中北大學(xué)高等數(shù)學(xué)(下)習(xí)題冊(cè)答案

1、1.第五章向量代數(shù)與空間解析幾何5.2向量及其線性運(yùn)算r1 r 2r2r不存在ea-i -j-k 3.3 33ox軸:34；oy軸陽(yáng)；oz軸：uuuruuu(1)Prj；AB1;i ；ABr durAb2(1,1方向角：一23345.3數(shù)量積向量積*混合積2 :263(1)J(2)332(1)a b 3 ；a b (5,1,7）；11b5a7c2.4.2；5.1.52u 3v5.xy2z 406.xz2 05.5空間直線及其方程1.x3y 2z 1421x 1 2tx1y 1z 1 ，丄2.；y 1 t213z 1 3t352 23.J33,34.x3y 2z 13915.6曲面及其方程4.

2、2x 3y z 6 01. （1）球面 （2）橢圓拋物面 （3）橢球面(2)18 ；(10,2,14)(3)238 ；(4) 5 r3(5)(5,1,7)(6) 03.24. 405. B(18,17,17)2.5.4平面及其方程1.3x 7 y 5z 4 02.x 3y 2z 03.x 26y 3z 3 0 或x 26y 3z 3 0 .（4）單葉雙曲面 （5）雙曲拋物面22. yz2 5x3.z22 2y z2c4.(略)5.7空間曲線及其方程1.x 8cost,y 4-2 si nt,z 4 2 si nt2 1 2 2 1 22x 4(y -) 1 2x 4(z 一) 12.2 2z

3、0 y 0y z 1(0 y 1)x 03. H : x22 x C:zy2 1012 見(jiàn)課件13.提示：從第一條直線上的點(diǎn) 1, 1,0到第二2 24. 5x 3y綜合練習(xí)題五1.C C A D C2.1.1923提示：先證明ABB、AAlB是ABABBAAB與再證條直線上任意點(diǎn) 2 t, 1 2t,1 t的距離為d,取d的最小值即為兩條平行直線之間的距離14.直線方程為x33 y 12第六章多元函數(shù)微分學(xué)6.1多元函數(shù)的基本概念A(yù)BBAAB與B夾角的方向相同.24. x1.( 1)x2 1y2 14x.(2)2y2xy2 15.1,y2 4; x2 z(3) x1 22y1,3J x2.

4、xy 2y26.提示:設(shè)所求平面方程為5y z 20,3. (1) D :定出2。所求出平面方程為D：20 y 7z 12 0.4.(1) 2 ;e；(3)1 . 5 .略7. xy z 250 31x8.26.2(1)拋物線y2x上所有點(diǎn)x9.xy3y2z 1 02z7.(2)單位圓上所有點(diǎn)x2z24y2：(y 1)2提示：lim 0 x2x y3 3y10.11.1y 12 ,A1.2.6.2偏導(dǎo)數(shù)2x; 1.z(1)xuuu1,1,x(1,1,1)y(1,1,1)z(1,1,1)0；y2(1 xy)y1;z3.xf (x) y x ;z(3) 一xf (x) y x .3.4.1.(1x

5、y)y ln(1 xy)1 xy2yfi xexyf2；(1)ZxxzxxzyyZzy(1) dz22a cos2(ax22b cos2(axby);by);zyz2abcos2(ax by);2x2：2一,(1 x )zyy2y ;2：2 ; (1 y )6.3全微分4xyf11 2y2exy f122?xy2x2exy f21xye2xy f22 exy(1 xy) f24xyfn2xy xye f225.略2z6. y x丄dxxyln(xy)dy;7.略xdz zy11dxyx2 dy y1. dz3.1.2.2(x2(12f6.5y2)exyf12xy)exy f2xg12 xyg2

6、2 g2隱函數(shù)的微分法z1dx z2y-dy .1zx . x .一 In dz ;y y2.1 yz f2f1 xy f2f1 xy f21 yz f2f 2yf )dx xfdyx f1 xz f2y f1 yz f21x3.dyu5.2. dz (3x22 2-dx dy. 4. dx56.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則4.略xz xzze xeycossin 2xx (2x 3y)3y22x (3y 2x)ex(1 x)J 2x);錯(cuò)1 n(3y 2x).x6.dydx6.61.切線方程x(6z 1) ;dz2y(3z 1) ; dxx3z 1多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用法平面方程:2.(1,1

