MBA運籌學(xué)培訓(xùn)講義

1、- PAGE 57-MBA運籌學(xué)講義運籌學(xué)是是一門應(yīng)應(yīng)用科學(xué)學(xué)，它廣廣泛應(yīng)用用現(xiàn)代科科學(xué)技術(shù)術(shù)知識、用定量量分析的的方法，解決實實際中提提出的問問題，為為決策者者選擇最最優(yōu)決策策提供定定量依據(jù)據(jù)。運籌籌學(xué)的核核心思想想是建立立在優(yōu)化化的基礎(chǔ)礎(chǔ)上。例如，在在線性規(guī)規(guī)劃中體體現(xiàn)為兩兩方面：（1）對對于給定定的一項項任務(wù)，如何統(tǒng)統(tǒng)籌安排排，使以以最少的的資源消消耗去完完成？（2）在在給定的的一定數(shù)數(shù)量的資資源條件件下，如如何合理理安排，使完成成的任務(wù)務(wù)最多？運籌學(xué)解解決問題題的主要要方法是是用數(shù)學(xué)學(xué)模型描描述現(xiàn)實實中提出出的決策策問題，用數(shù)學(xué)學(xué)方法對對模型進進行求解解，并對對解的結(jié)結(jié)果進行行分析，為

2、決策策提供科科學(xué)依據(jù)據(jù)。隨著計算算機及計計算技術(shù)術(shù)的迅猛猛發(fā)展，目前對對運籌學(xué)學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)模型的的求解已已有相應(yīng)應(yīng)的軟件件。因此此，在實實際求解解計算時時?？山杞柚谲涇浖谟嬘嬎銠C上上進行，這樣可可以節(jié)省省大量的的人力和和時間。第一部分分線性規(guī)規(guī)劃內(nèi)容容框架LP問題題基本概念念數(shù)學(xué)模模型可行行解、最最優(yōu)解實際問題題LP問題題解的概概念基本本解、基基可行解解提出基本本最優(yōu)解解基本方法法圖解法原始單純純形法單純形法法大M法人工變量量法對偶單純純形法兩兩階段法法對偶理論論進一步討討論靈敏度分分析參數(shù)規(guī)規(guī)劃*在經(jīng)濟管管理領(lǐng)域域內(nèi)應(yīng)用用運輸問題題（轉(zhuǎn)運運問題）特殊的LLP問題題整數(shù)規(guī)規(guī)劃多目標(biāo)LLP問題

3、題*第一部分分線性規(guī)規(guī)劃（LLineear Proograammiing）及其應(yīng)應(yīng)用第一章 LPP問題的的數(shù)學(xué)模模型與求求解1 LP問問題及其其數(shù)學(xué)模模型（一）引引例1（生產(chǎn)產(chǎn)計劃的的問題） 某工廠廠在計劃劃期內(nèi)要要安排生生產(chǎn)、的兩種種產(chǎn)品，已知生生產(chǎn)單位位產(chǎn)品所所需的設(shè)設(shè)備臺時時，A、B兩種原原材料的的消耗以以及每件件產(chǎn)品可可獲的利利潤如下下表所示示。問應(yīng)應(yīng)如何安安排計劃劃使該工工廠獲利利最多？資源限量量設(shè)備128(臺時時)原材料AA4016(kkg)原材料BB0412(kkg)單位產(chǎn)品品利潤（元）23該問題可可用一句句話來描描述，即即在有限限資源的的條件下下，求使使利潤最最大的生生產(chǎn)計劃劃

4、方案。解：設(shè)xx1,x2分別表表示在計計劃期內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品、的產(chǎn)量量。由于于資源的的限制，所以有有：機器設(shè)備備的限制制條件：x1+2xx28原材料AA的限制制條件： 44x116（稱為為資源約約束條件件）原材料BB的限制制條件： 44x212同時，產(chǎn)產(chǎn)品、的產(chǎn)量量不能是是負(fù)數(shù)，所以有有x100，x20（稱為為變量的的非負(fù)約約束）顯然，在在滿足上上述約束束條件下下的變量量取值，均能構(gòu)構(gòu)成可行行方案，且有許許許多多多。而工工廠的目目標(biāo)是在在不超過過所有資資源限量量的條件件下，如如何確定定產(chǎn)量xx1，x2以得到到最大的的利潤，即使目目標(biāo)函數(shù)數(shù)Z=2xx1+3xx2的值達(dá)達(dá)到最大大。綜上所述述，該生生

5、產(chǎn)計劃劃安排問問題可用用以下數(shù)數(shù)學(xué)模型型表示：maxzz=2xx1+3xx2引例2. （營營養(yǎng)配餐餐問題）假定一個個成年人人每天需需要從食食物中獲獲取30000卡卡路里熱熱量，555克蛋蛋白質(zhì)和和8000毫克鈣鈣。如果果市場上上只有四四種食品品可供選選擇，它它們每千千克所含含熱量和和營養(yǎng)成成份以及及市場價價格如下下表所示示。問如如何選擇擇才能滿滿足營養(yǎng)養(yǎng)的前提提下使購購買食品品的費用用最??？序號食品名稱稱熱量(卡卡路里)蛋白質(zhì)(克)鈣(mgg)價格(元元)1豬肉1000050400102雞蛋8006020063大米9002030034白菜200105002解:設(shè)xxj(j=1,22,3,4)為

6、為第j種食品品每天的的購買量量，則配配餐問題題數(shù)學(xué)模模型為minzz=100 x16x23x32x4（二）LLP問題題的模型型上述兩例例所提出出的問題題，可歸歸結(jié)為在在變量滿滿足線性性約束條條件下，求使線線性目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值最大或或最小的的問題。它們具具有共同同的特征征。（1）每每個問題題都可用用一組決決策變量量(x1,x2,xn)表示某某一方案案，其具具體的值值就代表表一個具具體方案案。通常?？筛鶕?jù)據(jù)決策變變量所代代表的事事物特點點，可對對變量的的取值加加以約束束，如非非負(fù)約束束。（2）存存在一組組線性等等式或不不等式的的約束條條件。（3）都都有一個個用決策策變量的的線性函函數(shù)作為為決策目目標(biāo)

7、（即即目標(biāo)函函數(shù)），按問題題的不同同，要求求目標(biāo)函函數(shù)實現(xiàn)現(xiàn)最大化化或最小小化。滿足以上上三個條條件的數(shù)數(shù)學(xué)模型型稱為LLP的數(shù)數(shù)學(xué)模型型，其一一般形式式為：max(或minn)z=c1x1+c2x2+cnxn(1.1)(1.3)(1.2)或緊縮形形式mmax(或minn)z=(1.4)或矩陣形形式mmax(或minn)z=cx(1.5)或向量形形式：mmax(或minn)z=cx(1.6)其中C=(c11,c2,cn)，稱為為價值系系數(shù)向量量；稱為技術(shù)術(shù)系數(shù)矩矩陣（并并稱消耗耗系數(shù)矩矩陣） =(p1,p2,pn)稱資源限限制向量量X=(x11,x2,xn)T稱為決決策變量量向量。（三）LLP

