和倍差倍及和差問題

1、小學奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學生自學） 第一講和倍問題和倍問題是已知大小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個數(shù)的應用題。為了幫助我們理解題意弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1.甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1倍數(shù)，則甲班圖書為3倍數(shù)，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和是4倍數(shù)。4倍數(shù)的數(shù)量是160本，可以求出1倍數(shù)，即乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。用下圖表示它們的關(guān)系：解：160（3+1）=40（本）乙班40 x3=120（本）或160

2、40=120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應用題答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本：再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍。如果與條件相符，表明這題作對了。注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：120+40=160（本）12040=3（倍）。200340=560（人）或760200=560（人）男生答：男生有560人，女生有200人。驗算：560+200=760（人）（560+40）十200=3（倍）例4.果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵。桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析

3、：把梨樹看作1倍數(shù)，則（桃樹12）是2倍數(shù)，（蘋果樹+20）是1倍數(shù)。那么（55212+20）就是（2+1+1）倍數(shù)，可以求出1倍數(shù)。（如圖）解：（55212+20）十（2+1+1）=560十4=140（棵）梨樹1402+12=292（棵）桃樹14020=120（棵）蘋果樹答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5.549是甲、乙、丙、丁4個數(shù)的和。如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后則4個數(shù)相等。求4個數(shù)各是多少？分析：右圖可以看出，丙數(shù)最小。由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的半相等，即丁數(shù)相當于丙數(shù)的4倍。乙減2之后是丙的2倍，甲

4、加上2之后也是丙的2倍。根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：（549+22）十（2+2+1+4）=549十9=61丙數(shù)（1倍數(shù)）6122=120甲數(shù)612+2=124乙數(shù)614=244丁數(shù)答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244。驗算：120+124+61+244=549120+2=1221242=122612=122244十2=122小結(jié)：利用關(guān)鍵字“是”和“比”設(shè)1倍數(shù)解題什么方便。一般是設(shè)“是”或“比”后面的量為1倍數(shù)。如例1中“甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍”，“是”后面的量是乙班的圖書本數(shù)，因些設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1倍數(shù)；例2中“甲班的圖書是乙班圖書的2倍

5、”，設(shè)乙班圖書本數(shù)為1倍數(shù)；例3中“男生比女生的3倍少40人”，“比”后面的量是女生人數(shù)，因些設(shè)女生人數(shù)為1倍數(shù)；例4中“桃樹比梨樹的2倍多12棵”，設(shè)梨樹為1倍數(shù)。后面將會學到的差倍問題也是利用關(guān)鍵字“是”和“比”設(shè)1倍數(shù)。和倍問題習題小明和小強共有圖書120本，小強的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個長方形的面積。甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分鐘23立方米的速度流入乙水池，那么多少分鐘后，乙水池中的水

6、是甲水池的4倍？甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？和倍問題習題解答小明的本數(shù)：120（2+1）=40（本）。小強的本數(shù)：20 x2=80（本）杏樹：（34020）（3+1）=80（棵）桃樹：80 x3+20=260（棵）寬：（302）（2+1）=5（厘米）。長：5x2=10（厘米）。面積：10 x5=50（平方厘米）乙兩水池共有水：2600+1200=3800（立方米）。甲水池剩下的水：3800（4+1）=760（立方米）。甲水池流入乙水池中

7、的水：2600760=1840（立方米）。經(jīng)過的時間（分鐘）：184023=80（分鐘）乙兩桶油總重量：470+190=660（千克）。當甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：660（2+1）=220（千克）。由甲桶倒入乙桶中的油：220190=30（千克）。變化后的繩子總長：957+8=96（米）。第二條繩子長：96（1+1+1）=32（米）。第一條繩長：32+7=39（米）。第三條繩子長：328=24（米）。第二講差倍問題前面講了應用線段圖分析“和倍”應用題，這種方法使分析問題具體、形象，使我們能比較順利地解答些類應用題。下面我們再來研究與“和倍”問題有相似之處的“差倍”應用題?！安畋秵栴}”就是

