自動控制理論頻率特性的基本概念

1、第五章 控制系統(tǒng)的頻率法分析9/1/20221頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容 9/1/20222第一節(jié) 頻率特性的基本概念9/1/20223 考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應(yīng)的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。 頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計系統(tǒng)的一個既方便又有

2、效的工具。9/1/20224一、頻率特性的定義： 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。 對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中， 為極點。若：則：9/1/20225拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當(dāng) ，即穩(wěn)態(tài)時：式中， 分別為：9/1/20226而式中：Rm 、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移動了 。 和 都

3、是頻率的函數(shù)。9/1/20227定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號的相位差 為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對不同頻率輸入信號的相位移特性； 定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號的幅值之比 為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性； 幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量 ，它也是 的函數(shù)。 稱為頻率特性。這里 和 分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。 還可將 寫成復(fù)數(shù)形式，即 9/1/20228由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學(xué)上是等價的。 頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為： 幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：9/1/2022

4、9結(jié)論：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用 代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。 到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：9/1/202210 從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。9/1/202211例子：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：9/1/202212 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導(dǎo)系

5、統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 事實上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。 此外，在驗證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。 頻率響應(yīng)法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中有非常重要的作用。9/1/202213 頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特

6、性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。9/1/202214工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實部 為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部 為縱坐標(biāo)，以 為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2對數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以 為橫坐標(biāo)，對數(shù)分度，分別以 和 作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位 為橫坐標(biāo)，以 為縱坐標(biāo)，以

7、為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：9/1/202215一、極坐標(biāo)頻率特性曲線（奈魁斯特曲線、幅相頻率特性曲線） 它是在復(fù)平面上用一條曲線表示 由 時的頻率特性。即用矢量 的端點軌跡形成的圖形。 是參變量。在曲線的上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。由于 是偶函數(shù)，所以當(dāng) 從 和 變化時，奈魁斯特曲線對稱于實軸。根據(jù)上面的說明，可知：頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G(s)平面上的映射。9/1/202216二、對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖） 它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標(biāo)（橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值和相角）的分度： 橫坐標(biāo)分度：它是以

8、頻率 的對數(shù)值 進行分度的。所以橫坐標(biāo)（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：由于 以對數(shù)分度，所以零頻率線在 處。9/1/202217 縱坐標(biāo)分度：幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)是以 或 表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將 或 值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。 相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進行線性分度。 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標(biāo)（頻率軸）。 當(dāng)幅制特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值9/1/202218使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\算轉(zhuǎn)化為加法運算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用