8、問題題的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型1.為了了討論LLP問題題解的概概念和解解的性質(zhì)質(zhì)以及對對LP問題題解法方方便，必必須把LLP問題題的一般般形式化化為統(tǒng)一一的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型：maxz=cxmmaxzz=； 或maxxz=ccx或標(biāo)準(zhǔn)型的的特點：目標(biāo)函函數(shù)是最最大化類類型約束條條件均由由等式組組成決策變變量均為為非負(fù)bi(i=11,2,n)2.化一一般形式式為標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型minnzmaax(-z)=-cxx“”左左邊+松馳變變量；“”左邊“松馳變變量”變量xxj0-xj0變量xj無限制制令xj=xjxjbi0等式式兩邊同同乘以(-1)。3.模型型隱含的的假設(shè)比例性性假定：決策變變量變化化的改變變量與引引起目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的的改

9、變量量成比例例；決策策變量變變化的改改變量與與引起約約束方程程左端值值的改變變量成比比例。此此假定意意味著每每種經(jīng)營營活動對對目標(biāo)函函數(shù)的貢貢獻是一一個常數(shù)數(shù)，對資資源的消消耗也是是一個常常數(shù)?？杉有孕约俣ǎ好總€決決策變量量對目標(biāo)標(biāo)函數(shù)和和約束方方程的影影響是獨獨立于其其它變量量的。連續(xù)性性假定：決策變變量應(yīng)取取連續(xù)值值。確定性性假定：所有的的參數(shù)(aijj,bi,cj)均為確確定，所所以LPP問題是是確定型型問題，不含隨隨機因素素。以上4個個假定均均由于線線性函數(shù)數(shù)所致。在現(xiàn)實實生活中中，完全全滿足這這4個假定定的例子子并不多多見，因因此在使使用LPP時必須須注意問問題在什什么程度度上滿足足

10、這些假假定。若若不滿足足的程度度較大時時，應(yīng)考考慮使用用其它模模型和方方法。如如非線性性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)規(guī)劃或不不確定型型分析方方法。對LP標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型，我們還還假定rr(A)=mn。（四）LLP問題題的解的的概念設(shè)LP問問題mmaxzz=(1.7)(1.8)(1.99) 1.從從代數(shù)的的角度看看：可行解和和最優(yōu)解解滿足約約束條件件(1.8)和(1.9)的解X=(x11,x2,xn)T稱為可可行解。所有可可行解構(gòu)構(gòu)成可行行解集，即可行行域。而而使目標(biāo)標(biāo)函數(shù)達(dá)達(dá)到最大大值的可可行解稱稱為最優(yōu)優(yōu)解，對對應(yīng)的目目標(biāo)函數(shù)數(shù)值稱為為最優(yōu)值值。求解LPP問題就就是求其其最優(yōu)解解和最優(yōu)優(yōu)值，但但從代數(shù)數(shù)的角度度去求

11、是是困難的的。2.從LLP角度度看：基：設(shè)AA為mxnn矩陣，r(AA)=mm，B是A中的mxxm階非非奇異子子矩陣（即|BB|0），則則稱B是LP問題題的一個個基。若B是LLP問題題的一個個基，則則B由m個線性性獨立的的列向量量組成，即B=(Prr1,PPr2,Prmm)，其中中Prj=(a1rrj,aa2rjj,amrrj)T，(j=1,22,m)稱為基基向理。與其向向量Prj相對對應(yīng)的變變量xrj稱為為基變量量，其它它變量稱稱為非基基變量。顯然，對應(yīng)于于每個基基總有mm個基變變量，nnm個非基基變量。基本解與與基可行行解設(shè)B是LP問題題的一個個基，令令其nm個非基基變量均均為零，所得方方

12、程的解解稱為該該LP問題題的一個個基本解解。顯然然，基BB與基本本解是一一一對應(yīng)應(yīng)的，基基本解的的個數(shù)Cmn。在基基本解中中，稱滿滿足非負(fù)負(fù)條件的的基本解解為基可可行解，對應(yīng)的的基稱為為可行基基。退化解如如果基解解中非零零分量的的個數(shù)小小于m，則稱稱此基本本解為退退化的，否則是是非退化化的。最優(yōu)基如如果對應(yīng)應(yīng)于基BB的基可可行解是是LP問題題的最優(yōu)優(yōu)解，則則稱B為LP問題題的最優(yōu)優(yōu)基，相相應(yīng)的解解又稱基基本最優(yōu)優(yōu)解。3.LPP問題解解之間的的關(guān)系如如圖所示示基本解可行解基可行解（五）兩兩個變量量LP問問題的圖圖解法 1.LLP問題題解的幾幾何表示示。以引引例為例例說明maxzz=2xx1+3x

13、x2按以下順順序進行行：解：（11）畫出出直角坐坐標(biāo)系；（2）依依次做每每條約束束線，標(biāo)標(biāo)出可行行域的方方向，并并找出它它們共同同的可行域；AQ1Q2x2（3）任任取一目目標(biāo)函數(shù)數(shù)值作一一條目標(biāo)標(biāo)函數(shù)線線（稱等等值線），根據(jù)據(jù)目標(biāo)函函數(shù)（最最大或最最小）類類型，平平移該直直線即將將離開可可行域上上，則與與目標(biāo)函函數(shù)線接接觸的最最終點即即表示最最優(yōu)解。3BQ4Q3201x10 1 2 3 4圖1其中，將將目標(biāo)函函數(shù)Z=2x11+3xx2改寫為為，因此此，它可可以表示示為：以以z為參數(shù)數(shù)，以為為斜率的的一族平平行線。位于同同一條直直線上的的點具有有相同的的值。解的幾種種情況：（1）此此例有唯唯一解

14、QQ2，即x1=4,x2=2,z=114（2）有有無窮多多最優(yōu)解解（多重重解），若將目目標(biāo)函數(shù)數(shù)改為zz=2xx1+4xx2則線段段Q2，Q3上的點點均為最最優(yōu)解。（3）無無界解x20 x1求maxx無界但求miin有唯唯一解（4）無無可行解解x2x10可行域與與最優(yōu)解解間的關(guān)關(guān)系：可行域最最優(yōu)解空集無最最優(yōu)解（無可行行解）有界集唯唯一最優(yōu)優(yōu)解多重解無界集無無有限最最優(yōu)解（無界解解）結(jié)論：（1）LP問題題的可行行域是凸凸集（凸凸多邊形形，凸多多面體，）；（2）LLP問題最最優(yōu)解若若存在，則必可可在可行行域的頂頂點上得得到；（3）LLP問題題的可行行域的頂頂點個數(shù)數(shù)是有限限的；（4）若若LP問題

