高考數(shù)學(xué)資料-正弦定理、余弦定理、解三角形-(修改版)

1、第PAGE 頁(yè)碼43頁(yè)/總NUMPAGES 總頁(yè)數(shù)43頁(yè)Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.解三角形正弦定理（一）正弦定理：，(2)推論：正余弦定理的邊角互換功能 ， ， = 典型例題:1在ABC中，已知，則B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，則這樣的三角形有_1_個(gè)3在ABC中，若,求的值解由條件同理可得練習(xí): 選擇題1一個(gè)三角形的兩內(nèi)角分別為與，如果角所對(duì)的邊長(zhǎng)是，那么角所對(duì)的邊的邊長(zhǎng)為（） 2在ABC中，若其外接圓半徑為，則一定有（） 3在ABC中，則ABC一定是（）等腰三角形

2、 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC為等腰三角形或直角三角形。二、填空題4在ABC中，已知且ABC，則_5如果，那么ABC是_等腰三角形_三、解答題6在ABC中，若，面積ABC，求的值解由條件ABC 當(dāng)B為銳角時(shí)，由當(dāng)B為鈍角時(shí)，由7在ABC中，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊，若,求的值解 又 又 8在ABC中，求證：解：.111正弦定理（二）三角形的面積公式：（1）= （2）s=（3）典型例題:【例1】在ABC中，已知，則的值為 （ ） 【例2】在ABC中，已知，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為_答案：【例3】ABC的

3、兩邊長(zhǎng)分別為3cm,5cm,夾角的余弦是方程的根，求ABC的面積解 設(shè)兩邊夾角為,而方程的兩根ABC 【例4】在銳角三角形ABC中，A=2B，、所對(duì)的角分別為A、B、C，試求的范圍。分析：本題由條件銳角三角形得到B的范圍，從而得出的范圍?！窘狻吭阡J角三角形ABC中，A、B、Cc新的三角形的三邊長(zhǎng)為ax、bx、cx，知cx為最大邊，其對(duì)應(yīng)角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，則為銳角，那么它為銳角三角形5.在ABC中，cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為 ()A正

4、三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2eq f(B,2)eq f(ac,2c)，eq f(cosB1,2)eq f(ac,2c)，cosBeq f(a,c)，eq f(a2c2b2,2ac)eq f(a,c)，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC為直角三角形答案：B二、填空題6ABC中，ABC，則_7. 在ABC中，已知,ABC,則_三、解答題8在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，證明。解由余弦定理,知，9已知圓內(nèi)接四邊形的邊長(zhǎng)，求四邊形的面積解如圖，連結(jié)，則四邊形面積ABD+BCD=A+C=1800 sin= sin C=16 sin由余弦定理,

5、知在ABC中，在CDB中,又120016sin10、 在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，（1）求角C的大?。唬?）求ABC的面積解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC113正、余弦定理的綜合應(yīng)用典型例題:例題在中，若，則的大小是_.解： a:b:c5:7:8設(shè)a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小為.例題.在ABC中，滿足條件，則_ ，ABC的面積等于_ 答案：；例題3在ABC中，A60，b1，求的值。錯(cuò)解：A60，b1，

6、又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此復(fù)雜的算式，計(jì)算困難。其原因是公式不熟、方法不當(dāng)造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例題4. 在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，已知，（）求的大??；（）求的值解 （）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 練習(xí):選擇題在ABC中，有一邊是另一邊的倍，并且有一個(gè)角是，那么這個(gè)三角形（）一定是直角三角形 一定是鈍角三角形可能是銳角三角形 一定不是銳角三角形點(diǎn)評(píng)：三角形形狀判定方法：角的判定、邊的判定、綜合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大邊，則有：三角形是銳角三角形；三角形是直角三角形；三角形是

