數(shù)學(xué)物理方程2.1課件

1、數(shù)學(xué)物理方程陳有亮上海理工大學(xué)環(huán)境與建筑學(xué)院第2章 分離變量法和積分變換法1 齊次波動(dòng)方程的第邊值問題2 齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題3 二維拉普拉斯方程4 非齊次定解問題的解法5 積分變換法習(xí)題二1 齊次波動(dòng)方程的第邊值問題1.1 有界弦的自由振動(dòng)1.2 解的物理意義1.1 有界弦的自由振動(dòng)考慮長(zhǎng)為l，兩端固定的有界弦的自由振動(dòng)問題，其可歸結(jié)為如下定解問題此定解問題的方程和邊值條件都是齊次的，而初值條件是非齊次的。先對(duì)有界弦振動(dòng)過程中的波形進(jìn)行分析。波形表示波在傳播過程中的真實(shí)形狀(瞬間) ，即若選定一個(gè)坐標(biāo)軸軸的話，它表示某時(shí)刻各點(diǎn)處的位移分布。試驗(yàn)表明，駐波在不同時(shí)刻各點(diǎn)處的位移按同一比例增

2、減。1.1 有界弦的自由振動(dòng)設(shè)u(x,t)為駐波的位移函數(shù), 在時(shí)刻t0的波形為 u(x,t0) =X(x)， 在時(shí)刻 t1的波形為u(x,t1)，則其中T1為常數(shù) 。再設(shè)在時(shí)刻 t2的波形為u(x,t2)，則其中T2為另一常數(shù) 。1.1 有界弦的自由振動(dòng)設(shè)在時(shí)刻t的波形為 u(x,t)，則其中Tt是一個(gè)與x無關(guān)的量，它只隨時(shí)間t的變化而變化，即T應(yīng)該是時(shí)間t的函數(shù)。由(1.4) 得u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t)下面介紹用分離變量法求解方程 (1.1) 的全過程 。1.1 有界弦的自由振動(dòng)在求解之前我們首先要聲明，我們所求的解為非零。求解過程大體分為三步。第一步，變量

3、分離設(shè) u(x,t)= X(x)T(t) (1.5)將(1.5)代入方程(1.1)，可得 X(x)T(t)= a2X(x)T(t) 1.1 有界弦的自由振動(dòng)由(1.7) 可以得到如下兩個(gè)常微分方程由u(x,t)=X(x)T(t)和邊界條件 (1.2)可得 X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10)由于要求的解為非零解，故 u(x,t) 0, 則T(t) 0, (1.10) 變?yōu)?.1 有界弦的自由振動(dòng)第二步，求解固有值問題。對(duì)分三種情況來討論:(1) 0(2) 0(3) 01.1 有界弦的自由振動(dòng)故A=B=0，即X(x)0, 不符合非零解的要求，因此不能小于零。(2) 0,

4、 此時(shí)方程X+X=0的通解為 X(x)=Ax+B由條件X(0) = X(l) =0仍然得到A=B=0, 即X(x)0, 所以也不能等于零。(3) 0, 此時(shí)方程X+X=0的通解為1.1 有界弦的自由振動(dòng)由條件X(0) = X(l) =0, 可得則為使 X(x)不恒為零, 應(yīng)有B0, 則只有 , 即滿足這個(gè)等式的值就是固有值, 記為n, 即1.1 有界弦的自由振動(dòng)相應(yīng)的固有函數(shù)為其中Bn為任意常數(shù)。第三步, 求特解, 并疊加特解, 求出疊加系數(shù)。 對(duì)應(yīng)于每一個(gè)固有值n, 方程的解是1.1 有界弦的自由振動(dòng)其中Cn, Dn為待定常數(shù)。這樣就得到滿足方程(1.1)和邊界條件(1.2)的可分離變量的一

5、系列特解為對(duì)應(yīng)于每一個(gè)正整數(shù)n都有一個(gè)形如(1.13)的特解, 所以, 滿足 方程(1.1)和邊界條件(1.2)的解有無窮多個(gè), 但形如(1.13)的特解不一定滿足初值條件(1.3), 為了得到滿足初值條件(1.3)的解, 我們把形如(1.13)的特解疊加起來, 記其和為u(x,t), 則1.1 有界弦的自由振動(dòng)下面的問題是如何選取待定系數(shù)En,Fn, 以使整個(gè)級(jí)數(shù)滿足初值條件(1.3), 將初值條件代入 (1.14), 可得等式右邊兩個(gè)級(jí)數(shù)恰好分別代表函數(shù)(x), (x)的傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開。由函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的唯一性, 可得En和Fn的值為1.1 有界弦的自由振動(dòng)為了解決這兩個(gè)問題,

6、只需給(x)和(x)加一些約束條件即可。對(duì)于這里討論的有界弦的自由振動(dòng)問題, 我們假設(shè)(x)三次連續(xù)可微, (x)二次連續(xù)可微, 且(0)=(l) =(0) =(l)=(0)=(l) =0。可以證明，給出上述約束條件后，問題(1.1)-(1.3)的解存在,且可以用(1.14)的形式給出, 系數(shù)En,Fn由 (1.15) 確定。證明過程此處不再贅述。在本課程的教學(xué)中, 只要求出形式解即認(rèn)為問題已經(jīng)最后解決。1.1 有界弦的自由振動(dòng)根據(jù)以上求解過程可以得到用分離變量法求解方程的一般步驟:第一步，分離變量。設(shè)u(x,t)=T(t)X(x), 代入方程, 分別得到兩個(gè)關(guān)于T(t)和X(x)的常微分方程, 并由齊邊值條件可得固有值問題。第二步，求解固有值問題，即解出固有值以及固有函數(shù)。第三步，確定系數(shù)。由選定的固有值來求T(t), 進(jìn)而得到一系列特解，然后利用疊加原理疊加特解得到一個(gè)無窮級(jí)數(shù)解，并由初始條件確定無窮級(jí)數(shù)解的系數(shù)。在處理工程問題時(shí)，為了更貼近工程實(shí)際，減小誤差，我們一般都是在三維空間中考慮問題。上述求解過程可以推廣到三維情況。1.2 解的物理意義un(x,t)=Tn(t)Xn(x) 表示的就是一個(gè)振動(dòng)波, 弦上各點(diǎn)以相同的角頻率和初位相作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。該振動(dòng)波還有一個(gè)特點(diǎn), 就是在0,l范圍內(nèi)還有n+1個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn)) 永遠(yuǎn)