9270 ymin = -0.0279xmax = 0.7854 ymax = 0.6448(借助課件說明過程、作函數(shù)的圖形) 例2對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形 無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？設(shè)剪去的正方形的邊長為x，則水槽的容積為：(3 2x2)x，建立無約束優(yōu)化模型為：min y=-(3_2x2)x , 0 x1.5先編寫 M 文件 funO.m 如下：f

9、unction f=funO (x) f=-(3-2*x).A2*x;主程序為wliti2.m:x,fval=fmi nbn d(fu n0,0,1.5);xmax=x fmax=-fval運算結(jié)果為：xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時 水槽 的容積最大，最大容積為2立方米.(借助課件說明過程、作函數(shù)的圖形、并編制計算程序)例 3 mi nF (x) =(4x； 2x； 4x1x2 2x2 1)*exp( xj1、編寫M-文件fun1.m:function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)A2+2*x(2)A

10、2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2、輸入M文件wliti3.m如下：x0 = -1, 1; x=fminunc( fun1 ，x0); y=fun1(x)3、運行結(jié)果：x= 0.5000-1.0000y =1.3029e-10(借助課件說明過程、作函數(shù)的圖形并編制計算程序)例 4 Rosenbrock 函數(shù) f ( x1，x2) =100(x2-x 12)2+(1-x 1)2 的最優(yōu)解(極小)為x*=( 1,1),極小值為f*=0試用不同算法(搜索方向和步長搜索)求數(shù)值最優(yōu)解初值選為 x0= (-1.2,2).為獲得直觀認識，先畫出Rosenbrock函數(shù)的三維圖形，輸入以下命

11、令：x,y=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);z=100*(y-x.A2).A2+(1-x).A2;mesh(x,y,z)畫出Rosenbrock函數(shù)的等高線圖，輸入命令：con tour(x,y,z,20)hold onplot(-1.2,2,o );text(-1.2,2,start point)plot(1,1,o)text(1,1,solutio n)f=100*(x (2)-x(1)A2)A2+(1-x (1) )A2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f, -1.2 2)運行結(jié)果：x =1.00001.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output =iteratio ns: 108 funcCount: 202 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search (借助課件說明過程、作函數(shù)的圖形并編制計算程序)(五)、作業(yè)陳酒出