7、鈍角三角形。在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，且，則的值為（）A B C D已知ABC中，（）成立的條件是（） 且 或4.ABC的兩邊長(zhǎng)分別為2,3，其夾角的余弦值為eq f(1,3)，則其外接圓的半徑為()A .eq f(9r(2),2) B .eq f(9r(2),4) C .eq f(9r(2),8) D9eq r(2)解析：由余弦定理得：三角形第三邊長(zhǎng)為 eq r(2232223f(1,3)3，且第三邊所對(duì)角的正弦值為 eq f(2r(2),3)，所以2Req f(3,f(2r(2),3)Req f(9r(2),8).二、填空題5已知在ABC中，最大邊和最小邊的長(zhǎng)是方程的兩實(shí)根，

8、那么邊長(zhǎng)等于_7_6已知銳角的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是 則角A的大小_； 7在ABC中，是其外接圓弧上一點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)是_5_三、解答題8在ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為，為ABC的面積，且有，（）求角的度數(shù)；（）若，求的值解 由二倍角公式，已知等式化簡(jiǎn)為或120當(dāng)時(shí)，由余弦定理,得當(dāng)120時(shí)，由余弦定理,得9ABC中的三和面積滿足，且，求面積的最大值。解由余弦定理,得 02當(dāng)時(shí)，max =10在中，已知內(nèi)角，邊.設(shè)內(nèi)角,面積為.求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值解：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)用正弦定理，知，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值11在中, 角A、B、C的

9、對(duì)邊分別為、.若的外接圓的半徑,且, 求B 解析：由，代入得整理得即12 應(yīng)用舉例（一）典型例題:圖1ABCD例1 如圖1所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在AB邊上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)、CAB、CBA，這個(gè)三角形可確定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”210在200米高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300,600,則塔高為( )A米 B米 C米 D米A3在湖

10、面上高h(yuǎn)處，測(cè)得云彩仰角為，而湖中云彩影的俯角為，求云彩高.解 C、C解關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，設(shè)云高CE = x 則CD = x h，CD = x + h，在RtACD中， 在RtACD中，, 解得 .4、如圖，為了測(cè)量塔的高度，先在塔外選和塔腳在一直線上的三點(diǎn)、，測(cè)得塔的仰角分別是，求求的大小及塔的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因?yàn)?sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE= x

11、，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=155.為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角

12、和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。解： 方案一：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)到，點(diǎn)的俯角；點(diǎn)到，的俯角；的距離（如圖所示）第一步：計(jì)算由正弦定理；第二步：計(jì)算由正弦定理；第三步：計(jì)算由余弦定理方案二：需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：點(diǎn)到點(diǎn)的俯角；點(diǎn)到，的俯角；的距離（如圖所示）第一步：計(jì)算由正弦定理；第二步：計(jì)算由正弦定理；第三步：計(jì)算由余弦定理練習(xí):一、選擇題1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D

13、.5海里2海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是 ( )A.10海里 B.海里 C. 5海里 D.5海里3如圖，要測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得 ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，則AB的距離是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在島B的正南方A處，AB10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（ ）A分鐘B分鐘C21.5分鐘D2.

14、15分鐘二、填空題5一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷折成與地面成30角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則樹干原來(lái)的高度為 6甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是 三、解答題7如圖：在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15，向山頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45，假設(shè)建筑物高50m，求此山對(duì)于地平面的斜度解：在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30由正弦定理： BC = 200sin15 在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +

15、 , 由正弦定理： cos = = 42.94北乙甲8如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？解法一：如圖，連結(jié)，由已知，北甲乙又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）答：乙船每小時(shí)航行海里解法二：如圖，連結(jié)，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小為海里/小時(shí)答：乙船每小時(shí)航行海里9某船在海上航行中不幸遇險(xiǎn)，

16、并發(fā)出呼救信號(hào)，我海上救生艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該船的方位角為45，與之相距10 nmail的C處，還測(cè)得該船正沿方位角105的方向以每小時(shí)9 nmail的速度向一小島靠近，我海上救生艇立即以每小時(shí)21 nmail的速度前往營(yíng)救，試求出該海上救生艇的航向及與呼救船相遇所需時(shí)間。解：設(shè)所求最大圓的半徑為x，則在ABC中 又在ACD中：又在ACD中：10在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km ，并以10 km / h的速度不斷增加，問幾小

