切線長定理弦切角定理切割線定理相交弦定理

1、相交弦定 a相交弦定 理的推論切割線定 a切割線定 理推論圓騫定理連結(jié) AC、 BD, 證： AP6 DPB.用相交弦定理.連結(jié)TA、TB , 證： PTB APAT過P作PT切。0于T,用 兩次切割線定理（記憶的方法方法） 延長PO交。0于M,延 長0P交。0于N,用相交 弦定理證；過P作切線用r為。0的半徑切割線定理勾股定理證切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo).切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。（PA長）.切線長定理對于切

2、線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角 互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。.弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線AB切。0于P, PG PD為弦,圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。.弄清和圓有關(guān)的角： 圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的

3、性質(zhì)定理及切線長定理。.與圓有關(guān)的比例線段定理 圖形已知結(jié)論證法中，AR CD為弦，交 PA- PB= PC- PD.于P.00 中，AB為直徑，CDLAB PC2=PA- PB.于P.| （特殊情況）00中，PT切。0于T, PT2 = PA- PB割線PB交。0于APB PD為。0 的兩條害U線，PA- PB= PC- PD交。0于A、COO 中，割線 PB交。0 于 PC PD = r2A, CD為弦OP2PA- PB= 0P-r28.圓哥定理：過一定點(diǎn)P向。0作任一直線，交。于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積 為常數(shù)|。尸2-胃1 （R為圓半徑），因?yàn)镺F? R?叫做點(diǎn)對于。o的

4、哥，所以將上述定理統(tǒng)稱為 圓哥定理?！镜湫屠}】例1.如圖1,正方形ABCD勺邊長為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓0,過A作半圓切線，切點(diǎn)為F,交CD于E,求DE AE的值。圖1解：由切線長定理知： AF= AB= 1, EF= CE設(shè)CE為x,在RtADE中，由勾股定理1315）5 = 1- - = - AS=l + - = -4 44 4例2.。0中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE= 6cm,BE= 2cm,CD=7cm那么CE=cm。圖2解：由相交弦定理，得AE- BE= CE- DE. AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm, 白豆二 DD CE =1-CS,6X2=

5、即唐+=.CE= 3cm或 CE= 4cm=故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 :月爐=。解：./P=/P/ PAC= / B, . .PA6 APBA AB _ FB 而二四 , ?AB2 _ PT又PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得_ P卷游PB* PC 無, ?日 A AC2 = PS. PC即,故應(yīng)填PC點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4.如圖3, P是。0外一點(diǎn)，PC切。0于點(diǎn)C, PAB是。0的割線，交。0于A、B兩點(diǎn)，如果PA:PB= 1 ： 4, PC=

6、12cm, 00的半徑為10cm,則圓心 O到AB的距離是 cm。圖3解：.PC是。0的切線，PAB是。0的割線，且 PA: PB= 1 : 4.PB= 4PA又PC= 12cmPC飛 一* pe由切割線定理，得一 f尸.平:山日. 丹/=克，頊=哈.PB= 4X6= 24 (cm).AB= 24-6= 18 (cm)設(shè)圓心O到AB距離為d cm,由勾股定理，得故應(yīng)填M。例5.如圖4, AB為。0的直徑，過 B點(diǎn)作。0的切線BC, OC交。0于點(diǎn)E, AE的延長線交 BC于點(diǎn)D, （1）求證：；（2）若AB= BC= 2厘米，求CE CD的長。圖4點(diǎn)悟:要證即要證 CES ACBE證明：（1）

7、連結(jié)BE如矍砌線乙船人如為直徑J AB = 2 05 = 1“、3c = 2二:OC V4 -M =君 OS = .今CE =君一1。 -）/君-T=2CD=y口 = 0-局厘米。點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6.如圖5, AB為。0的直徑，弦 CD AB AE切。0于A,交CD的延長線于 E。 圖5求證：二/一二證明：連結(jié)BD,.AE切。0 于 A，/ EAD= /ABD . AE! AB,又 AB/ CD .AE! CD.AB為。0的直徑ADB= 90E= Z ADB= 90.AD曰 ABADAD DE 一一匚 .AD2 = AB* DE. CD/

