高中數(shù)學(xué)第四章定積分3定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)案北師大版選修2

1、3定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用人口聚算對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P42人口聚算他歌問題情裊但,新知無師自通如圖.問題1:圖中陰影部分是由哪些曲線圍成？提示：由直線 x= a, x = b和曲線y= f (x)和y= g( x)圍成.問題2：你能求得其面積嗎？如何求？提示：能，先求由x=a, x= b和y= f(x)圍成的曲邊梯形面積 S= /bf(x)dx,再求由x=a, x = b和y= g(x)圍成的曲邊梯形面積 S=/；g(x)dx,則所求陰影部 分面積為S-S2.平面圖形的面積平面圖形的面積為S則般地，設(shè)由曲線 y=f(x), y=g(x)平面圖形的面積為S則S= /bf(x)dx- /bg(x)dx, f (

2、x) g( x).1歸納升華領(lǐng)悟解題關(guān)鍵是根據(jù)定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用主要是求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積,解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形確定被積函數(shù)以及積分上、下限.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P42高頻考點(diǎn)睚蛆化，名呻一點(diǎn)就通不分割型圖形面積的求解例1求由拋物線y=x24與直線y=x + 2所圍成圖形的面積.思路點(diǎn)撥畫出草圖，求出直線與拋物線的交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算問題.2所以直線y= x+2與拋物線y=x2所以直線y= x+2與拋物線y=x24的交點(diǎn)為(一3, 5)和(2,0), 設(shè)所求圖形面積為 S,根據(jù)圖形可得22精解t析x= - 3,得y= 5, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l book

3、mark4 o Current Document 2- _S=3( x + 2)dx 3 ( x 4)dx=2x-1x2 | - 1x3-4x | 23 2 32525125= =.236一點(diǎn)通求由曲線圍成圖形面積的一般步驟:根據(jù)題意畫出圖形； 求交點(diǎn)，確定積分上、下限;確定被積函數(shù)；將面積用定積分表示； 用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算定積分，求出結(jié)果. 一一兀兀 1.由直線x= - , x = -3-, y=0與曲線y= cos x所圍成的封閉圖形的面積為（1A.2B. 1D. 3解析：結(jié)合函數(shù)圖像可得所求的面積是定積分cos xcos xdx= sin x |答案：D2.（山東高考）直線y=4x

4、與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為A. 2 2B. 4啦A. 2 24x-x3 dx= 2x4解析：由4x = x3,解得x=0或4x-x3 dx= 2x4直線y= 4x與曲線y = x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為12 = 4.答案：D3.計(jì)算由曲線解：作出曲線y2 = x, y = x3.計(jì)算由曲線解：作出曲線y2 = x, y = x3所圍成的圖形的面積 S.y2 = x, y=x3的草圖，所求面積為如圖中的陰影部分的面積.解方程組y2=x,/口、一3得交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x=0,x=1,因此所求圖形y= x面積為S= /0/xdx- /0 x面積為S= /0/xdx- /

5、0 x3dx=3x日 |11 412150 4x | 0-3 4-12.分割型圖形面積的求解例2求由曲線xy=1及直線x=y, y= 3所圍成平面圖形的面積.思路點(diǎn)撥作出直線和曲線的草圖，可將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲邊梯形面積的和，通過計(jì)算定積分來求解，注意確定積分的上、下限.作出曲線xy = 1,分割型圖形面積的求解例2求由曲線xy=1及直線x=y, y= 3所圍成平面圖形的面積.思路點(diǎn)撥作出直線和曲線的草圖，可將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)曲邊梯形面積的和，通過計(jì)算定積分來求解，注意確定積分的上、下限.作出曲線xy = 1,直線x = y, y=3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積.求交點(diǎn)

6、坐標(biāo):xy= 1, y=3,1x 3,.1故A%3y=3,xy= 1,y=x,x = - 1,或(舍去)，故B(1,1)；y = - 1,y=x,y=3,x= 3,得y=3,故 Q3,3),dx+/ 3dx+/ 3(3 x) dx= (3xln x) |3x 2x2 | 3故所求面積 S= Si + S2= 1 3 -x =4 ln 3.一點(diǎn)通由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化， 通過解方程組求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)后，可以將積分區(qū)間進(jìn)行細(xì)化分段，然后根據(jù)圖形對(duì)各個(gè)區(qū)間分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由圖像在上面的函數(shù)減去下面的函數(shù).,

7、汽 一 ，、一 一_ , 一 ，一 一4.由曲線y=sin x, y= cos x與直線x= 0, x =所圍成的平面圖形（如下圖中的陰影部分）的面積是（）A. 1D.2 A. 1D.2 淄2解析：S=解析：S=兀_24 (cos x-sin x)dx+ rH-1 (sin汽x cos x) dx= (sin x+cos x) 402-（cos x+sin x）兀T=（啦-1） - （1 -R = 2*-2.答案：D.求由曲線y=x2和直線y= x及y=2x所圍成的平面圖形的面積.2一,y=x，解：由得A(1,1),y=x,2,y=x,由 .y=2x,得B(2,4),如圖所示所求面積為1S=2

