奧數(shù)第九講(枚舉與其他組合方法)

1、三年級秋季班（五級下）9. 第九講：枚舉與其他組合方法一、解決問題：計數(shù)類問題宗旨：不重不漏枚舉法：將符合要求的結(jié)果一一列舉出來重要思想：1、有序2、會分類二、最短路線宗旨：不走冤枉路，就要朝著目標走方法：標數(shù)法步驟：1、找方向（目標及車站）2、從起點標數(shù)，起點標13、按順序每個點都要標到4、每個點的數(shù)字=能直接到它的點的數(shù)字之和例1一只螞蟻從A想到B,你能給它找到幾條最短路線呢?A三年級秋季班（五級下）9. #解析：最短路線就要不走回頭路、不走重復路。怎么走呢?目的地在右下方，那么路線就向右、向下就可以了。那么每個點需要加的數(shù)就是它左邊和上邊的點的數(shù)，標數(shù)如下:2336A1B11目標：右下車

2、站：左上三年級秋季班（五級下）9. #三年級秋季班（五級下）9. #可知從A到B的最短路線有6條。例2小新和爸爸決定去黃山玩，請問從北京道黃山的最短路線有多少條呢?解析：三年級秋季班（五級下）9. 可知從北京到黃山的最短路線有10條。家庭作業(yè)4圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法。解析：每種讀法都是“我愛希望杯”五個字，相當于沿著這五個字的一種“走法”，所以我們可以把每個字看做“點”（車站），用標數(shù)法解答。起點是“我”1我愛1希1望1杯1愛2希3望4杯1希3望6杯1望4杯1杯最后要注意的是終點有5個喲！所以要把5個“杯”的數(shù)都加起來。最終結(jié)果是1+4+6+4+1=16（種）三、樹形圖適合：1

3、、步驟少2、每步的選擇少例3某人游覽A,B,C三個風景區(qū)，計劃旅游5天，最后要回到A區(qū)（不能連續(xù)兩天在同一個風景區(qū)），符合條件的游覽路線可以有幾條？解析：方法一，出發(fā)地點不確定，那么我們應(yīng)該按照出發(fā)地分為三大類（1）從A出發(fā)共6種第一天第二天第三天第四天第五天ABABCAACBAABACCABCA（2）從B出發(fā)共5種第一天第二天第三天第四天第五天BCAABCBAABACCABCA從C出發(fā)共5種同學們想想，為什么從C出發(fā)的也是5種呢？一一因為B和C是同級別的，比如在上幅樹形圖中，將B換成C,把C換成B不就可以了嗎？那同學們再想想，為什么B,C和A不是同級別的呢？那么共有6+5+5=16（條）游覽

4、路線。方法二，倒推法第五天第四天第三天第二天第一天BAACCAB第五天在A,那么第四天就有2種可能（在B或C），如果在C,第三天又有2種可能，如果在B,第三天也有2種可能（像不像以前學的細胞分裂？）那么最后到第一天的可能就是1X2X2X2X2=16（種）四、分類枚舉例4有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號（不同順序表示不同信號），共可以組成多少種不同的信號？解析：分兩類同色：紅紅，藍藍，黃黃，共3種信號異色：紅+黃，紅+藍，黃+藍，共2X3=6（種）信號紅黃紅藍黃藍黃紅藍紅藍黃注意：要留意什么時候與順序有關(guān)。符號相同時，與順序無關(guān)，比如11與11是一樣的符號不同

5、時，要考慮順序，比如12與21是不一樣的。例5下午茶的時候。老師給同學們準備了蘋果、香蕉、橘子三種水果，每種都有足夠多個昊昊想挑3個水果吃，他一共有多少種挑法？解析：先分類，怎么分好呢？我們可以分為一種水果：蘋，香，橘，共3種兩種水果：蘋+香，蘋+橘，香+橘，3種搭配，但每種搭配中都有2種選法（2蘋1香共2X3=6（種）選法1蘋2香）三種水果：蘋+香+橘，就1種共：3+6+1=10（種）（提高）學案4老師拿來三張卡片，上面分別寫著數(shù)字1,2,3，昊昊可以用這些卡片拼出多少個不同的數(shù)？解析：題目只問不同的數(shù)，并沒有要求位數(shù)。那么我們按照位數(shù)來分類一位數(shù)：3個二位數(shù)：12,13,21,23,31,

6、32共6個三位數(shù)：123,132,213,231,312,321共6個總計：3+6+6=15（個）注：在組數(shù)問題中，經(jīng)常按照位數(shù)的多少來分類。五、整數(shù)拆分基本功：會有序進行整數(shù)的拆分注意：判斷題目屬于有序拆分問題還是無序拆分問題1、無序拆分問題把相同的東西放到相同的盤子里方法：進行整數(shù)的拆分即可2、有序拆分問題把相同的東西放到不同的盤子里方法：第一步：進行整數(shù)的拆分，第二步：對拆分結(jié)果進行組數(shù)鋪：程老師有7個相同的蘋果，（1）放到3個相同的盤子里有多少種方法？保證每個盤子至少放一個。解析：7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3共計4種方法（2）如果放到3個不同的盤子里呢？保證每個盤

7、子至少放一個。先拆分7=1+1+5115,151,511三種=1+2+4124,142,214,241,412,421六種=1+3+3133,313,331三種=2+2+3223,232,322三種共計3+6+3+3=15種方法例6濤濤有5個相同的飛機模型，他要把它們放在一個3層的貨架上，每層至少要放1個，濤濤一共有多少種不同的放法？過了幾天，他又要把18個相同的汽車模型放到另一個3層貨架上，每層最少要放5個，這時有多少種不同的放法？解析：貨架分上中下三層，是不同的，所以是有序拆分問題。那么先拆分，再組數(shù)。（1）5=1+1+3113,131,311三種=1+2+2122,212,221三種共計

8、3+3=6種（2）每層最少放5個，那么拆數(shù)時最小數(shù)是518=5+5+8558,585,855三種=5+6+7567,576,657,675,756,765六種=6+6+6666一種共計3+6+1=10種六、反面思考（尖子）學案4班主任要從巍巍、濤濤、昊昊、錚錚、包包這5個小朋友里面選出四人參加羽毛球賽，有多少種不同的選法？如果已經(jīng)選出了巍巍、濤濤、昊昊、錚錚，現(xiàn)在要將它們分成兩組打比賽，有多少種不同的方法？解析：從5個小朋友中選4個比較復雜，可從5個小朋友中選1個就簡單多啦！題目要求從5個中選4個參加比賽，不就相當于從5個中選1個不參加比賽嗎？顯然有5種嘛！這就是反面思考問題，是不是簡單很多呢？已經(jīng)選了4名同學，我們不妨將他們標號為1號、2號