17、時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？角：設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小時(shí)后該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，侵襲的時(shí)間將持續(xù)12小時(shí)12 應(yīng)用舉例（二）典型例題：例1一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南60西， 另一燈塔在船的南75西，則這只船的速度是每小時(shí)（ ）A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里例2某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45距離為10海里的C處，此時(shí)得知

18、，該漁船沿北偏東105方向，以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近，艦艇時(shí)速21海里，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是 小時(shí) 圖3ABC北4515例3 如圖3，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能盡快追上乙船？ 解析：設(shè)用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設(shè)ABC=，BAC=。=1804515=120。根據(jù)余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15

19、n mile。根據(jù)正弦定理，得，又=120，為銳角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏東arcsin的方向用h可以追上乙船。點(diǎn)評(píng)：（1）航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的 ABC、AB邊已知，另兩邊未知，但他們都是航行的距離，由于兩船的航行速度已知，所以，這兩邊均與時(shí)間t有關(guān)。這樣根據(jù)余弦定理，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解出t的值。 （2）在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問題是在一個(gè)三角形

20、內(nèi)研究問題，而B的平分線BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC練習(xí)：一、選擇題1臺(tái)風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40

21、km處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A的點(diǎn)仰角分別為、（）則A點(diǎn)離地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45，如果用正弦定理解三角形有兩解，則邊長(zhǎng)a的取值范 圍是（）AB CD二、填空題4我艦在敵島A南50西相距12nmile的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則需要速度的大小為 14nmile/h 5在一座20 m高的觀測(cè)臺(tái)頂測(cè)得地面一水塔塔頂仰角為60，塔底俯角為45，那么這座塔的高為

22、_20（1+） m _三、解答題6如圖所示，對(duì)于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪，用一條（足夠長(zhǎng)）繩子跨過它們，并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體，另在兩個(gè)滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體，為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?（忽略滑輪半徑、繩子的重量） 解：設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg時(shí)，系統(tǒng)保持平衡，再設(shè)F1與豎直方向的夾角為1，F(xiàn)2與豎直方向的夾角為2，則有 （其中g(shù)為重力加速度）由式和式消去，得即.，由式知，式中 不合題意，舍去又4cos2130，解得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去.2m6綜上，所求物體的質(zhì)量在2 kg到6 kg之間變動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)可保持平衡.7海島上有一座高出水面10

23、00米的山，山頂上設(shè)有觀察站A，上午11時(shí)測(cè)得一輪船在A的北偏東60的B處，俯角是30，11時(shí)10分，該船位于A的北偏西60的C處，俯角為60，（1）求該船的速度；（2）若船的速度與方向不變，則船何時(shí)能到達(dá)A的正西方向，此時(shí)船離A的水平距離是多少？（3）若船的速度與方向不變，何時(shí)它到A站的距離最近？解:設(shè)AD=x，AC=y， 而在ABC中，即 得，代入得得，即此人還需走15km才能到達(dá)A城.CAB8.為了立一塊廣告牌，要制造一個(gè)三角形的支架 三角形支架形狀如圖，要求，BC的長(zhǎng)度大于1米，且AC比AB長(zhǎng)0.5米 為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，求AC最短為多少米？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度

24、為多少米？解：如圖，設(shè)BC的長(zhǎng)度為x米，AC的長(zhǎng)度為y米，則AB的長(zhǎng)度為（y0.5）米 在ABC中，依余弦定理得： 即化簡(jiǎn)，得 ，因此 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)，即時(shí)，y有最小值 解三角形測(cè)試題一、選擇題1.在ABC中，那么ABC一定是（ ）A銳角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形解：由正弦定理，得即。2A或?；颉９蔄BC為等腰三角形或直角三角形。2.ABC中，則SABC=（ ）ABCD3.在ABC中，一定成立的等式是（） AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinA D.cosB=bcosA4.若，則ABC為（）A等邊三角形B等腰三角形C

25、有一個(gè)內(nèi)角為30的直角三角形D有一個(gè)內(nèi)角為30的等腰三角形5.邊長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為（ ）A90 B120 C135 D1506.設(shè)A是ABC中的最小角，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa3 Ba1 C1a3 Da07.ABC中,A、B的對(duì)邊分別為a,b，且A=60，,那么滿足條件的ABC（ ）A有一個(gè)解 B有兩個(gè)解C無(wú)解D不能確定8.在ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（ ） Ab = 10，A = 45，B = 70 Ba = 60，c = 48，B = 100Ca = 7，b = 5，A = 80 Da = 14，b = 16，A = 45.在AB

