高中數(shù)學(xué)必修二 7.3復(fù)數(shù)的三角表示

1、7.3*復(fù)數(shù)的三角表示一二三一、復(fù)數(shù)的三角表示式1.思考(1)復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量是如何一一對(duì)應(yīng)的?提示根據(jù)復(fù)平面的建立原則,復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對(duì)應(yīng)的,與平面向量 =(a,b)也是一一對(duì)應(yīng)的.(2)若角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸非負(fù)半軸上,已知終邊上一點(diǎn)P(x,y),如何表示角的三角函數(shù)?(3)終邊相同的角有什么關(guān)系?提示終邊相同的角相差2的整數(shù)倍.一二三2.填空(1)一般地,任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cos +isin )的形式.其中,r是復(fù)數(shù)z的模;是以x軸的非負(fù)半軸為始邊,向量 所在射線(射線OZ)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=

2、a+bi的輻角.r(cos +isin )叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式,簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái),a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.(2)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值,且這些值相差 2的整數(shù)倍.我們規(guī)定在02范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的(3)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.一二三3.做一做(1)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“”,錯(cuò)誤的打“”.復(fù)數(shù)0的輻角一定是0.()一個(gè)給定的復(fù)數(shù),其輻角也是唯一確定的.()復(fù)數(shù)i的輻角可以為- .()答案:(2)將下列復(fù)數(shù)表示為三角形式-5i-102-2i一二三二、復(fù)數(shù)三角形式乘法法則與幾

3、何意義1.思考兩個(gè)角1,2的和的正弦、余弦公式是什么?提示cos(1+2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2,sin(1+2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2.一二三2.填空(1)已知z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),則z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).這就是說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.(2)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義一二三3.做一做 一二三三、復(fù)數(shù)三角形式除法法則與幾何意義1.思考一二三一二三3.做一做 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)的三角形式例1將下列復(fù)數(shù)

4、表示成三角形式.(1)5i(2)8(3)-3-3i(4)-1+ i分析先確定模長(zhǎng)及輻角主值,再寫(xiě)成三角形式. 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi化為復(fù)數(shù)三角形式的一般步驟是:寫(xiě)出復(fù)數(shù)的三角形式.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練1將下列復(fù)數(shù)中代數(shù)形式的表示成三角形式,三角形式的表示成代數(shù)形式.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算例2計(jì)算下列各式分析利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則計(jì)算即可. 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練反思感悟 兩

5、個(gè)復(fù)數(shù)三角形式乘法的法則可簡(jiǎn)記為:模數(shù)相乘,輻角相加,并且可以作以下推廣:(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立.即z1z2zn=r1(cos 1+isin 1)r2(cos 2+isin 2)rn(cos n+isin n)=r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n).(2)當(dāng)z1=z2=zn=z時(shí),即r1=r2=rn=r,1=2=n=,有zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練2計(jì)算下列各式 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算例3計(jì)算下

6、列各式反思感悟 進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算時(shí),將模對(duì)應(yīng)相除當(dāng)模,用被除數(shù)輻角減去除數(shù)的輻角當(dāng)做商的輻角,即可得兩個(gè)復(fù)數(shù)的除法結(jié)果.探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練變式訓(xùn)練3計(jì)算下列各式 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練數(shù)形結(jié)合思想求復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)及輻角范圍典例若zC,|z-2|1,求|z|的最大、最小值和arg z范圍.分析結(jié)合條件及特點(diǎn),本題可用數(shù)形結(jié)合思想求解. 探究一探究二探究三思維辨析隨堂演練解:由|z-2|1,知z的軌跡為復(fù)平面上以(2,0)為圓心,1為半徑的圓面(包括圓周),|z|表示圓面上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.顯然1|z|3,|z|max=3,|z|min=1,另設(shè)圓的兩條切線為OA,OB,A,B為切點(diǎn),由|CA|=1,|OC|=2知AOC=BOC= ,說(shuō)明:本題在求解|z|的最大、最小值時(shí),也可用代數(shù)形式,如下:設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則由|z-2|1得(x-2)2+y21,x2+y24x-3.(x-2)2+y21,(x-2)