7、, 1);(3,9, ；).97.長(zhǎng)、寬為2米，高為 米.8高等數(shù)學(xué)期中自測(cè)題3.切線方程:法平面方程:y 2z4.4y 6z215.5166.8多元函數(shù)極值及其求法1.(1)極小值:z(1,1)2.5.(2)極大值:f(0,0)10 .1、D 2、C3、D 4、A5、C二、填空題(每題3分，共15分)2 621 01、 2、3(x,y)| y 2x3、1 4、dxdyx 1 y 1z 15、1 23一、單項(xiàng)選擇題(每題 3分，共15分)三、計(jì)算題(共5小題，每題8分，共40 分)3.(81;)8R2h27兩直角邊長(zhǎng)均為:，最大周長(zhǎng)為(1 -.2)1綜合練習(xí)題六、DDCBAAC二、1. dU

8、yxy 1 (t)dtxyln x(t).1、解：兩平面平行 它們的法向量平行故，取所求平面的法向量為 n (3, 7,5)由點(diǎn)法式得所求平面方程為3(x 3) 7(y 0) 5(z 1) 02.2yxe fuue fuyx yxe fxu即：3x 7y 5z 4 03.(1) fx(0,0) fy(0,0)0;4.5.6.(2)不連續(xù)；(3)可微.x 1 y 2切線方程： 16 6法平面方程：16x 6yx 2z 7或 x 4y 6z切點(diǎn)212、解：線面垂直 直線的方向向量/平面的法向量故，取所求直線的方向向量為 S (2,1, 1)由點(diǎn)向式得所求直線方程為x 3 y 1 z 22 1 1”

9、 Z3、解：一x2xx2 2y r x1 r x1 r x2 2xrr x223rrrz 22 - y x 2y同理可得：2r2 2r y .2r2 2 r z23 ；23yrzr” z4、解：一X2y2In (3y2x)2y22x (3y 2x)222222222rrrrxryrz222333xyzrrr5、解:xyin(3y2x)3y2x2 (3y 2x)33rrr2,2 2 2 2 23r (x y z ) 3r r 2dz z dx z dy dt x dt y dtesint 2t3(cost 6t2)四、綜合題(共5小題，每題6分，共30分)1、證：設(shè)P(x, y)沿直線ykx趨于

10、點(diǎn)(0,0)，則有xm0f (x, y)y kxlimx 02 3k x3 , 3 3x k xk21 k3k值不同，極限不同，故函數(shù)在(0,0)點(diǎn)的極限不存在因此,f (x, y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).2、證：2.x2x2x2 2 ry zr3、解：令 F(x, y,z) x2 y2 z2 4z則 Fx2x, Fy2y, Fz 2z 4zFxx zFy yxFz2z，yFz 2 zd zxdxy dy2 z2 z4、解：設(shè)切點(diǎn)為M(x,y0,勺)曲面在該點(diǎn)的法向量為n (x,2y，1)“M由題意得：西紐1 1帶入曲面方程得：z0(x0,2y,1)111- x-,y2243162r2xr 1

11、1曲面在該點(diǎn)的法向量為 n 廠，12 2由點(diǎn)法式可得切平面方程為113門(mén)x小yz 一 022165、解：設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高，則總造價(jià) C 8(xy 2yz 2xz) xy9于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 x, y,z在條件xyz 限制下2使總造價(jià)最小.令 F 8(xy 2yz 2xz) xy(xyz 9)解方程組Fx 8y 16y yyz 0Fy8x 16z x xz 0Fz16y 16x xy 0 xyz9得惟一駐點(diǎn)：x y 2,z9由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的，因此，當(dāng)長(zhǎng)、9寬、為2m而高為 m時(shí)，造價(jià)最低.8第七章重積分1. (1)12; (2) 13.5;(3)3 ;(4) 62. (1