26、C中，則三角形最小的內(nèi)角是（ ）A60B45 C30 D以上都錯(cuò).有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)要將傾斜角改為10，則坡底要伸長(zhǎng)（ ）A1公里 Bsin10公里 Ccos10公里 Dcos20公里二.填空題1.在ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為 1.在ABC中，a+c=2b，AC=60，則sinB= .1.在ABC中，已知AB=l，C=50，當(dāng)B= 40 時(shí)，BC的長(zhǎng)取得最大值. 14ABC的三個(gè)角ABC,且2B=A+C,最大邊為最小邊的2倍,則三內(nèi)角之比為1:2:3 . AUTONUM 5、在ABC中，AB=2，BC=3，AC=，則ABC的面積為

27、 ，ABC的外接圓的面積為 。三、解答題：16.在ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b16. 17. a、b、c為ABC的三邊，其面積SABC=12,bc=48,bc=2,求a.解：解法一：由,解得 又SABCC=, cosA=,a2=b2+c2-2bccosA=64+36-286()=10048, a=2或2.解法二：SABC=, cosA=,a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+248(1)=10048 a=2或a=218在中，（1）求的值；（2）求的值. 解：（） 由余弦定理，得 那么，（）由，且得由正弦定理，得解得.所以，.由倍

28、角公式，且，故.19.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分DAB，60021DCBAABC=600，AC=7，AD=6，SADC=，求AB的長(zhǎng).19.20.在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)設(shè)AC=，求ABC的面積.解：（）由，且，又，（）如圖，由正弦定理得，又21.一緝私艇在島B南50東相距 8（）n mile的A處，發(fā)現(xiàn)一走私船正由島B沿方位角為方向以 8n mileh的速度航行，若緝私艇要在2小時(shí)時(shí)后追上走私船，求其航速和航向21. 緝私艇應(yīng)以8 n mile/ h的速度按方位角 355方向航行.22、如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線C

29、D，現(xiàn)已測(cè)出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，試求AB的長(zhǎng)解：在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa. 在BCD中，由正弦定理可得BCeq f(asin105,sin45)eq f(r(3)1,2)a. 在ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)锳CB30，所以利用余弦定理可以求得A、B兩點(diǎn)之間的距離為ABeq r(AC2BC22ACBCcos30)eq f(r(2),2)a.數(shù)學(xué)二級(jí)結(jié)論高考的應(yīng)用第一結(jié)論不動(dòng)點(diǎn)通法 數(shù)列通項(xiàng)放縮問題國(guó)一各種數(shù)列壓軸題 通殺不動(dòng)點(diǎn)的求法：比如X(n+1)=f(Xn)令f(Xn)=Xn 解出Xn=a或者a,b兩解那么a,b

30、就為Xn不動(dòng)點(diǎn)不動(dòng)點(diǎn)意義是什么呢？ 就是Xn的極限 即Xna高考里你只需要取大根就好，小根忽視比如10年國(guó)一22(2) 看解法 你可以選08 07 的國(guó)一照套用核心思想：有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)的相關(guān)問題，先化簡(jiǎn)Xn-a(a為不動(dòng)點(diǎn))會(huì)得到很多Xn的性質(zhì)題目再現(xiàn)：a1=1 a(n+1)=c-1/an求使不等式anan+13的c的取值范圍解an=c-1/an 令an=x 得 x=(c+sqrt(c-4)/2顯然就是證xan a2=c-1/a1=c-1c-11 所以c2所以a1-x=1-x0回頭看這個(gè)：即an+1 - x = c(an-x)-x(an-x)/an=(c-x)/an*(an-x)(c-x)/an