15、題有兩個個最優(yōu)解解，則其其連線上上的點都都是最優(yōu)優(yōu)解。因因此，求求解LPP問題可可轉(zhuǎn)化為為如何在在可行域域的頂點點上求出出使目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值達(dá)到最最優(yōu)的點點的問題題。 2.基基可行解解的幾何何意義對例1 LPP問題標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化為為maxxZ=22x1+3xx2可求得所所有的基基本解：x(1)=(00,0,8,116,112)TT(0點),xx(2)=(44,0,4,00,122)T(Q1點)x(3)=(44,2,0,00,4)T(Q2點),xx(4)=(22,3,0,88,0)T(Q3點)x(5)=(00,3,2,116,00)T(Q4點),xx(6)=(44,3,-2,0,00)T(C點)x(7)

16、=(88,0,0,-16,12)T(A點),xx(8)=(00,4,0,116,-4)TT(B點)但A、BB、C三點是是非可行行域上的的點，即即非可行行解。因因此，xx(1)，x(2)，x(3)，x(4)，x(5)才是基基可行解解，它們們與可行行域的頂頂點相對對應(yīng)。于于是還有有結(jié)論：（5）對于于標(biāo)準(zhǔn)型型的LPP問題，X是基可可行解的的充要條條件是XX為可行行域的頂頂點。（6）LLP問題題可行域域頂點的的個數(shù)=基可行行解的個個數(shù)基的個個數(shù)Cmn 3.圖圖解法只只適用于于兩個變變量（最最多含三三個變量量）的LLP問題題。 4.求求解LPP問題方方法的思思考：完全枚枚舉法，對m、n較大時時，Cmn是

17、一個個很大的的數(shù)，幾幾乎不可可能；從可行行域的一一個頂點點（基可可行解）迭代到到另一個個頂點（基可行行解）。2 單純形形法與計計算機求求解 1.解解LP問題題單純形形法的基基本思路路：求出一個個初始基基可行解解y停判別此基基可行解解是否最優(yōu)解N求出使目目標(biāo)函數(shù)數(shù)值得到到改善的基基可行解解 2.單單純形法法的計算算步驟（表格形形式）（1）建建立初始始單純形形表，假假定B=I，bb0設(shè)maxxZ=cc1x1+c2x2+cnxn將目標(biāo)函函數(shù)改寫寫為：-Z+cc1x1+c2x2+cnxn=0把上述方方程組和和目標(biāo)函函數(shù)方程程構(gòu)成nn+1個個變量，m+11個方程程的方程程組，并并寫成增增廣矩陣陣的形式式

18、：-Zxx1x2xmxm+11xn01001m+11n100102m+12n20001mm+1mnm-1cc1c2cmcm+11cn0以非基變變量表示示基變量量形式代代入Z中的基基變量,有令于是因此，上上述的增增廣矩陣陣就可寫寫成：Zx11x2xmxm+11xn01001m+11n100102m+12n20001mm+1mnm1000cn再令則上述增增廣矩陣陣可寫成成下面表表格形式式：即初初始單純純形表TT（B）CjC1Cmcm+11cniCBxBx1xmxm+11xnC1x11100a1m+1a1nC2x22000a2m+1a2n：Cmxmm011amm+1amnZZ0000m+1nj檢驗數(shù)

19、數(shù)行上述初始始單純形形表可確確定初始始可行基基和初始始基可行行解：B=(PP1,P2,Pm)=II, x=(b1,b2,bm, 000)T從初始單單純形表表建立的的過程可可以看到到以下事事實：（1）凡凡LP模型型中約束束條件為為“”型，在在化為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型后后必有BB=I，如果bb0，則模模型中約約束方程程的各數(shù)數(shù)據(jù)不改改變符號號照抄在在表中相相應(yīng)的位位置。目目標(biāo)函數(shù)數(shù)非基變變量的系系數(shù)則以以相反數(shù)數(shù)填入檢檢驗數(shù)行行各相應(yīng)應(yīng)位置。（2）在在單純形形表中，凡基變變量所在在的列向向量必是是單位列列向量，其相應(yīng)應(yīng)的檢驗驗數(shù)均為為零。（3）更好表現(xiàn)現(xiàn)一般規(guī)規(guī)律的在在矩陣形形式的單單純形表表中設(shè)MaxxX=

20、CCXMaxxZ=CCX+00XL其標(biāo)準(zhǔn)型型為將系數(shù)矩矩陣(AA,I)分劃為為(B,N,II)，其其中B為可行行基，對對應(yīng)于基基變量向向量XB,N對應(yīng)應(yīng)于XN，I對應(yīng)于于XL,(XXN,XL)為非基基變量向向量。于于是(XX,L)T=(XXB,XN,XL)T,(CC,0)=(CCB,CN,0)。因此此，矩陣陣形式的的LP模型型改寫為為：用非基變變量向量量表示基基變量向向量，有有 XBB=B-11bB-1NXNB-1XL代入目標(biāo)標(biāo)函數(shù)中中有Z =CBB(B-11bB1NXNB-1XL)+CCNXN+0XXL =CBBB-1bCBB-1NXXNCBB-1XL)+CCNXN =CBBB-1b(CBB

21、-1NCN)XNCBB-1XL將寫成對應(yīng)應(yīng)于基BB的矩陣陣形式的的單純形形表T（B）：CCBCNCLXBXNXLXB1B-1NNB-1ZCBB-1b0CBB-1NCNCBB-1例如將例例1 化成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型后后如下表表T（B）：Cj23000iCBXBx1x2x3x4x50 x38121000 x416400100 x51204001-Z0-2-3000j初始可行行基B=(P33,P4,P5)=II, XX=(00,0,8,116,112)TT（2）判判別最優(yōu)優(yōu)解 1在T(BB)中，若所有有的檢驗驗數(shù)j0 (j=11,2,n)則B為最最優(yōu)基，相應(yīng)的的基可行行解為最最優(yōu)解，停止計計算。 2在T(BB

22、)中，若有k0 (1kkn)，且且xk的系數(shù)數(shù)列向量量Pk0，則該該問題無無界，停停止計算算。否則則轉(zhuǎn)入（3）（3）換換基迭代代（基變變換） 1先確確定入基基變量XXk: k=mminj| j0（2）按按規(guī)則計計算，若若存在兩兩個相同同以上最最小比值值時，選選取下標(biāo)標(biāo)最小的的基變量量為換出出變量xxL，即值得慶幸幸的是出出現(xiàn)基循循環(huán)是罕罕見的。3 對偶理理論與靈靈敏度分分析一、LPP的對偶偶問題1.引例例前已述述引例11是一個個在有限限資源的的條件下下，求使使利潤最最大的生生產(chǎn)計劃劃安排問問題，其其數(shù)學(xué)模模型為：（設(shè)備）（原材料A）（原材料B）maxZZ=2xx1+3xx2現(xiàn)從另一一角度考考慮

