山西大學(xué)年《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末試題及答案

1、一、填空（請(qǐng)將正確答案直接填在橫線上。每小題 2分，共10分）1. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，則 _，_.2. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其概率分布分別為，則 _.3. 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則 服從_分布.4. 已知與相互獨(dú)立同分布，且則 _.5. 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有_.二、單項(xiàng)選擇(在每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分)1. 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 ，則系數(shù)（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（ ）.(A) (B) (C)

2、 (D) 3. 設(shè)隨機(jī)向量(X , Y)的聯(lián)合分布密度為, 則（ ）.(A) (X , Y) 服從指數(shù)分布(B) X與Y不獨(dú)立 (C) X與Y相互獨(dú)立(D) cov(X , Y) 04. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 且, 則下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 6設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在, 則下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若隨機(jī)變量是的線性函數(shù)，且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)（ ）.(

3、A) (B) (C) (D) 8. 設(shè)是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則對(duì)于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 設(shè),為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，正態(tài)分布N ( 0, 1 ) 的密度函數(shù)為, 則（ ）. 三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 將2個(gè)球隨機(jī)地放入3個(gè)盒子，設(shè)表示第一個(gè)盒子內(nèi)放入的球數(shù)，表示有球的盒子個(gè)數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為（1）確定的值；（2）求 .3. 設(shè)的聯(lián)合密度為（

4、1）求邊緣密度和；（2）判斷與是否相互獨(dú)立.4. 設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.5. 設(shè)，且與相互獨(dú)立.求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）.6. 設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.7. 對(duì)敵人陣地進(jìn)行100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.8. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)0.9.四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.參考解答一、填空1. 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣

5、分布的關(guān)系得 2. 3. 相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，4. 5. 二、單項(xiàng)選擇1. (B)由 即 選擇(B).2. (B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得 選擇(B).3. (C)選擇(C).4. (C)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 則選擇(C).5. (A)選擇(A).6. (A) 由期望的性質(zhì)知選擇(A).7. (D)選擇(D).8. (B)與不相關(guān)的充要條件是即 則 選擇(B).9. (C) 選擇(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則故 選擇(A).三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解顯然的可能取值為；的可能取值為注意到將個(gè)球隨機(jī)的放入個(gè)盒子共有種放法,則有即 的聯(lián)合分布律為2. 解（1）由概率密度的性質(zhì)有可得 （2）設(shè)，則3. 解（1） 即 即 ，（2）當(dāng)時(shí)故隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立.4. 解先求的分布函數(shù)顯然，隨機(jī)變量的取值不會(huì)為負(fù)，因此當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，故 的概率密度為5. 解（1） 與相互獨(dú)立 的聯(lián)合密度為（2）（3）6. 解于是 由對(duì)稱(chēng)性 故 .7. 解設(shè) 表示第次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù)，由題設(shè)，有 ，則次炮擊命中目標(biāo)的炮彈數(shù) ，因 相互獨(dú)立，同分布，則由中心極限定理知近似服從正態(tài)分布于是 8. 解設(shè)應(yīng)檢查個(gè)產(chǎn)品，其中次品數(shù)為，則