31、 是一個(gè) 正數(shù) 根據(jù)【同號(hào)性】（極其重要） an+1 - x和an - x同號(hào) a1-x0所以a2-x0an+1-x0即an+1x即題目變成anan+1x3恒成立求x的范圍解x3得到答案這是真正的通法 是所有考察數(shù)列通項(xiàng)問題的通法，這是高數(shù)內(nèi)容 別忘了是誰(shuí)出的題大學(xué)教授，都帶有高數(shù)味兒得小結(jié)論C:y2=2px過x軸上(a,0)點(diǎn)與C相交，存在x1x2=a2無(wú)數(shù)小題用此結(jié)論減免思維強(qiáng)度連10年解幾第一問也可以用這個(gè)證明（三點(diǎn)共線那個(gè)） 你想想 過(-p/2,0)的直線交C于A(x1,y1)B(x2,y2) B(x2,-y2) 讓你證AB過焦點(diǎn)你想想 x1x2只和a2有關(guān)，也就是在x1x2相同時(shí)

32、a有兩個(gè)解 一個(gè)解已知是-p/2 另一個(gè)解必然是p/2啊極坐標(biāo)：秒殺焦點(diǎn)弦我們是大綱版 不學(xué)極坐標(biāo)，所以考試小題常出焦點(diǎn)弦問題沒學(xué)過極坐標(biāo)的別記專有名詞 這樣記以下公式橢圓 過F作直線交C于AB，設(shè)AF=r1 BF=r2目測(cè)誰(shuí)比較長(zhǎng) 如r1比較長(zhǎng)則r1=ep/1-ecos日日為過F的直線的傾斜角p為焦準(zhǔn)距雙曲線單支和橢圓一樣交于兩支時(shí) r=ep/ecos日 +- 1 比較長(zhǎng)的那個(gè)取負(fù) 短的那個(gè)取正拋物線r=p/1 -+ cos日（拋物線e=1）以上三者的焦點(diǎn)弦R=r1+r2長(zhǎng)為R=|2ep/1-e2cos2日|這個(gè)公式和焦半徑公式相輔相成 輪換使用 解幾小題任意秒另附 焦半徑公式中 雙曲線的速

33、記口訣左加右減套絕對(duì)值，同邊開負(fù)，異邊開正舉例解釋比如在雙曲線右支 到右焦點(diǎn)的距離r=|a-ex0| （左加右減套絕對(duì)值）由于是同邊（右支右邊） 所以絕對(duì)值開負(fù)號(hào) r=ex0-a技巧09山東22題告訴我們過原點(diǎn)的兩條線段r1 r2相互垂直時(shí)，A點(diǎn)可設(shè)為A(r1cos日,r1sin日) B(-r2sin日,r2cos日)因?yàn)锳O BO垂直 這些關(guān)系可以用傾斜角表示S(2n-1)=(2n-1)an這種強(qiáng)大的公式不懂你就虧了四面體體積公式V=1/6(abhsin日)a，b是兩條對(duì)楞的長(zhǎng)，h是對(duì)棱的異面距離，日是對(duì)棱的夾角這個(gè)公式異常重要，比如10年國(guó)一12題，用這題套公式秒殺有關(guān)立體幾何中的開放式問

34、題 （極值，交點(diǎn)個(gè)數(shù)，還有北京卷那個(gè)與xyz哪個(gè)有關(guān)的）近年來(lái)的熱點(diǎn) 這類題基本出在正方體或者長(zhǎng)方體中用退化的 空間解析幾何處理 這類題可以秒殺，這個(gè)要畫圖 有需要的童鞋回一下 我就畫圖還有這個(gè)在O-xyz 坐標(biāo)系中 某條過O的直線和x y z分別成 a b c 度角有cos2 a + cos b + cos2 c =1這個(gè)有什么用呢？ 已知兩個(gè)角 求第三個(gè)角 用于有些圖形惡心的立幾大題中建立坐標(biāo)系雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離=b過雙曲線兩頂點(diǎn)作垂直于x軸的直線和漸近線交與四點(diǎn) 形成一個(gè)矩形則 斜邊為c 另一條直角邊為b我們來(lái)看看圓錐面是一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)一周所得意味著該圓錐母線和底面所成的角恒為定值