23、此問問題。假假設(shè)有客客戶提出出要求，租賃工工廠的設(shè)設(shè)備臺時時和購買買工廠的的原材料料A、B，為其其加工生生產(chǎn)別的的產(chǎn)品，由客戶戶支付臺臺時費和和材料費費，此時時工廠應(yīng)應(yīng)考慮如如何為每每種資源源的定價價問題？解：設(shè)yy1,y2,y3分別表表示出租租單位設(shè)設(shè)備臺時時的租金金和出售售單位原原材料AA、B的價格格（含附附加值）工廠決策策者考慮慮：（1）出出租設(shè)備備和出售售原材料料應(yīng)不少少于自己己生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品的獲獲利，否否則不如如自己生生產(chǎn)為好好。因此此有工廠的總總收入為為W=88y1+166y2+122y3（2）價價格應(yīng)盡盡量低，否則沒沒有競爭爭力（此此價格可可成為與與客戶談?wù)勁械牡椎變r）租賃者考考慮：

24、希希望價格格越低越越好，否否則另找找他人。于是，能能夠使雙雙方共同同接受的的是MinWW=8yy1+166y2+122y3上述兩個個LP問題題的數(shù)學(xué)學(xué)模型是是在同一一企業(yè)的的資源狀狀況和生生產(chǎn)條件件下產(chǎn)生生的，且且是同一一個問題題從不同同角度考考慮所產(chǎn)產(chǎn)生的，因此兩兩者密切切相關(guān)。稱這兩兩個LPP問題是是互為對對偶的兩兩個LPP問題。其中一一個是另另一個問問題的對對偶問題題。2.從矩矩陣形式式討論互互為對偶偶LP問題題由例1 有maxxZ=ccx由矩陣形形式的單單純形表表中可知知：檢驗數(shù)的的表達(dá)式式為：CBB-1NCN和CBB-1當(dāng)表示LPP問題已已得到最最優(yōu)解令Y=CCBB-1,且有Y0由于

25、基變變量XB的檢驗驗數(shù)為00，可改改寫成CCBB-1BCB=0因此，包包括基變變量在內(nèi)內(nèi)的所有有檢驗數(shù)數(shù)可寫成成(CBBB-1BCB, CCBB-1NCN)=(CBB-1AC)= YAAC0即YACC又對Y=CCBB-1，兩兩邊右乘乘b，有Yb=CCBB-1b=Z由于Y無無上界，所以只只有最小小值，因因此有MinWW=Ybb它是原問問題maaxZ=CX| AXXb,XX0的對對偶問題題于是，對對稱形式式下兩個個互為對對偶LPP問題的的數(shù)學(xué)模模型為：MaxZZ=CXXMinnW=YYb與任何一個個LP問題題均有一一個對偶偶LP問題題與之匹匹配。對偶理論論就是研研究LPP問題及及其對偶偶問題的的理

26、論，它是LLP理論論中的重重要內(nèi)容容之一。二、對偶偶理論 1.原原問題與與對偶問問題的關(guān)關(guān)系如下下表所示示原始對偶偶表原問題MMax（對偶問問題）對偶問題題Minn（原問問題）約束條件件數(shù)=mm變量個數(shù)數(shù)=m第i個約約束條件件為“”第i個約約束條件件為“”第i個約約束條件件為“=”第i個變變量0第i個變變量0第i個變變量無限限制變量個數(shù)數(shù)=m約束條件件個數(shù)=n第i個變變量0第i個變變量0第i個變變量無限限制第i個約約束條件件為“”第i個約約束條件件為“”第i個約約束條件件為“=”第i個約約束條件件的右端端項目標(biāo)函第第i個變量量的系數(shù)數(shù)目標(biāo)函數(shù)數(shù)第i個變量量的系數(shù)數(shù)第i個約約束條件件的右端端頂2

27、.對偶偶問題的的基本性性質(zhì)MaxZZ=CXXMinnW=YYb設(shè)（1）（對稱性性）對偶偶問題的的對偶是是原問題題；（2）（弱對偶偶性）若若是原問問題的可可行解，是對偶偶問題的的可行解解；則；（3）（無界性性）若原原問題（對偶問問題）為為無界解解，則其其對偶問問題（原原問題）無可行行解；（4）（最優(yōu)性性準(zhǔn)則），若、分別是是互為對對偶問題題的可行行解，且且C=b，則、分別是是它們的的最優(yōu)解解；（5）（對偶定定理）若若互為對對偶問題題之一有有最優(yōu)解解，則另另一問題題必有最最優(yōu)解，且它們們的目標(biāo)標(biāo)函數(shù)值值相等。從上述性性質(zhì)中，可看到到原問題題與對偶偶問題的的解必然然是下列列三種情情況之一一：原問題題與

28、對偶偶問題都都有最優(yōu)優(yōu)解，且且CX=Yb；一個問問題具有有無界解解，則它它的對偶偶問題無無可行解解；兩個問問題均無無可行解解。（6）（互補松松馳性），若XX*、Y*分別是是原問題題的對偶偶問題的的可行解解，則XX*、Y*是最優(yōu)優(yōu)解的充充要條件件是：YY*XS=0,YSX*=0(其中XS,YS分別是是原問題題和對偶偶問題的的松馳變變量向量量)?；?，X*、Y*分別是是原問題題和對偶偶問題最最優(yōu)解的的充要條條件是：若y*i0，則則aijX*j=bi若aiijX*j0，則則aijy*i=cj若aiijy*icj，則X*j=0三、對偶偶單純形形法 1.單單純形法法的重新新解釋 （稱為原始可行條件） （稱

29、為對偶可行條件）X*是最最大化原原LP問題題最優(yōu)解解的充要要條件是是同時滿滿足因此，單單純形法法是在保保持原始始可行下下，經(jīng)過過迭代，逐步實實現(xiàn)對偶偶可行，達(dá)到求求出最優(yōu)優(yōu)解的過過程。根據(jù)對偶偶問題的的對稱性性，也可可以在保保持對偶偶可行下下，經(jīng)過過迭代，逐步實實現(xiàn)原始始可行，以求得得最優(yōu)解解。對偶偶單純形形法就是是這種思思想所設(shè)設(shè)計的。2.對偶偶單純形形法的計計算步驟驟：舉例說明明 3.對對偶單純純形法與與單純形形法的不不同之點點：不要求求模型中中b0先確定定換出變變量xL，再確確定換入入變量xxK 4.對對偶單純純形法適適用對象象maxxZ=CCX(CC0)maxxZ=CCX（b無限限制）