8、已知兩個數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍數(shù)，再畫圖確定解題方法。被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對應，相除后得到的結(jié)果是一倍數(shù)，然后求出另一個數(shù)，最后答題和驗算。例1.甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析：如右圖：把乙班的圖書本數(shù)看作1倍數(shù)，則甲班的圖書本數(shù)是3倍數(shù)，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍數(shù)。又知“甲班的圖書比乙班多80本”即2倍數(shù)與80本相對應，可以理解為2倍數(shù)平幕是80,這樣可以算出1倍數(shù)是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：80（31）=40（本）乙班40

9、x3=120（本）或40+80=120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。驗算：12040=80（本）12040=3（倍）例2.菜站運來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析：這樣想：根據(jù)“菜站運來的白菜是蘿卜的3倍”應把運來的蘿卜的重量看作1倍數(shù)；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”說明運來的白菜比蘿卜多1800300辺訃=1500（千克）。從右圖中清楚地看到這個重量相當于蘿卜重量的31=2（倍），這樣就可以先求出運來的蘿卜是多少千克，再求運來的白菜是多少千克

10、。蘿卜白菜解：（1800300）（31）=750（千克）750 x3=2250（千克）答：菜站運來白菜2250千克，蘿卜750千克驗算：22501800=450（千克）（白菜剩下部分）750300=450（千克）（蘿卜剩下部分）例3.有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根長度是第一根長的3倍兩根繩子原來各長多少米？分析：如圖所示，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍應該把變化后的第一根長度看作1倍數(shù)，而12+14=26（米），正好是2倍數(shù)。所以，當從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根

11、、第二根原有長度也就可以求出來了。解：（12+14）（31）=13（米）（1倍數(shù)，即第一根截去12米剩下的長度）13+12=25（米）（兩根繩子原來的長度）答：兩根繩子原來各長25米。自己進行驗算，看答案是否正確。另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長。小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個數(shù)量的差與兩個數(shù)量的倍數(shù)的差的對應關(guān)系。用除法求出1倍數(shù)，再求其它數(shù)量。解題規(guī)律：差倍數(shù)的差=1倍數(shù)例4.三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多。后來，三（1）班又買來新書74本，三（2）本從本班原書中拿出96本送給一年級小同學，這時，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析：

12、如圖所示：兩個班原有圖書一樣多。后來三（1）班又買新書74本即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級同學，則圖書減少了96本。結(jié)果是一個班增加，另一個班減少，這樣兩個班圖書就相差96+74=170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本。又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班現(xiàn)有圖書的3倍，把三（2）班現(xiàn)有圖書看作1倍數(shù)，則三（1）班現(xiàn)有圖書是3倍數(shù)，相差31=2倍數(shù)，2倍數(shù)對應170本，從而可以求得一倍數(shù)。隨之原有圖書也可以求出來了。解：74+96（31）=1702=85（本）（1倍數(shù)）85+96=181（本）答：兩班原來各有圖書181本。例5.兩塊同樣長的花布，第

13、一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析：如圖所示：已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多。所剩下的布第二塊比第一塊多3119=12（米）又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當于所剩布的（41）倍，這樣，第一塊所剩布的長度即可求出。解：（3119）（41）=123=4（米）（1倍數(shù)，即第一塊剩下的）4+31=35（米）答:每塊花布原有35米。差倍問題習題一只大象的體重比一頭牛重4500千克，又知大象的重量是一頭牛的10倍，一只大象和一頭牛的重量各是多少千克？果園里

14、的桃樹比杏樹多90棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，桃樹和杏樹各有多少棵？有兩塊布，第一塊長74米，第二塊長50米，兩塊布各剪去同樣長的一塊布后，剩下的第一塊米數(shù)是第二塊的3倍，問每塊布各剪去多少米？甲、乙兩校教師的人數(shù)相等，由于工作需要，從甲校調(diào)30人到乙校去，這時乙校教師人數(shù)正好是甲校教師人數(shù)的3倍，求甲、乙兩校原有教師各多少人？兩筐重量相同的蘋果，從甲筐蘋果取出7千克，乙筐加入19千克，這時乙筐是甲筐蘋果的3倍，問兩筐原有蘋果多少千克？甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了。如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個數(shù)各是多少？有兩塊同樣長的布，第一塊賣出25米，第二塊賣出14米，剩下的布

