例談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用

1、例談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用摘要幾何畫板的動(dòng)態(tài)性和形象性，可以讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察變動(dòng)中不變的數(shù)學(xué)規(guī)律，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)，探究問(wèn)題，充分表達(dá)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，有效地進(jìn)步了教學(xué)效率和教學(xué)效果。關(guān)鍵詞幾何畫板數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用幾何畫板是一個(gè)適用于教學(xué)的軟件平臺(tái)。幾何畫板最大的特點(diǎn)是“動(dòng)態(tài)性，即可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形上的任一元素點(diǎn)、線、圓，而事先給定的所有幾何關(guān)系即圖形的根本性質(zhì)都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變的規(guī)律，深化幾何的精華，打破傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，為學(xué)生提供了探究的時(shí)機(jī)，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效地進(jìn)步了教學(xué)效果。下面就圓錐曲線的知識(shí)，談一談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂中

2、的應(yīng)用。一、幾何畫板的理論根據(jù)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個(gè)積極主動(dòng)地建構(gòu)過(guò)程，學(xué)習(xí)者不是被動(dòng)地承受外在信息，而是根據(jù)先前的認(rèn)知構(gòu)造主動(dòng)地和有選擇地承受外在信息，建構(gòu)當(dāng)前事物的意義。也就是說(shuō)，知識(shí)的獲得是通過(guò)學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助于別人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過(guò)人際間的協(xié)作活動(dòng)而實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)過(guò)程。因此，在教學(xué)過(guò)程中不能分開(kāi)學(xué)習(xí)者的背景知識(shí)和經(jīng)歷，要充分尊重學(xué)生的主體性。幾何畫板的動(dòng)態(tài)性和形象性，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際“操作幾何圖形的環(huán)境，使學(xué)生在體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在較短的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生許多經(jīng)歷。學(xué)生在通過(guò)對(duì)幾何圖形進(jìn)展觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中增加感性認(rèn)識(shí)，形

3、成豐厚的幾何經(jīng)歷背景，通過(guò)自己的考慮建立自己的數(shù)學(xué)理解力，從而更有助于理解和證明。二、教會(huì)學(xué)生使用幾何畫板軟件問(wèn)題1.在橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，為了更形象地讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察橢圓的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，探究橢圓的性質(zhì)，首先，我把制作橢圓的過(guò)程教給學(xué)生。1在平面上作線段F1F2，度量出其長(zhǎng)度，定義為2。2在同一平面上作一條線段AB，度量出其長(zhǎng)度，定義為2a，使a。3在線段AB上任取一點(diǎn)，“構(gòu)造線段A，度量A的長(zhǎng)度；“構(gòu)造線段B，度量B的長(zhǎng)度。4以線段A為半徑，以點(diǎn)F1為圓心，“構(gòu)造圓1。5以線段B為半徑，以點(diǎn)F2為圓心，“構(gòu)造圓2。6圓1與圓2交于點(diǎn)，1，“構(gòu)造線段F1、F2提示：|F1|=|A|，|F2|

4、=|B|，并選擇“跟蹤點(diǎn)，1。7計(jì)算|F1|+|F2|的值。8選中點(diǎn)，在編輯菜單下操作類按鈕設(shè)置為動(dòng)畫，標(biāo)記為“軌跡。9當(dāng)鼠標(biāo)點(diǎn)擊“軌跡按鈕時(shí)，點(diǎn)，1運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓?；蛲蟿?dòng)點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)，出現(xiàn)點(diǎn)，1的軌跡是橢圓。在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生觀察到|F1|+|F2|的值始終保持不變，即橢圓滿足以下條件的點(diǎn)的集合：P|F1|+|F2|2a很容易得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的間隔 之和是常數(shù)大于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。對(duì)進(jìn)一步利用“坐標(biāo)法研究曲線橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用曲線的方程討論曲線的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題，起到了很重要的作用。幾何畫板的動(dòng)態(tài)性，可以把數(shù)學(xué)圖形動(dòng)態(tài)直觀地展現(xiàn)出來(lái)，