30、，當(dāng)變量量個數(shù)（約束個個數(shù)時，可先轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為其其對偶問問題，再再用單純純形法或或?qū)ε紗螁渭冃畏ǚń庵M行靈靈敏度分分析時，有時會會用到此此法四、對偶偶解的經(jīng)經(jīng)濟含義義和影子子價格 1.對對偶解YY*=CCBB-1的經(jīng)經(jīng)濟含義義設(shè)互為對對偶的LLP問題題maaxZ=CXminnW=YYb (原)(對)有 ZZ*=CCBB-1b=W* (其中中B為最優(yōu)優(yōu)基)因此或者說ZZ*=yy*1b1+y*2b2+y*mbm則其含義是是：若對對原問題題右端常常數(shù)項向向量b中的某某一常數(shù)數(shù)項bi增加一一個單位位，目標(biāo)標(biāo)函數(shù)的的最優(yōu)值值Z*的變變化將是是Yi*。換句句話說，Yi*表示當(dāng)當(dāng)bi增加一一個單位位時，目目標(biāo)

31、函數(shù)數(shù)最優(yōu)值值的相應(yīng)應(yīng)增量。實質(zhì)上上Yi*就是第第i種資源源邊際價價值的一一種表現(xiàn)現(xiàn)，也是是對第ii種資源源的一種種估價。事實上，如引例例中互為為對偶LLP問題題分別描描述生產(chǎn)產(chǎn)計劃問問題和資資源的定定價問題題，其數(shù)數(shù)學(xué)模型型分別是是：maxZZ=2xx1+3xx2minnW=88y1+166y2+122y3(原問題題)(對偶問問題)對原問題題用單純純形法求求解所得得最終表表為C23000CBXBbx1x2x3x4x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/880Z14001.50.12250由此，它它們的最最優(yōu)解分分別是XX*=(4,22)T和Y=(1.55,

32、0.1255,0) Z*=W*=14=8Y11*+116Y22*122Y3*其中Y11*=11.5表表示單獨獨對設(shè)備備臺時增增加1個單位位，可使使Z值增加加1.55個單位位的利潤潤；Y2*=00.1225表示示單獨對對原材料料A增加1個單位位，可使使Z值增加加0.1125個個單位的的利潤；而Y3*=00表示單單獨對原原材料BB增加一一個單位位，卻不不使Z值增加加。這是是因為從從最終表表中可看看出，在在最優(yōu)方方案中，松馳變變量x5=4，即即表示在在最優(yōu)生生產(chǎn)方案案中，原原材料BB尚有4個單位位剩余被被閑置，不產(chǎn)生生任何經(jīng)經(jīng)濟效益益。 2.影影子價格格的定義義把某一經(jīng)經(jīng)濟結(jié)構(gòu)構(gòu)中的某某種資源源，在

33、最最優(yōu)決策策下的邊邊際價值值稱為該該資源在在此經(jīng)濟濟結(jié)構(gòu)中中的影子子價格。影子價格格是在最最優(yōu)決策策下對資資源的一一種估價價，沒有有最優(yōu)決決策就沒沒有影子子價格，所以影影子價格格又稱“最優(yōu)計計劃價格格”，“預(yù)測價價格”等等。資源的影影子價格格定量的的反映了了單位資資源在最最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)方案中中為總收收益應(yīng)提提供的收收益，因因此，資資源的影影子價格格也可稱稱為在最最優(yōu)方案案中投入入生產(chǎn)的的機會成成本。3.影子子價格的的求法 (1)在非退退化情況況下：設(shè)設(shè)B為LP問題題的最優(yōu)優(yōu)基，則則資源的影影價=YY*=CCBB-1 (2)在退化化情況下下：當(dāng)對偶問問題有KK個最優(yōu)優(yōu)解，則則第i種資源源的影價價=即

34、影價價的第ii個分量量等于這這K個對偶偶解中第第i個分量量的最小小值。例如，設(shè)設(shè)某資源源利用問問題為(資源1限制)(資源2限制) maaxZ=3x11+x2最終表3100XBx1x2x3x4x121110 x400-1-31Z60230 x1212/301/3x3001/31-1/33Z60101資源11的影價價 =mminy1*(11),yy1*(22) =mmin3,00=00資源2的的影價=minny22*(11),yy2*(22)=minn0,1=0影價0，說明該資源已耗盡， 成為短線資源。影價=0，說明該資源有剩余， 成為長線資源。 4.影影子價格格的參謀謀作用（1）指指出企業(yè)業(yè)挖潛

35、革革新的途途徑（2）對對市場資資源的最最優(yōu)配置置起著推推進作用用（3）可可為企業(yè)業(yè)決策者者提供調(diào)調(diào)整最優(yōu)優(yōu)生產(chǎn)方方案的信信息 CCBB-1PjCj0說明明第j種產(chǎn)品品不應(yīng)投投產(chǎn)尤其對新新產(chǎn)品是是否應(yīng)投投產(chǎn)，可可按以上上兩式考考慮。（4）可可以預(yù)測測產(chǎn)品的的價格（5）可可作為同同類企業(yè)業(yè)經(jīng)濟效效益評估估指標(biāo)之之一。五、靈敏敏度分析析面對市場場變化，靈敏度度分析的的任務(wù)是是須解決決以下兩兩類問題題：（1）當(dāng)當(dāng)系數(shù)AA、b、c中的某某個發(fā)生生變化時時，目前前的最優(yōu)優(yōu)基是否否仍最優(yōu)優(yōu)（即目目前的最最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)方案是是否要變變化）？（2）為為保持目目前最優(yōu)優(yōu)基仍是是最優(yōu)基基，參數(shù)數(shù)A、b、c允許變變化范圍

36、圍是什么么？靈敏度分分析的方方法是在在目前最最優(yōu)基BB下進行行的。即即當(dāng)參數(shù)數(shù)A、b、c中的某某一個或或幾個發(fā)發(fā)生變化化時，考考察是否否影響以以下兩式式的成立立？ 1.對對資源數(shù)數(shù)量br變化的的分析當(dāng)b中某某個br發(fā)生改改變時，將影響響基變量量的取值值XB=B-11b。若br的變化化仍滿足足B-1b0，則目目前的基基B仍為最最優(yōu)基，僅在BB-1b和CBB-1b的數(shù)量量上有些些改變。若br的變化化使B-1b中某些些分量小小于0，則目目前的基基成為非非可行基基，為此此，可用用對偶單單純形法法迭代求求得新的的最優(yōu)解解。B-1bb0給出了了使最優(yōu)優(yōu)基B保持不不變時br的允許許的變化化范圍：由解不等等式