8、 AB.AD= BC,- J 例7.如圖6, PA PC切。0于A、C, PDB為害U線。求證：AD- BC= CD-AB圖6空里點(diǎn)悟：由結(jié)論 AD- BC= CD-AB得翡。品，顯然要證 PAD PBA和PC8 PBC證明：.PA切。于A,./ PAD= Z PBA又 / APD= / BPA.PAD APBA. XB - HF同理可證 PCmAPBCPA PC分別切。0于A、CPA= PCQ _ CDXB - 3C.AD- BG= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/A= 90 ,以 AB邊為直徑作。0,交余邊 BC于點(diǎn)D,過D點(diǎn) 作。0的切線交AC于E。圖7求證：BC=

9、20E點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證 0E是 ABC的中位線。而 0A= 0B只須證 AE= CE證明：連結(jié)0D.ACL AB, AB 為直徑AC為。0的切線，又 DE切。0于D.EA= ED, 0DL DE1- 0B= 0DB= Z 0DB在 RtABC中，Z C= 90 -ZB/ 0DE 90./ C= Z EDC.ED= EC.AE= EC.0E是ABC的中位線.BC= 20En例9.如圖8,在正方形 ABCD中,AB= 1 ,C是以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)En是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn) E與點(diǎn)A、D不重合），過E作且O所在圓的切線，交邊 DC于點(diǎn)F, G 為切點(diǎn)。當(dāng)/DEF=

10、 45時(shí)，求證點(diǎn) G為線段EF的中點(diǎn)；圖8解：由/DEF= 45 ,得且二如-幼=45。./ DFE= /DEF.DE= DF又AD= DC.AE= FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，ADL AB,所以 AD切圓B于點(diǎn)A;同理，CD切圓B于點(diǎn)C=又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題 TOC o 1-5 h z .已知：PA PB切。0于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB= 8,弦AB的弦心距3,則PA=（）2025A. 5B.3C. 5D. 8.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A,平行四邊形B.矩形C.菱形D.

11、梯形 TOC o 1-5 h z .已知：如圖1直線MN。相切于C, AB為直徑，/ CAB= 40 ,則/ MCA的度數(shù)（）圖1A.50 B.40C. 60D.55 .圓內(nèi)兩弦相交，一弦長 8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1: 4,則另一弦長為（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm.在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD= 2J%僧，BD= 3cm, DC= 4cm,如果E是AD的延長線與 ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么 DE長等于（）A.2痘的B.3岳牌C.D.入反 燃. PT切。0于T, CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線 PD交。0于B和A, B在線段PD上，若C =2,

12、 AD= 3, BD= 4,貝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5 D.橐石二、填空題. AB 、CD是。0切線，AB/ CD EF是。0的切線，它和 AB CD分別交于 E F,則/ EOF 度。.已知：00和不在。0上的一點(diǎn) P,過P的直線交。0于A、B兩點(diǎn)，若 PA- PB= 24, OP= 5, 則。0的半徑長為。.若PA為。0的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交。0于B、C,若BC= 20,以=1。6,則PC的 長為。.正4ABC內(nèi)接于。O,MN分別為ARAC中點(diǎn)，延長MN交。0于點(diǎn)D,連結(jié)BD交AC于P,PC _則產(chǎn)j。三、解答題.如圖2, 4ABC中，AC= 2cm,周長為8c

13、m, F、K、N是 ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)， DE切。0于點(diǎn) M 且 DE/ AC 求 DE的長。圖2.如圖3,已知P為。0的直徑AB延長線上一點(diǎn)，PC切。0于C,CDLAB于D,求證：CB平分ZDCP圖3.如圖4,已知AD為。0的直徑，AB是。0的切線，過 B的割線BMN AD的延長線于 C,且BM= MN= NC若Ak酒，求。o的半徑。圖4【試題答案】一、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空題7. 908. 19. 3010.z三、解答題：.由切線長定理得 BDE周長為4,由4BD曰 BAC彳導(dǎo) DE= 1cm.證明：連結(jié)AC則ACL CB. CDLAR .AC