35、所以【研究線面成定角問題可以用圓錐面分析】立體幾何中解析幾何中 凡涉及線段中點(diǎn)問題的 絕大多數(shù)和三角形中位線有關(guān)遇到排列組合難題 尤其是三個(gè)限制條件的 一定要用容斥原理舉個(gè)例子：P要滿足A,B,C，求P的方法數(shù)畫個(gè)韋恩圖U是全集 畫個(gè)大框框 在上面畫3個(gè)圈 非A 非B 非C （要看看他們是否有交集，一般是有的）看到圖你知道該怎么算了吧P=U-(A+B+C)+A交B+A交C+B交C-A交B交C兩個(gè)條件的我就懶得打字啦有關(guān)離心率問題 很多命題點(diǎn)在這里橢圓離心率e2=1-(b/a)2雙曲線：e2=1+(b/a)2看到了吧 都和一個(gè)參數(shù)t=(b/a) 有關(guān)雙曲線漸近線方程可設(shè)為b2x2-a2y2=0看

36、到了么 這可是二次方程形式喲 可以避免討論一些東西比如有兩焦點(diǎn) 可以舍而不求的聯(lián)立使用韋達(dá)定理2畫一個(gè)雙曲線，比如P在右支上 連接PF1 PF21.若PO=F1O=F2O 則F1PF2為902.POOF1 則OF1 則，為銳角導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí) 注意原函數(shù)有極值的條件是在定義域內(nèi)0【這是一個(gè)你死也要記住的不等式鏈】sqrt(a2+b2)/2=(a+b)/2=sqrt(ab)=2/(1/a+1/b)注意2/(1/a+1/b) 也就是2ab/a+b這個(gè)不等式鏈 在配湊性消元 正負(fù)對(duì)消上有很大用途但是均值不等式一定是單向放縮的 一般求雙最值問題 一定要涉及到求導(dǎo)平面中任意共起點(diǎn)的兩條向量所組成的三角

37、形面積為設(shè)向量OA=(a,b)向量OB=(c,d)a b( )c d即 ad-bc證明可用S=1/2absin日 證平行四邊形ABCD 中1.若|AB|=|AD| (向量AB+向量AD)(向量AB-向量AD)=02.若ABAD |向量AB+向量AD|=|向量AB-向量AD|用向量構(gòu)筑不等關(guān)系若題目求ac+bd 這類的最大值 可以構(gòu)筑向量m=(a,c)向量n=(c,d)向量m*向量n=ac+bd=sqrt(a2+c2)sqrt(b2+d2)y=f(a+x)和y=(b-x) 關(guān)于 x=(b-a)/2對(duì)稱y=f(wx+a)和y=f(b-wx)關(guān)于x=(b-a)/2w對(duì)稱切記等差數(shù)列Sn=(d/2)n

38、2+(a1-d/2)n 這是二次函數(shù)表達(dá)式 很多小題就是以這個(gè)為基本命題的S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差數(shù)列和，下標(biāo)又是奇數(shù)的 趕緊用啊等比數(shù)列Sn=m+mqn 其中m=a1/1-q這個(gè)是肯定要記的，很多放縮就是放縮到等比數(shù)列 然后選一個(gè)小于1的公比q 你觀察，Sn的極限不就是a1/1-q可以用來(lái)證明(bn是等比)a1+a2+a3+.+anb1+b2+bn（通過單項(xiàng)放縮）a1/1-q=題目要求值cos75=1/sqrt(6)+sqrt(2)sin75=1/sqrt(6)-sqrt(2)自己推15的啊。這個(gè)我做數(shù)學(xué)和物理真題的時(shí)候遇到過 物理尤其光學(xué)題對(duì)于R上的奇函數(shù) 如果周期為T 則有f(T/2+nT)=0可以用奇X奇=偶函數(shù) 偶X奇=奇 來(lái)變幻函數(shù)性質(zhì)比如如果f(x)為偶 則 f(x)/x 為奇注意這種構(gòu)造法|b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+b(n+1)-bn| y0/x0 * k = -b2/a22.和l聯(lián)立消去x,y （別弄走了k)拋物線中利用參數(shù)方程很多情況下可以大幅度減少運(yùn)算y2=2px的參數(shù)方程(2pt2,2pt)比例