37、組 B-1(bb+b)=B-11b+BB-1可得得：其中為最最終表中中列的第第i個分量量，為B-1中第第r列的元元素。例 2.對對價值系系數(shù)Cj變化的的分析（1）當(dāng)當(dāng)CN中某個個Cj發(fā)生變變化時，只影到到非基變變量xj的檢驗驗數(shù)由于若，則Cjj。這就是保保持最優(yōu)優(yōu)基不變變下，Cj的允許許變化范范圍。否否則，用用單純形形法繼續(xù)續(xù)迭代，求得新新的最優(yōu)優(yōu)解。（2）當(dāng)當(dāng)CB中某個個Cr發(fā)生變變化時，則會影響響到所有有非基變變量的檢檢驗數(shù)N=CBB-1NCN。解不等式式組=(CB+CB)B-11NCN=(CCBB-1NCN)+CBB-1N0即(CCBB-1NCN)+(0,Cr,0)B-11N0得到使最最

38、優(yōu)解不不變Cr的允許許變化范范圍；例（3）對對增加新新產(chǎn)品的的分析設(shè)革企業(yè)業(yè)在計劃劃期內(nèi)，擬議生生產(chǎn)新產(chǎn)產(chǎn)品Xn+11，并已已知新產(chǎn)產(chǎn)品的單單位利潤潤為Cn+11，消耗耗系數(shù)向向量為PPn+11=(aa1,nn+1,a2,n+11,am,nn+1)T，此時時應(yīng)如何何分析才才能確定定該新產(chǎn)產(chǎn)品理澡澡投產(chǎn)？增加新產(chǎn)產(chǎn)品應(yīng)在在不影響響企業(yè)目目前計劃劃期內(nèi)最最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)的前提提下進行行。因此此可從現(xiàn)現(xiàn)行的最最估基BB出發(fā)考考慮：若n+1=CCBB-1Pn+11Cn+110，則則不應(yīng)投投入。即新產(chǎn)品品的機會會成本小小于目前前的市場場價格時時，應(yīng)投投產(chǎn)否則則不應(yīng)投投產(chǎn)。（4）對對增加新新約束條條件的分分析在

39、企業(yè)生生產(chǎn)過程程中，經(jīng)經(jīng)常有新新情況發(fā)發(fā)生，造造成原本本不緊缺缺的某種種資源變變成為緊緊缺資源源，對生生產(chǎn)計劃劃造成影影響，如如水、電電和資源源的供應(yīng)應(yīng)不足等等，對生生產(chǎn)過程程提出了了新約束束等。對增加新新約束條條件的分分析方法法步驟是是：第一步：將目前前的最優(yōu)優(yōu)解代入入新增加加的約束束，若能能滿足約約束條件件，則說說明新增增約束對對目前的的最優(yōu)解解（即最最優(yōu)生產(chǎn)產(chǎn)方案）不構(gòu)成成影響（稱此約約束為不不起作用用約束），可暫暫時不考考慮新增增約束條條件。否否則轉(zhuǎn)下下一步；第二步：把新增增約束添添加到原原問題最最終表中中，并作作初等行行變換，構(gòu)成對對偶可行行的單純純形表，并用對對偶單純純形法迭迭代，

40、求求出新的的最優(yōu)解解。例：（5）技技術(shù)系數(shù)數(shù)aij變化化的分析析第一種情情況（當(dāng)當(dāng)jJN）：方方法與增增加一個個新產(chǎn)品品的分析析相同。第二種情情況（當(dāng)當(dāng)jJB）：由由于B中元素素的改變變影響到到B-1的變變化，因因此也影影響到TT(B)。目前前的基BB對應(yīng)的的解有可可能既不不是原始始可行，也不是是對偶可可行。于于是不如如重新求求解。第二章特特殊LPP問題及及其解法法所謂特殊殊LP問題題是指LLP模型型的系數(shù)數(shù)矩陣具具有特殊殊的結(jié)構(gòu)構(gòu)，有可可能找到到比單純純形法更更為簡便便的求解解方法，從而節(jié)節(jié)省人力力和物力力。1 運輸問問題及其其解法引例：某公司經(jīng)經(jīng)銷甲產(chǎn)產(chǎn)品，它它下設(shè)三三個加工工廠，每每日的

41、產(chǎn)產(chǎn)量分別別為：AA1-7噸，A2-4噸，A3-9噸。該公司司把這些些產(chǎn)品分分別運往往四個銷銷售點，各銷售售每日銷銷量為：B1-3噸，B2-6噸，B3-5噸，B4-6噸。已知從從各工廠廠到各銷銷售點的的單位產(chǎn)產(chǎn)品的運運價為下下表所示示。問該該公司應(yīng)應(yīng)如何調(diào)調(diào)運產(chǎn)品品，在滿滿足各銷銷售點需需求量的的前提下下，使總總運費為為最少。平衡表（單位：噸）運運價表（單位：元/噸）銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量B1B2B3B4A17311310A241928A3974105銷量3656解：這是是一個產(chǎn)產(chǎn)銷平衡衡的運輸輸問題，其數(shù)學(xué)學(xué)模型是是：設(shè)Xijj表示從從Ai調(diào)運產(chǎn)產(chǎn)品到BBj的數(shù)量量（噸），則minZZ

42、=3XX11+111X112+33X133+100X144+X211+9XX22 +22X233+8XX24+77X311+4XX32+110X333+55X344x11+x122+x133+x144=7x21+x222+x233+x244=4x31+x322+x333+x344=9s.tx11+x211+x311=3x12+x222+x322=6x13+x233+x333=5x14+x244+x344=6xij0 (i=1,22,3, j=11,2,3,44)一、產(chǎn)量量平衡的的運輸問問題及其其解法 1.產(chǎn)產(chǎn)銷平衡衡的運輸輸問題的的數(shù)學(xué)模模型及其其特點特點：（1）其系系數(shù)矩陣陣的結(jié)構(gòu)構(gòu)疏松，且

43、每一一列向量量Piij=(0,1,1,0)T=ei+em+j可以證明明，r(A)=m+nn1。即有有m+nn1個獨立立方程。于是，該該LP問題題有且僅僅有m+n1個基變變量。（2）（產(chǎn)銷平平衡條件件）（3）因因為故必必有可行行解和最最優(yōu)解。由于上述述特點，若按單單純形法法求解必必須增加加人工變變量，致致使計算算量大大大增加，故用特特殊解法法表上上作業(yè)法法。2.表上上作業(yè)法法表上作業(yè)業(yè)法實質(zhì)質(zhì)上還是是單純形形法，但但具體計計算和術(shù)術(shù)語上有有所不同同。其計計算步驟驟方法，并通過過對引例例的求解解過程說說明之一一。（1）用用最小元元素法確確定初始始方案（即初始始基可行行解）切記在產(chǎn)產(chǎn)銷平衡衡表上必必