15、第二塊是第一塊的2倍，求每塊布原有多少米？差倍問題習題解答一頭牛重量是：4500（101）=500（千克）。一只大象重量：500 x10=5000（千克）。杏樹棵樹：90（31）=45（棵）桃樹棵數(shù)：45x3=135（棵）把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：（7450）（31）=12（米）。剪去的米數(shù)：5012=38（米）把甲校調(diào)走30人后的甲校人數(shù)看作1倍數(shù)：（30 x2）（31）=30（人）甲、乙兩校原有教師各30+30=60（人）。甲筐重量：（19+7）（31）=13（千克）。乙筐重量：13x3=39（千克）。原有重量：13+7=20（千克）甲數(shù)：（320+460）2=390。乙數(shù)：390+

16、320=710。（2514）（21）+25=111+25=11+25=36（米）。第三講和差問題和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應用題。為了解答這種問題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式。有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多。”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。小學奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學生自學）小學奧數(shù)：和倍、差倍及和差問題（適合四至六年級學生自學） 再例“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就

17、同樣多。如果認為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了。實際上姐姐比弟弟多2個3支。姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多。這里32=6支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多32+1=7（支）。例1.已知甲數(shù)比乙數(shù)大8，甲數(shù)和乙數(shù)的和是98，求甲、乙兩個數(shù)各是多少？分析：如圖所示：Ft假設(shè)甲數(shù)為1倍數(shù)，則（乙數(shù)+8）也是1倍數(shù)，兩數(shù)的和98加上8就是2倍數(shù)，從而可以求出一倍數(shù)，即甲數(shù)。也可以假設(shè)乙數(shù)為1倍數(shù)，則（甲數(shù)8）是1倍數(shù)，兩數(shù)的和98減去8是2倍數(shù)，也可以求出1倍數(shù)即乙數(shù)。記住以下兩個公式很

18、有用：大數(shù)=（兩數(shù)的和+兩數(shù)的差）十2小數(shù)=（兩數(shù)的和兩數(shù)的差）十2解：(98+8)十2=116十2=53甲數(shù)（988）十2=90十2=45乙數(shù)答：甲數(shù)是53，乙數(shù)是45。例2.今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？分析：如圖，題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是357=28（歲）。不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的。所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲。根據(jù)例1的和差公式直接求出。解：357=28（歲）（差）(58+28)十2=86十2=43（歲）爸爸（把爸爸年齡看作1倍數(shù)）（5828）十2=15（歲）或

19、5843=15（歲）小強答：當兩人年齡和是58歲時，爸爸43歲，小強15歲。例3.小明期末考試時語文和數(shù)學的平均分數(shù)是94分，數(shù)學比語文多8分，問語文和數(shù)學各得了幾分？分析：解和差問題的關(guān)健就是求得和與差，這道題中數(shù)學與語文成績之差是8分，但是數(shù)學和語文成績之和沒有直接告訴我們?？墒牵瑮l件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績。和）解：942=188（分）（188+8）2=1962=98（分）數(shù)學（把數(shù)學成績看作1倍數(shù)）（1888）2=1802=90（分）語文（把語文成績看作1倍數(shù)）答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學得98分。問甲、乙兩校原來各有學生多少人？例4.甲、乙兩校

20、共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調(diào)入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人分析：如圖所示：這樣想：甲、乙兩校學生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32x2+48=112（人）112是兩校人數(shù)差。解：32x2+48=112（人）（差）（864112）2=376（人）乙校864376=488（人）甲校答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人。和差問題習題果園里有桃樹和梨樹共150棵，桃樹比梨樹多20棵，兩種果樹各有多少棵？甲、乙兩桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么兩桶油重量相等，問甲、乙兩桶原有多少油？用錫和