12、)打I2 ,(2)I1 I2 .3. (1)e2(e 1) I1ln(e1) e2(e 1)(2) 3ln2I 3ln5)7.1 二重積分的概念與性質(zhì)7.2二重積分的計(jì)算法1. (1)2(e1 11) ;(2) 2 ;(3) 2(32. (1)1 2dx f (x, y)dy0 2x(2)1dy0/ y f(x, y)dx3. (1)45;8(2) 20 ;314.25.4 414a4 6.-37. (1)1 10dy y f (x,y)d x;(2)40dy2f (x, y)d x ; y(3)1d y0y_ f (x, y)d x ;y(4)01dy1y f (x, y)d x1 10dy

13、 y f (x, y)d x(5)1d y0ey f (x,y)d x ;ey(6)1d y01 y2,f(x,y)dx;(7)01 dy12 “ f (x, y)d x4e)。2 y 4(8)10dy：dyy21y4f(x,y)dx ;y廠 f (x, y)d x9. (1) =e42e21L 2 1。31 3.3、，;(2)-(1 )；(3) 13 81e2。10.16。316(1 ) c3(2)64;(3)(5ln54)。12.(1)(1a2)；(2)144 3-a913.14.(1)a4(2)16 3a9 ；33515.(1)6；(2) 8 。7.3三重積分的概念和計(jì)算12 31.(1

14、)dx00dy 0 f (x, y, z)dz22x 6 3x 2ydx0 0dy 0 f (x, y, z)dz224d00dr2 f (r cos ,r sin , z)rdz212 r2 cos20ddr02 2 2 f(r cos ,r sin , z)rdz r2 r2 sin21292.(1)47 -；(2) 8 ； (3)；42116, 133.(1)；(2) 4 ； (3) 0 ； (4).5443254.O5. 一3?8& (1) m 18,(2) mz36,z 2 ,質(zhì)心 G(0,0,2)(3)匚 36。綜合練習(xí)題七一、填空題2上、1511. f (0) ； 2.；3.4.

15、 1；5.3236. f(1,1,1) f(1,1,0) f(1,0,1) f (1,0,0)f(0,1,1) f (0,1,0)f(0,0,1) f(0,0,0)；6.7. 2、選擇題1. （C ）； 2.（ C）; 3.（ A ）； 4.（ A ）； 5.（ B ）；6.（C）; 7. （ B）（注：該題目需用球面坐標(biāo)計(jì)算，可不要求學(xué)生計(jì)算）；& （ B）.三.計(jì)算題；ln2o16123 1 -1. 1 (ea 1) ； 2.3e 1 e2 ；28 233.- 2sin 2 sin1 cos2 cos1；21.S16R2 2.8i3 3164343.9a (3 4)4.1516325.39

16、6.m2 2 x(b a )，mx (b3 a3),48-b2ab a27.4重積分應(yīng)用舉例X2(b a)5.證：f(x) f(y)f(y) f(x)2,f(x)2d(b a)Df(y)32504 _6.；7.8. abc ；235第八章曲線積分與曲面積分8.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1.(1)2 R3；(2) 2ReR4.80；252.;3. 4; 4.2 a ;3232 35.2a ;6. a37.38. 9. 9.22 a 10. 188.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分17 3 21. 2.a 3. 0； 4. a15 25. 4a3 6. 27.LyP(x,y) (1 x)Q(x,y)ds8.Rx dx

17、(或Rdy)L y L8.3格林公式曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件第九章無(wú)窮級(jí)數(shù)9.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)11、 收斂，s發(fā)散 收斂s 128收斂s(5)發(fā)散(6)發(fā)散172、 (1)收斂(2)發(fā)散(3)發(fā)散(4)發(fā)散(5)發(fā)散(6)發(fā)散9.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1、 發(fā)散收斂收斂收斂2、 收斂收斂收斂3、 (1)收斂(2)收斂4、 (1)收斂(2)收斂(3)收 斂(4)發(fā)散(5)發(fā)散(6)發(fā)散5、 (1)條件收斂(2)絕對(duì)收斂(3)發(fā)散(6)12. -a4 3. 4(e2 2 51) 4.46239.3幕級(jí)數(shù)85.3&提示:y6.0 7. u(x, y) arctan x12 x 3 xf (x

