高三數學專題復習《函數》

1、第 頁共6頁高三數學專題復習函數一、基礎知識定義 1 映射，對于任意兩個集合 A，B，依對應法則 f ，若對 A中的任意一個元素 x，在 B 中都有唯一一個元素與之對應，則稱 f : AB 為一個映射。定義 2 單射，若 f: AB是一個映射且對任意 x, yA, x y, 都有 f (x) f ( y)則稱之為 單射。定義 3 滿射，若 f: A B是映射且對任意 yB，都有一個 xA使得 f( x)= y，則稱 f: A B是 A到 B上的滿射。定義 4 一一映射，若 f: A B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即從 B到 A由相反的對應法則 f -1構成的映射

2、，記作 f-1: AB。定義 5 函數，映射 f: AB中，若 A，B都是非空數集，則這個映射為函數。A稱為它的定義域，若 xA, yB，且 f ( x)= y(即 x 對應 B中的 y)，則 y 叫做 x的象， x叫 y 的原象。 集合f (x)| xA叫函數的值域。通常函數由解析式給出，此時函數定義域就是使解析式有 意義的未知數的取值范圍，如函數y=3 x -1 的定義域為 x|x0, xR.定義 6 反函數，若函數 f: AB(通常記作 y=f( x) )是一一映射，則它的逆映射 f-1: A-1B叫原函數的反函數， 通常寫作 y=f-1(x). 這里求反函數的過程是： 在解析式 y=f

3、 (x)中反 解 x 得 x=f -1(y)，然后將 x, y 互換得 y=f-1( x) ，最后指出反函數的定義域即原函數的值域。11例如：函數 y=的反函數是 y=1- ( x 0).1 x x定理 1 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y=x 對稱。定理 2 在定義域上為增(減)函數的函數，其反函數必為增(減)函數。定義 7 函數的性質。單調性：設函數 f (x) 在區(qū)間 I 上滿足對任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，總有 f( x1) f ( x2) ，則稱 f ( x)在區(qū)間 I 上是增(減)函數，區(qū)間 I 稱為單調增(減)區(qū)間。奇偶性：設函數 y=f ( x)的定義域為 D

4、，且 D是關于原點對稱的數集，若對于任意的xD，都有 f(- x)=- f(x)，則稱 f ( x)是奇函數；若對任意的 x D，都有 f(- x)=f (x)，則稱 f ( x)是偶函數。奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y 軸對稱。周期性：對于函數 f( x) ，如果存在一個不為零的常數 T，使得當 x 取定義域內每一個 數時， f ( x+T)= f ( x)總成立，則稱 f ( x)為周期函數， T稱為這個函數的周期，如果周期中存 在最小的正數 T0，則這個正數叫做函數 f(x) 的最小正周期。定義 8 如果實數 ab，則數集 x| axb, xR叫做開區(qū)間，記作( a, b)

5、，集合 x|ax b, xR記作閉區(qū)間 a, b ，集合 x| axb記作半開半閉區(qū)間 (a, b ，集合 x| axa記作開區(qū)間( a, +)，集合 x| x a記作半開半閉區(qū)間 (- , a.定義 9 函數的圖象，點集 ( x,y)| y=f ( x), xD稱為函數 y=f(x)的圖象，其中 D為 f(x) 的定義域。通過畫圖不難得出函數y=f ( x)的圖象與其他函數圖象之間的關系( a, b0) ；(1)向右平移 a個單位得到 y=f ( x- a)的圖象；(2)向左平移 a個單位得到 y=f ( x+a)的圖象；(3) 向下平移 b個單位得到 y=f (x)- b 的圖象；( 4)

6、與函數 y=f(- x) 的圖象關于 y軸對稱；( 5) 與函數 y=-f(- x)的圖象關于原點成中心對稱； ( 6)與函數 y=f -1 (x)的圖象關于直線 y=x對稱； (7)與函數 y=- f ( x)的圖象關于 x 軸對稱。1定理 3 復合函數 y=f g( x) 的單調性，記住四個字： “同增異減” 。例如 y=, u=2- x2x11在( -,2 )上是減函數， y= 在( 0， +)上是減函數，所以 y=在( -,2 )上是u 2 x增函數。注：復合函數單調性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴格論證，求導之后是顯然的。、方法與例題1數形結合法。1例 1 求方程 | x-1|= 的正根的個數 .x1【解】 分別畫出 y=| x-1| 和 y= 的圖象，由圖象可知兩者有x唯一交點，所以方程有一個正根。例 2 求函數 f (x)= x4 3x2 6x 13 x4 x2 1 的最大值。解】 f(x)= (x2 2)2 (x 3)2(x2 1)2 (x 0)2 ，記點 P(x, x-2)，A(3，2)，B(0，1)，則 f ( x)表示動點 P到點 A和 B距離的差。因為| PA|-| PA| AB|= 32 (2 1)210 ,當且僅當 P為 AB延長線與拋物線 y=x2的交點時等號成立。所以 f(x)max= 10.2. 函數性質的應用。2例3 設 x, y R，且滿足