重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實驗課件第10講 非線性方程求解

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實驗Experiments in Mathematics實驗6 非線性方程求解數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗- 李煥榮 實 驗 6什么叫方程（組）?方程：包含未知數(shù)（或/和未知函數(shù)）的等式方程組：包含未知數(shù)（或/和未知函數(shù)）的一組等式不包含未知函數(shù)的方程組的一般形式： F(x)=0 x= (x1,x2,xn)T, F(x)=(f1(x),f2(x),fm(x)T (一般m=n)滿足方程（組）的未知數(shù)的取值稱為方程（組）的解，或稱為F(x)的零點。單變量方程（一元方程）：f(x)=0, “解”也稱為“根” 實 驗 6 實 驗 6非線性方程的特點方程根的特點： n次代數(shù)方程有且只有n個根(包括復(fù)根、重

2、根)； 5次以上的代數(shù)方程無求根公式； 超越方程有無根，有幾個根通常難以判斷。方程分類： 代數(shù)方程: a0 xn+a1xn-1+an=0； 超越方程：包含超越函數(shù)(如sinx, lnx)的方程； 非線性方程：n(2)次代數(shù)方程和超越方程。 實 驗 6 實 驗 6實驗6的基本內(nèi)容3.實際問題中非線性方程的數(shù)值解1.非線性方程 f(x)=0 的數(shù)值解法: 迭代方法的基本原理; 牛頓法; 擬牛頓法.2.推廣到解非線性方程組4.分岔和混沌現(xiàn)象 實 驗 6 實 驗 6實例1 路燈照明 道路兩側(cè)分別安裝路燈，在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開啟時，兩只路燈連線的路面上最暗的點和最亮的點在哪里？h2P2P1sh1

3、如果P2的高度可以在3米到9米之間變化，如何使路面上最暗點的亮度最大？ 如果兩只路燈的高度均可以在3米到9米之間變化呢？s=20(米) P1=2, P2=3(千瓦)h1=5, h2=6(米) 實 驗 6 實 驗 6實例1 路燈照明 建立坐標(biāo)系如圖，兩個光源在點Q(x,0)的照度分別為(k是由量綱單位決定的比例系數(shù)，不妨記k=1) 點Q的照度 x x 2 1 O h2P2r1 P1s r2 h1yQ 實 驗 6 實 驗 6實例1 路燈照明 為求最暗點和最亮點，先求C(x)的駐點 x x 2 1 O h2P2r1 P1s r2 h1y令C (x)=0：解析解是難以求出，需數(shù)值求解Q 實 驗 6 實

4、 驗 6 根的隔離:二分法解方程 f(x)=0第一步確定根的大致范圍 圖形法：作f(x)圖形,觀察f(x)與x軸的交點非線性方程的基本解法 圖形法有4個根分別位于x= -1.75, -0.75, 1.00，2.40附近 實 驗 6 實 驗 6二分法的原理二分法的實現(xiàn)不足收斂速度較慢區(qū)間每次縮小一半，n足夠大時，可確定根的范圍中點非線性方程的基本解法 實 驗 6 實 驗 6例1存在根非線性方程迭代法的基本思想 實 驗 6 實 驗 6非線性方程的迭代法（例） 實 驗 6 實 驗 6牛頓切線法牛頓切線法2階收斂若x*為單根xkxk+1MNxOy=f(x)yf(xk) 實 驗 6 實 驗 6牛頓割線法

5、yOxk+1xy=f(x)PQxk-1xk若x*為重根牛頓切線法1階收斂收斂速度比牛頓切線法稍慢重數(shù)越高，收斂越慢 實 驗 6 實 驗 6MATLAB優(yōu)化工具箱解非線性方程 fzero: 單變量方程 f(x)=0 求根(變號點)最簡形式 x= fzero(f, x0 )可選輸入: “P1,P2,.”是傳給f.m的參數(shù)(如果需要的話) opt是一個結(jié)構(gòu)變量，控制參數(shù)(如精度TolX ) opt可用optimset設(shè)定, 不指定或指定為 時將采用缺省值 如: opt=optimset(TolX,1e-8) 輸出: fv是函數(shù)值; ef是程序停止運行的原因(1,0,-1); out是一個結(jié)構(gòu)變量，包

6、含: iterations(迭代次數(shù)), funcCount (函數(shù)調(diào)用次數(shù)), algorithm(所用算法)一般形式 x, fv, ef, out = fzero(f, x0, opt, P1, P2, . ) 必須輸入: f為f.m函數(shù)名，x0是迭代初值(或有根區(qū)間) 輸出: x是變號點的近似值(函數(shù)不連續(xù)時不一定是根) 實 驗 6 實驗 6實例1 路燈照明 C (x)有3個駐點: (9,10)內(nèi)的是最小點，0或20附近的是最大點 實 驗 6 實 驗 6實例1 路燈照明 function y=zhaoming(x)y=2*5*x/(52+x2)(5/2)-3*6*(20-x)/(62+(20-x)2)(5/2); x0=0,10,20;for k=1:3x(k)=fzero(zhaoming,x0(k);c(k)=2*5/(52+x(k)2)(3/2)+3*6/(62+(20-x(k)2)(3/2);endx;c x00.028489979.3382991419.9766958120C(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468x =9.3383是C(x)的最小值點，x =19.976