18、) -e e51、 (1) 1,1 ,(2) 2,2 ,(3) ,(4) 1,12、 匕(1 x 1)綜合練習(xí)題八一、 填空題1. 2；2. 14二、 選擇題 1. D ; 2. D三、 計(jì)算題1 3 21. a ; 2. 2a ; 3.20 ；8(2)- arctan x(1x1)ln(1 x),1,x 1,0) (0,1) S(x)x0 x 01 1 x1,21In,(1 x 1); “一2 1 x2 2 、219.4函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)3 a34.4、一 2 ；5.R2;6.環(huán)繞原點(diǎn)：0;不環(huán)繞原點(diǎn)： 2四、 綜合題 a 1五、 證明題略1、( 1) ln a ( 1)n (上)：x a,a

19、n 1 n a(2)2n 11)nX九、unarctann arctan(n 1), s 2(3)n1)(2X)2n2(2 n)!十、R11 1：22(4)n n1) X2 n(n,x1)(1,1(5)3n1)n 1 2*2、132(X1)3、4、4.(2n)!2n!3n12* 1n(X 3)3n31T(Xn 2 2n(0,6)4)n (6,綜合練習(xí)題九1錯(cuò)2對(duì)3錯(cuò)4對(duì)1. 32.43.2(0,6)5.0 n!6.1,0,2)三、CCBC C BC CC2)收斂四、略五、略六提示：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件, 3 13 19七、a 一，b , s2 4 4八、 提示：利用級(jí)數(shù)收斂的定義和必要條件十

20、二、n(1)心 2)n 04十三、(,)；S(x)(2x2X21)e ；十四、(3 11 ,一）；十五R 4 ；十六、R b4 4十七、f(x)X(2n 1)!x2n1(1x1)n 1 (2n)!十八、Jn 1f (X)n 2 2n12cos2x 11Xn 0(2n)!2 (0,)高等數(shù)學(xué)模擬試題（一）一、 選擇題1、B;二、 填空題（共2、（共15分D; 3、15分三.解答題分）1、解:R3；3、0 ；（本題共5小題,每小題3分）C; 4、A; 5、B每小題3分）154、2每小題；5、0,6）；8分，共40y d xd y2dx0 x ye dy2 ”(e vj2 eXdxe2 10 x 1

21、2、 解：積分區(qū)域D為： 2x y 1i #I 0dy yf(x,y)dx22cos 233、解：I 0d 0r dr 0zdz84、解：c L1 L2,其中L1 : x 0, y : 0 1 ；六.（本題6分）解：曲面的方程為：z 1 3x 2y，它在xoyL2: xcost, yc(xy)2dssint,t :02L(x y)2dsL(x y)2ds1 22-0y dy 0(costsin t)2dt坐標(biāo)面上的投影區(qū)域 D為：x2 y21S d J1 z2云dxdy d J14d xd y14七.(本題6分)2 2 3解：P(x,y) 3x y , Q(x, y) 2x y,6x2y由曲線

22、積分與路徑無(wú)關(guān)得:2原式 0 1 2ydy4L2xydxx2dy10(2xx2 2x)d x八.（本題6分）解：f (x)四.（本題6分)1 161 (；x)解:u limnn 1Unn!limn (n 1)!因?yàn)?1，所以原級(jí)數(shù)收斂五.(本題6分)x 0,y0 x y 1(1 x y)dD1 1 x0dx 0 (1 x y)dy16解：D :V1 11 （ 1）n（）n 6n 06高等數(shù)學(xué)模擬試題（二）一、 選擇題（每題 3分，共15分）1、D; 2、B; 3、C; 4、B5、A二、 填空題（每題 3分，共15分）2 -1、 S a1； 2、一 （52 1） ； 3、1 ； 4、0 ；35、 1x3 ；三、 解答題（本題共5小題，每小題8分，共40分）0 x21、解：區(qū)域D為： 2分0 y 2 xP x2, Q y2在D上連續(xù) .4分y x由格林公式有，原式D(y2 x2)dxdy .5 分(3x 2y)dxdyD2 2 x0 dx 0 (3x2y)dy .4 分3d.7 分3x(2x) (2x)2dx.6分4a2：(x2 x 2)dx2030 x 12、解：由二次積分知 D為： 23分0 y x將區(qū)域D表示成Y型區(qū)域?yàn)?5