人教版簡(jiǎn)易邏輯 反證法高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課件

1、2021/8/9 星期一1簡(jiǎn)易邏輯2021/8/9 星期一2一、命題的有關(guān)概念1.命題可以判斷真假的語(yǔ)句. “非 p”形式的復(fù)合命題與 p 的真假相反; 2.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”.3.簡(jiǎn)單命題不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.4.復(fù)合命題含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.5.復(fù)合命題真值表 “p 或 q”形式的復(fù)合命題當(dāng) p 與 q 同時(shí)為假時(shí)為假, 其它情形為真; “p 且 q”形式的復(fù)合命題當(dāng)p 與q同時(shí)為真時(shí)為真, 其它情形為假.p非 p真假假真pqp 或 q真真真真假真假真真假假假pqp 且 q真真真真假假假真假假假假2021/8/9 星期一3二、命題的四種形式逆否命題: 若q, 則p.原命題:

2、若 p, 則 q; 逆命題: 若 q, 則 p; 否命題: 若p, 則q; 互逆互逆互否互否 否命題 若p 則q 逆否命題若q 則p 原命題若 p 則 q 逆命題若 q 則 p互 為 逆 否 否 逆 為 互注: 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假. 2021/8/9 星期一4三、反證法1.一般步驟反設(shè): 假設(shè)命題的結(jié)論不成立, 即假設(shè)結(jié)論的反面成立; 歸謬: 從假設(shè)出發(fā), 經(jīng)過(guò)推理論證, 得出矛盾; 結(jié)論: 由矛盾判定假設(shè)不正確, 從而肯定命題的結(jié)論正確. 2.命題特點(diǎn)結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn);結(jié)論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式; 結(jié)論涉及“存在或不存在”，“有限或無(wú)限”等形式; 結(jié)論

3、的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.2021/8/9 星期一53.特殊結(jié)論的反設(shè)原結(jié)論詞大于()小于()都是都不是至少 n 個(gè)至多 n 個(gè)反設(shè)詞不大于()不小于()不都是至少有一個(gè)是至多 n-1 個(gè)至少 n+1 個(gè)原結(jié)論詞有無(wú)窮多個(gè)存在唯一的對(duì)任意 x, 使恒成立反設(shè)詞只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè) x, 使不成立4.引出矛盾的形式由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到條件 p 不成立; 由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到結(jié)論 q 成立; 由假設(shè)結(jié)論 q 不成立, 得到一個(gè)恒假命題; 分別由假設(shè)與條件推得的兩個(gè)結(jié)論矛盾. 2021/8/9 星期一6典型例題用反證法證明下列各題: 1.某班有 49

4、 位學(xué)生, 證明: 至少有 5 位學(xué)生的生日同月. 3.設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個(gè)不小于 .12 4.設(shè)三個(gè)正數(shù) a, b, c 滿足條件 + + =2, 求證: a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于 1.b1a1c1 2.若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根.2021/8/9 星期一7證: 假設(shè)至多有 4 位學(xué)生的生日同月, 即:生日在 1, 2, , 12 月的學(xué)生人數(shù)都不超過(guò) 4 人.則該班學(xué)生總數(shù) m412=48人,與該班

5、有 49 位學(xué)生的條件矛盾,假設(shè)不成立.至少有 5 位學(xué)生的生日同月.1.某班有 49 位學(xué)生, 證明: 至少有 5 位學(xué)生的生日同月. 2021/8/9 星期一8證: 假設(shè)這兩個(gè)方程都沒有實(shí)根, 則 10 且 20, 從而有:1+20. 又1+2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2) =p12+p22-2p1p2=(p1-p2)20, 與 1+20 矛盾. 即 1+20,假設(shè)不成立. 故這兩個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根. 2.若 p1p2=2(q1+q2), 證明關(guān)于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 與 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

6、2021/8/9 星期一9證: 假設(shè) |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 全小于 , 即:12- 1+a+b 1212- 4+2a+b 1212- 9+3a+b 1212- a+b- 3212- 2a+b- 9272- 3a+b- 2192173212由式得-a-b , 與式相加得 -4a-2 與式相加得 -6a-4 9272由式得-2a-b , 顯然與矛盾, 假設(shè)不成立.故 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個(gè)不小于 .12 3.設(shè) f(x)=x2+ax+b, 求證: |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 中至少有一個(gè)不小于 .122021/8/9 星期一10 4

7、.設(shè)三個(gè)正數(shù) a, b, c 滿足條件 + + =2, 求證: a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于 1.b1a1c1a, b, c 三數(shù)均小于 1, 證: 假設(shè) a, b, c 中至多有一個(gè)數(shù)不小于 1, 這包含兩種情況:即 0a1, 0b1, 0c1, 1, 1, b1a1c1 + + 3,b1a1c1也與已知條件矛盾.a, b, c 中恰有兩數(shù)小于 1, 不妨設(shè) 0a1, 0b1, 1, b1a1c1 + + 2+ 2, b1a1c1假設(shè)不成立.a, b, c 中至少有兩個(gè)不小于 1.2021/8/9 星期一11課堂練習(xí) 1.已知 abc0, 求證: 三個(gè)方程 ax2+bx+ =0、bx2

8、+cx+ =0 與a4c4cx2+ax+ =0 中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. b4 2.對(duì)于函數(shù) f(x)=x2+ax+b(a, bR), 當(dāng) x-1, 1 時(shí), |f(x)| 的最大值為 M, 求證: M . 123.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.1.證: 設(shè)三個(gè)方程的判別式分別為1, 2, 3,由 1+2+3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb = (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 12即 1+2+3 0. 故所述三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根. 1, 2, 3 中至少有一個(gè)非負(fù).2021/8/9 星期一12 2.對(duì)于函數(shù) f(x

9、)=x2+ax+b(a, bR), 當(dāng) x-1, 1 時(shí), |f(x)| 的最大值為 M, 求證: M . 12|f(-1)|=|1-a+b| . 12證: 假設(shè) M, 則 |f(1)|=|1+a+b| , |f(0)|=|b| ,121212121212|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b| +2 + =2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2. 又|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2,與式矛盾. 假設(shè)不成立. 12 M.2021/8/9 星期一133.方程 x2 -mx+4=0 在-1, 1上有解, 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.解: 先考慮 x2 -mx+4=0 在-1, 1上無(wú)解時(shí) m 的取值范圍.包含兩種情況: 方程 x2 -mx+4=0 無(wú)實(shí)數(shù)解;方程有實(shí)數(shù)解, 但解不在 -1, 1 上.設(shè) f(x