8、xdx-oxdx+2xdx 0122,y=x,由 .y=2x,得B(2,4),如圖所示所求面積為1S=2xdx-oxdx+2xdx 012x2 3dx12 .o(2x-x)dx+ (2xx )dx0 xdx +1(2x-x2)dx12, 1213 27=2x10+ x 3x | 1 = 6.簡(jiǎn)單幾何體的體積的求解例3求拋物線y= 2x2與直線x=a(a0)及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.精解t析由a0,各曲線圍成的平面圖形如圖陰影部分所示,a22a 4 IV= J 0 兀(2 x ) dx = 4 兀 J ox dx=4 兀.1x5 | 0 = 4 兀 a5.55一點(diǎn)通

9、 求旋轉(zhuǎn)體的體積的步驟：建立平面直角坐標(biāo)系.確定旋轉(zhuǎn)曲線函數(shù)f(x).確定積分上、下限a,b.計(jì)算體積V= / ；兀f2(x)dx.22 兀D.T角軍析：V=兀f o sin22 兀D.T角軍析：V=兀f o sin2.xdx=兀1 cos 2 x-dx兀 sin 2 x =7 x 2|2兀 兀0 =萬.答案：D.給定一個(gè)邊長(zhǎng)為 a的正方形，繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，則它的體積為解析：以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩邊所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則BC的方程：y = a.則該旋轉(zhuǎn)體即圓柱的體積為：/ ；兀x a2dx =兀a2x | 0 =a a3.答案：a a3

10、方法，規(guī)律,小結(jié).求由曲線圍成的圖形的面積時(shí)，若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選 y為積分變量，同時(shí)更改積分的上、下限.由曲線y= f（x）,直線x=a, x=b（ab）以及x軸圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周得 b應(yīng)用到的旋轉(zhuǎn)體的體積為 V=兀f 2（x）d x.應(yīng)用對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練深FMI煉經(jīng)典化,貴在觸炎旁通曲線y= cos x（0 w xW2tt ）與直線y= 1圍成的封閉圖形的面積是（）A.C. 3兀解析：如圖，求曲線 y = cos x（0wxw2兀）與直線y= 1圍成圖任形的面積可根據(jù)余弦函數(shù)圖像的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為求由直線y= 0,y= 1, x=0, x=2兀圍成的矩形的面積.故選

11、D.77或遨畛零左答案：D2.如果用1 N的力能將彈簧拉長(zhǎng)1 cm,為了將彈簧拉長(zhǎng) 6 cm,所耗費(fèi)的功為（）A. 0.18 JB. 0.26 JC. 0.12 JD. 0.28 J解析：設(shè) F(x) = kx,當(dāng) F= 1 N 時(shí)，x= 0.01 m ,貝U k=100. W0.06o 100 xdx=50 x2| 06=0.18 (J)答案：A23.曲線y= x+ 2x與直線x= - 1, x= 1及x軸所圍成圖形的面積為（）A. 28B.34C.32D.3解析:S= / 01( x2+2x)d x+ /0(x2+2x)dx1x3+ x2 01 +31x3+ x232 4=一+ -= 2.

12、3 3答案：A4.如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形OAB曲任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)取自陰影部分的概率為（1a.4答案：A4.如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形OAB曲任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)取自陰影部分的概率為（1a.41B.5P恰好C.61 D.-7解析：陰影部分的面積為j 0(Jx x)d x=2 212-x2 - x3216故所求的概率P=陰影部分的面積1的近八正方形OABC面積=6 故選C.答案：C5.如圖是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的v -t圖像，則質(zhì)點(diǎn)在前 6 s位移為3解析：直線5.如圖是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的v -t圖像，則質(zhì)點(diǎn)在前 6 s位移為3解析：直線OA勺萬程為y= x, 3.直線AB的萬程為y=-x+9,故

13、3質(zhì)點(diǎn)在刖6 s內(nèi)的位移為/04x dx+/4-7x+9 dx=-x28+ -|x2+9x4內(nèi)的= 6 + 3 =9(m).答案：9 m.（福建高考）如圖，在邊長(zhǎng)為 e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中 隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為 .解析：因?yàn)楹瘮?shù) y = ex與函數(shù)y=ln x互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直 線y= x對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù) y=ex與直線y=e的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1 , e）,所以陰影部分的面積為12(e x 1 oexdx) =2e2ex| 0=2e(2e 2) =2,由幾何概型的概率計(jì)算公式,0月修 2得所求的概率P=三一答案:2e答案:2e2和一2,則兩直線方程分別為2和一2,則兩直線方程分別為8.已知拋物線 y=x22x與直線x=0,x= a,y=0圍成的平面圖形的面積為 :，求a3.求拋物線y=x2+4x3及其在點(diǎn)A（1,0）和點(diǎn)R3,0）處的切線所圍成圖形的面積.解：由y = 2x+ 4得在點(diǎn)A, B處切線的斜率分別為 y=2x2 和 y= 2x+6,y= 2x 2,由