matlab-拉普拉斯變換

1、實驗六拉普拉斯變換及其逆變換(1)掌握連續(xù)系統(tǒng)及信號拉普拉斯變換概念(2 )掌握利用MATLAB繪制系統(tǒng)零極點圖的方法(3 )掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆變換的方法二、拉普拉斯變換曲面圖的繪制連續(xù)時間信號f (t)的拉普拉斯變換定義為：F(s)十 f (t)e_stdt( 6-1 )其中s =a + ，若以b為橫坐標(實軸)，抄為縱坐標(虛軸)，復(fù)變量s就構(gòu)成了一個復(fù)平面， 稱為 s 平面。顯然，F(xiàn)(s)是復(fù)變量s的復(fù)函數(shù),為了便于理解和分析F(s)隨s的變化規(guī)律，可以將F(s)寫成: F (s) = |F (s) *用 s)(6-2)其中，|F(s)|稱為復(fù)信號F(s)的模，而申(s)

2、則為F(s)的幅角。從三維幾何空間的角度來看，|F(s)和申(s)對應(yīng)著復(fù)平面上的兩個平面，如果能繪出它們的三 維曲面圖，就可以直觀地分析連續(xù)信號的拉普拉斯變換F(s)隨復(fù)變量s的變化規(guī)律。上述過程可以利用MATLAB的三維繪圖功能實現(xiàn)?，F(xiàn)在考慮如何利用MATLAB來繪制s平面 的有限區(qū)域上連續(xù)信號f (t)的拉普拉斯變換F (s)的曲面圖現(xiàn)以簡單的階躍信號u (t)為例說明實現(xiàn) 過程。我們知道，對于階躍信號f (t) = u(t)，其拉普拉斯變換為F(s) = 1。首先，利用兩個向量來確 s定繪制曲面圖的s平面的橫、縱坐標的范圍。例如可定義繪制曲面圖的橫坐標范圍向量X1和縱坐 標范圍向量y1

3、分別為：x1=-0.2：0.03：0.2; y1=-0.2：0.03：0.2;然后再調(diào)用meshgrid()函數(shù)產(chǎn)生矩陣s，并用該矩陣來表示繪制曲面圖的復(fù)平面區(qū)域，對應(yīng) 的 MATLAB 命令如下：x,y=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;上述命令產(chǎn)生的矩陣s包含了復(fù)平面-0.2 Vb 0.2， -0.2 L，則F(s)可以分解為有理多項式與真分式之和，即其中，P(s)是關(guān)于s的多項式，其逆變換可直接求得(沖激信號及其各階導數(shù))，R(s)為關(guān)于s的 有理真分式，即滿足M N。以下進討論M N的情況。設(shè)連續(xù)信號f (t)的拉普拉斯變換為F (s)，則 在滿足M N情況下，有以下幾

4、種情況：)F (s) )F (s) (i = 1,2, , N)稱為有理函數(shù)F (s)的留數(shù)。s=pi則F (s)的拉普拉斯逆變換為：50(2 )有重極點，設(shè)為P,則部分分式展開為K 可用下式求得 貝F (s)的拉普拉斯逆變換為：( 3)有共軛極點設(shè)F (s)有一對共軛極點p二-a jP，則由共軛極點所決定的兩項1復(fù),2 指數(shù)信號可以合并成一項，故有從以上分析可以看出，只要求出F(s)部分分式展開的系數(shù)(留數(shù))r，就可直接求出F(s)的 逆變換 f (t)。上述求解過程，可以利用MATLAB的residue()函數(shù)來實現(xiàn)。令A(yù)和B分別為F(s)的分子和 分母多項式構(gòu)成的系數(shù)向量，則函數(shù)：r,p

5、,k=residue(B,A)將產(chǎn)生三個向量、p和k，其中p為包含F(xiàn)(s)所有極點的列向量，為包含F(xiàn)(s)部分分式展 開系數(shù)r的列向量，k為包含F(xiàn)(s)部分分式展開的多項式的系數(shù)行向量，若M N，則k為空。 例 6-4：i 已知連續(xù)信號的拉普拉斯變換為： 試用MATLAB求其拉普拉斯逆變換f (t)。解：MATLAB命令如下：a=1 0 4 0;b=2 4;r,p,k=residue(b,a)運行結(jié)果：-0.5000 - 0.5000i-0.5000 + 0.5000i1.0000p =0 + 2.0000i0 - 2.0000i0k =由上述結(jié)果可以看出，F(xiàn)(s)有三個極點p =j2，p二0

6、，為了求得共軛極點對應(yīng)的信號分1, 23量，可用abs()和angle()分別求出部分分式展開系數(shù)的模和幅角，命令如下：abs(r)ans =0.70710.70711.0000 angle(r)/pi ans =-0.75000.7500 0由上述結(jié)果可得 f (t) = 1 +、2 cos(2t - )u(t)。例 6-5 ：求下式函數(shù)的逆變換 解：MATLAB程序如下：a=1 3 3 1 0; b=1 -2;r,p,k=residue(b,a) 運行結(jié)果：2.00002.00003.0000-2.0000p =-1.0000-1.0000-1.00000k =則F(s)=+ 2 + 3

7、- 2，對應(yīng)的逆變換為f (t) = (312 + 2t + 2)e-t - 2u(t) 。(s+1)(s+1)2(s+1)3 s2六、實驗內(nèi)容1求解下述信號的拉普拉斯變換，并利用MATLAB繪制拉普拉斯變換的曲面圖：f (t ) = cos(2t )u(t )f (t) = e-2t sin(t )u(t )2、已知連續(xù)時間信號f(t) = e-3tu(t)，試求出該信號的拉普拉斯變換F(s)和傅立葉變換F(jw)，用 MATLAB繪出拉普拉斯變換曲面圖|F(s)|及幅頻曲線|F(jw )，觀察曲面圖在虛軸上的剖面圖，并將 其與幅頻曲線相比較，分析頻域與復(fù)頻域的對應(yīng)關(guān)系。3、已知信號的拉普拉斯變換如下所示，試用 MATLAB 繪