44、須且只只能填寫寫m+nn1個數(shù)字字格（2）用用位勢法法求出空空格的檢檢驗數(shù)并并進行最最優(yōu)解的的判別設(shè)u1,u2,um; vv1,v2,vn是對應(yīng)應(yīng)運輸問問題m+n個約約束條件件的對偶偶變量，B為含有有人工變變量的初初始可行行基，由由LP問題題的對偶偶理論知知CBB-1=(u1,u2,um; vv1,v2,vn)而每個決決策變量量Xij相應(yīng)應(yīng)的系數(shù)數(shù)向量PPij=eei+em+j，所所以CBB-1Pij=uui+vj于是，檢檢驗數(shù)ij=CCBB-1PijCij =(uui+vj)Cij又各基變變量的檢檢驗數(shù)為為0，故對對每個基基變量所所在的數(shù)數(shù)格的檢檢驗數(shù)有有 (uii+vj)Cij =0 ii

45、,jJJB即有方程程組共m+nn個未知知數(shù) s=m+nn1個方程程顯然上述述方程有有解，且且由于含含有一個個自由變變量，因因此，可可令任一一未知數(shù)數(shù)為0，就可可求出上上述方程程組的解解(ui11,ui22,uim,vvj1,vvj2,vjn)稱為為位勢解解。如用位勢勢法求引引例初始始基可行行解的檢檢驗數(shù)：銷地產(chǎn)地B1B2B3B4uiA1-13-2110A21-19+1-1A3-107-12-5vj29310第一步：將運價價表中的的數(shù)字分分別寫在在各格聽聽右上角角，并對對基變量量相應(yīng)的的運價加加圈，同同時在表表中增加加vj和ui列。第二步：利用圈圈數(shù)格分分別算出出ui和vj，即令u1=0，然然后

46、按uui+vj=Cijj (i,jJB)，相繼繼確定uui，vj的值。于是有有v3=3,v4=100,u22=-11,v11=2,u3=-55,v22=9第三步：按ij= (uii+vj)Cij (ii,jJJN)算出表表中各空空格（即即非基變變量）的的檢驗數(shù)數(shù)：11=(0+2)3=-1，12=(0+99)11=-2，22=-1，24=11，31=-10，33=-12由于運輸輸問題的的目標(biāo)函函數(shù)是求求最小化化，故判判別最優(yōu)優(yōu)解的準(zhǔn)準(zhǔn)則是所所有的ij=CCBB-1PijCij0因為244=+100，所以以目前尚尚未得到到最優(yōu)解解，尚須須改進（3）在在調(diào)運平平衡表上上用閉回回路法進進行調(diào)整整，得到

47、到新的基基可行解解（新的的調(diào)運方方案） i) 確定換換入變量量：自上上而上，自左向向右第一一個正檢檢驗數(shù)相相應(yīng)的非非基變量量（空格格）為入入基變量量。 ii) 作閉閉回路：以換入入變量空空格為出出發(fā)點，用水平平或垂直直線向前前劃，當(dāng)當(dāng)碰到某某一恰當(dāng)當(dāng)數(shù)格轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90后，繼續(xù)前前進，直直至回到到起始空空格止。 iiii) 確確定調(diào)整整量=mmin第奇數(shù)數(shù)次拐角角格的調(diào)調(diào)運量 iv) 在閉閉回路上上進行調(diào)調(diào)整：對對閉回路路上每個個奇數(shù)次次拐角格格的調(diào)運運量對對閉回路路上每個個第偶數(shù)數(shù)次（含含起始格格）拐角角格的調(diào)調(diào)運量+。調(diào)整整后，將將閉回路路中為00的一個個數(shù)格作作為空格格（即出出基變量量）。閉回路

48、外外的各調(diào)調(diào)運量不不變。這這樣便得得到新的的調(diào)運方方案（新新基可行行解）銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A1(+1)43(-11)7A23(-1)1(+1)4A3639銷量3656對調(diào)整后后所得的的新方案案，再進進行檢驗驗，已得得到最優(yōu)優(yōu)解（最最優(yōu)調(diào)運運方案）；從A1調(diào)調(diào)運到55噸到B3，調(diào)運運2噸到B4從A2調(diào)調(diào)運到33噸到B1，調(diào)運運1噸到B4從A3調(diào)調(diào)運到66噸到B2，調(diào)運運3噸到B4總運費最最小是885元（4）在在進行表表上作業(yè)業(yè)法須注注意的問問題： i) 在最終終調(diào)運表表中，若若有某個個空格（非基變變量）的的檢驗為為0時，則則表明該該運輸問問題有多多重調(diào)運運方案； ii) 在確確定初始始

49、方案時時，若在在(i,j)格格填上某某數(shù)字后后,出現(xiàn)Ai處的余余量=BBj處的需需量，此此時必須須在平衡衡表上被被劃去行行和列相相應(yīng)位置置的任一一空格處處填上一一個“0”，以滿滿足數(shù)格格=m+n1個的需需要； iiii) 在在用閉回回路法調(diào)調(diào)整時，當(dāng)閉回回路上第第奇數(shù)次次拐角數(shù)數(shù)有幾個個相同的的最小值值時，調(diào)調(diào)整后只只能有一一個空格格，其余余均要保保留數(shù)“0”，以保保證數(shù)格格=m+n1個的需需要。以上iii)，iiii)均出出現(xiàn)退化化解。iv) 用最小小元素法法所得到到的初始始方案可可以不唯唯一。二、產(chǎn)銷銷不平衡衡的運輸輸?shù)膯栴}題及其求求解方法法 1.數(shù)數(shù)學(xué)模型型：產(chǎn)大大于銷產(chǎn)產(chǎn)小于銷銷 2.

50、解解法思路路：將不平衡衡轉(zhuǎn)化為為平衡。即當(dāng)時時，考慮慮在平衡衡表中增增加一虛虛擬列，表示增增加一個個銷貨點點(j=n+11)如倉倉庫，其其銷貨量量為，且且各運價價Cinn+1=0；當(dāng)當(dāng)時，考考慮在平平衡表中中增加一一虛擬行行，表示示增加一一個新產(chǎn)產(chǎn)地，且且各運價價Cm+11j=00。然后后再用產(chǎn)產(chǎn)銷平衡衡的運輸輸問題的的解法進進行解之之。例三、轉(zhuǎn)運運問題及及其解法法： 1.所所謂轉(zhuǎn)運運問題是是在以下下背景產(chǎn)產(chǎn)生的： (1)每個工工廠生產(chǎn)產(chǎn)的產(chǎn)品品不直接接運到銷銷地，可可以幾個個產(chǎn)地集集中一起起運。 (2)運往各各銷地的的物資可可先運給給其中的的幾個銷銷地，再再轉(zhuǎn)運給給其它銷銷地。 (3)除產(chǎn)、