5、化抽象為詳細(xì)，化詳細(xì)為形象，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生的思路，找到解決問(wèn)題的有效方法，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。三、鼓勵(lì)學(xué)生作出猜想，參與探究利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)性，可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的根底上作出猜想，為教師培養(yǎng)學(xué)生探究性地建構(gòu)知識(shí)提供環(huán)境，從而讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識(shí)，提出猜想的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新。探究橢圓軌跡問(wèn)題2.在問(wèn)題1研究橢圓的軌跡時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步探究：假設(shè)改變線段AB的間隔 ，曲線的形狀、大小有什么變化？為什么？學(xué)生可先對(duì)曲線的軌跡作出猜想，在紙上畫出曲線的軌跡。然后教師通過(guò)拖動(dòng)AB點(diǎn)，改變AB的長(zhǎng)度，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：假設(shè)F1、F2的間隔 不變，AB的長(zhǎng)度越大

6、，得到的橢圓越接近于圓；AB的長(zhǎng)度越小，得到的橢圓越扁，越接近于線段F1F2；當(dāng)AB的值等于|F1F2|時(shí)，其軌跡為一線段，與F1F2重合。問(wèn)題3.一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2。從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP，求線段PP的中點(diǎn)的軌跡。學(xué)生根據(jù)條件進(jìn)展構(gòu)圖，設(shè)置點(diǎn)P為“動(dòng)畫，追蹤點(diǎn)，得到中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，很容易就完成這個(gè)課件的制作。結(jié)論證明將圓按某個(gè)方向壓縮拉長(zhǎng)都可以得到橢圓。進(jìn)一步探究：假設(shè)把點(diǎn)P任意縮放，得到點(diǎn)，那么點(diǎn)的軌跡仍是橢圓。問(wèn)題4.探究橢圓的第二定義：即到定點(diǎn)的間隔 與到定直線的間隔 之比e0分析：在x軸上任畫兩點(diǎn)E、F，過(guò)E作x軸的垂線L，構(gòu)造線段AB、GH|AB

7、|GH|，在線段AB上畫一點(diǎn)，度量出線段A、AB，并計(jì)算AAB，在線段GH上畫一點(diǎn)D，度量出GD=a，計(jì)算出GDe，構(gòu)造出以點(diǎn)F為圓心，以GD為半徑的圓1,將直線L按標(biāo)記向量GDe平移得到直線L，構(gòu)造出直線L與1的交點(diǎn)、N，構(gòu)造出點(diǎn)、N關(guān)于點(diǎn)D的軌跡即得到所求的橢圓。隱去不必要的對(duì)象，結(jié)果如圖2幾何畫板的最大特色是動(dòng)態(tài)性，使學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，探究幾何圖形的性質(zhì)。因此，使教學(xué)更加直觀、生動(dòng)，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的興趣性。四、參與教學(xué)過(guò)程，進(jìn)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)生掌握了幾何畫板，可以更好地參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)，進(jìn)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)容，展示數(shù)學(xué)思想，進(jìn)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

8、、數(shù)學(xué)探究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，探究知識(shí)之間的聯(lián)絡(luò)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找解決問(wèn)題的方法。問(wèn)題5.從橢圓到雙曲線讓學(xué)生仿照探究橢圓軌跡的方法探究雙曲線的軌跡。圖3在幾何畫板上畫一直線AB，在直線AB上任意畫一點(diǎn)，再畫兩點(diǎn)F1、F2，使|F1F2|AB|，以F1為圓心線段A即r1為半徑畫圓，以F2為圓心線段B即r2為半徑畫圓，圓F1與F2的交點(diǎn)是、，改變點(diǎn)的位置，點(diǎn)、的軌跡是雙曲線。由上面的畫圖過(guò)程可以看出，雙曲線是滿足以下條件的點(diǎn)的集合：P|F1|F2|2a我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的間隔 的差的絕對(duì)值等于常數(shù)小于|F1F2|的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的間隔 叫做雙曲線的焦距。在圖3中，|AB|2a，|F1F2|2，|AB|F1F2|，a。根據(jù)上述條件，學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，很容易求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并探究其幾何性質(zhì)。五、自我探究，表達(dá)“多元聯(lián)絡(luò)借助幾何畫板所提供的“多元聯(lián)絡(luò)表示的環(huán)境，使學(xué)生自我探究，提醒知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，探究出問(wèn)題的一般規(guī)律，有助于加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。問(wèn)題6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：與定點(diǎn)和定直線的間隔 之比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡e=a,當(dāng)01時(shí)軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)軌跡為拋物線。分析：e的范圍不同，得出的曲線軌跡就不同。如何改變e的值，也就是說(shuō)改變a,的值呢？