51、銷地之之外，還還可以有有幾個中中間轉(zhuǎn)運運站，在在產(chǎn)地之之間，銷銷地之間間或產(chǎn)銷銷之間轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)運。凡類似上上述情況況下的調(diào)調(diào)運物資資并使總總運費最最小的問問題統(tǒng)稱稱為轉(zhuǎn)運運問題。2.求解解“轉(zhuǎn)運問問題”的思路路是把問問題中所所有的產(chǎn)產(chǎn)地、中中轉(zhuǎn)站和和銷地都都既看作作產(chǎn)地，又都看看作銷地地，把“轉(zhuǎn)運問問題”變成擴擴大后的的產(chǎn)銷平平衡的運運輸問題題處理。 3.求求解“轉(zhuǎn)運問問題”的方法法步驟： (1)建立擴擴大的產(chǎn)產(chǎn)銷平衡衡運輸問問題單位位運價表表。其中中 1)對對兩地不不能直接接運輸?shù)牡膯挝贿\運價定為為M（很大大的正數(shù)數(shù)）； 2)對對所有中中轉(zhuǎn)站TTj的產(chǎn)量量和銷量量定為相相等，設(shè)設(shè)定為； 3)對對產(chǎn)

52、量列列的各數(shù)數(shù)據(jù)可按按下式計計算并填填入： Ai的產(chǎn)量量=ai+,Tj產(chǎn)量=，Bj的產(chǎn)量量= 4)對對銷量行行的各數(shù)數(shù)據(jù)可按按下式計計算并填填入： Aj的產(chǎn)量量=,Tj銷量=，Bj的銷量量=+bj (2)用表上上作業(yè)法法進行求求解2 指派問問題及其其解法引例任務(wù)人員EJGR甲215134乙1041415丙9141613丁78119當(dāng)指派第i人去完成第j項工作否則解：設(shè)XXij表示示第i人從事事第j項工作作，且因此，該該問題的的數(shù)學(xué)模模型為MinZZ=2XX11+115X112+113X113+44X144+100X211+4XX22+114X223+115X224 +9X331+114X332

53、+116X333+113X334+77X411+8XX42+111X443+99X444表示第jj項工作作只指派派人完成成表示第ii人被指指派完成成一項工工作Xij=0或1(ii,j=1,22,3,4)諸如此類類，有nn項任務(wù)務(wù)，恰好好有n個人可可承擔(dān)這這些任務(wù)務(wù)，但由由于每人人的專長長技術(shù)不不同，完完成任務(wù)務(wù)的效率率(所費時時間_不同，為使完完成n項任務(wù)務(wù)的總效效率最高高（即所所需總時時最少），應(yīng)如如何指派派（分派派）人員員的問題題統(tǒng)稱為為指派（分派）問題。一、指派派問題的的數(shù)學(xué)模模型及其其特點 1.數(shù)數(shù)學(xué)模型型： 2.特特點（1）給給定一個個指派問問題時，必須給給出效率率矩陣（系數(shù)矩矩陣）

54、CC=(CCij)nxnn,且Cij0，因此此必有最最優(yōu)解()。（2）指指派問題題是一種種特殊的的平衡的的運輸問問題，由由于模型型結(jié)構(gòu)的的特殊性性（看作作每產(chǎn)地地的產(chǎn)量量均為11，每銷銷地的銷銷量均為為1），故故可用更更為簡便便的匈牙牙利法進進行求解解。（3）解解矩陣是指派問問題的可可行解，但不一一定是最最優(yōu)解。二、指派派問題的的解法匈牙牙利法 1.匈匈牙利法法的基本本思想是是：對同同一項工工作（任任務(wù)）jj來說，同時提提高或降降低每人人相同的的效率（常數(shù)tti），不不影響其其最優(yōu)指指派；同同樣，對對同一個個人i來說，完成各各項工作作的效率率都提高高或降低低相同的的效率（常數(shù)ddi），也也不影

55、響響其最優(yōu)優(yōu)指派，因此可可得到新新的效率率矩陣(bijj)nxnn，其中中bij=Cijj+ti+dj （對所所有的ii,j）則新的目目標(biāo)函數(shù)數(shù)為其中為常常數(shù)這說明ZZ與Z同時達(dá)達(dá)到最小小值。因因而最優(yōu)優(yōu)解相同同。故指指派問題題有以下下性質(zhì)：若從效率率矩陣(Cijj)nxnn的一行行（列）各元素素中分別別減去該該行（列列）的最最小元素素，得到到的新效效率矩陣陣(bijj)nxnn不改變變原指派派問題的的最優(yōu)解解。2.匈牙牙利法三、對求求最大化化的指派派問題，（即求求）,可采用用構(gòu)造新新的效率率矩陣(MCij)nnxn，其中MM=maaxCCij，（顯顯然MCij0），將將其轉(zhuǎn)化化為求所得到到的

56、最優(yōu)優(yōu)解就是是原問題題的最優(yōu)優(yōu)解。事事實上由于nMM為常數(shù)數(shù)，因此此，使ZZ取得最最小的最最優(yōu)解就就是使ZZ取得最最大的最最優(yōu)解。4.以上上討論的的指派問問題是效效率矩陣陣的行數(shù)數(shù)等于列列數(shù)，即即m+nn的情況況。當(dāng)mmn時，則則可用增增加虛設(shè)設(shè)的零元元數(shù)行（列）使使效率矩矩陣變成成方陣后后，再用用匈牙利利法求解解。m-n列n-m行當(dāng)mnn時 5.指指派問題題必有最最優(yōu)解，但可以以不唯一一。3 整數(shù)線線性規(guī)劃劃問題及及其解法法一、整數(shù)數(shù)線性規(guī)規(guī)劃在上一章章討論的的LP問題題中,對決策策變量只只限于不不能取負(fù)負(fù)值的連連續(xù)型數(shù)數(shù)值,即可以以是正分分?jǐn)?shù)或正正小數(shù)。然而在在許多經(jīng)經(jīng)濟管理理的實際際問題

57、中中，決策策變量只只有非負(fù)負(fù)整數(shù)才才有實際際意義。對求整整數(shù)最優(yōu)優(yōu)解的問問題，稱稱為整數(shù)數(shù)規(guī)劃(Inttegeer PProggrammminng)(簡記為為IP)。又稱稱約束條條件和函函數(shù)均為為線性的的IP為整整數(shù)線性性規(guī)劃(Inttegeer LLineear Proograammiing)(簡記記為ILLP)。ILP問問題數(shù)學(xué)學(xué)模型的的一般形形式為：求一組組變量XX1,X2,Xn，使人們對IIP感興興趣，還還因為有有些經(jīng)濟濟管理中中的實際際問題的的解必須須滿足如如邏輯條條件和順順序要求求等一些些特殊的的約束條條件。此此時需引引進邏輯輯變量（又稱00-1變變量），以“0”表示“非”，以“1”表示“是”。凡決決策變量量均是00-1變變量的IIP為0-11規(guī)劃。嚴(yán)格地說說，IPP是個非非線性問問題。