代數(shù)考前輔導(dǎo)

1、代數(shù)考前輔導(dǎo)課件第1頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 結(jié)論：對(duì)角形行列式的值，等于主對(duì)角線上各元素的乘積。 結(jié)論：下三角形行列式的值也等于主對(duì)角線上各元素的乘積。 結(jié)論：上三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積。3、行列式的性質(zhì) 性質(zhì)1 行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。 性質(zhì)2 對(duì)換行列式的兩行（列）的位置后，行列式變號(hào)。 推論：如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式等于零。第2頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日性質(zhì)3 將行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘這個(gè)行列式。推論：如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則

2、行列式等于零。性質(zhì)4 如果行列式D中某一行（列）的每個(gè)元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式D1與D2之和。其中D1的該行（列）元素為兩個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)，其余各行（列）的元素與D相同；D2的該行（列）元素為兩個(gè)數(shù)中的第二個(gè)數(shù)，其余各行（列）的元素也與D相同。第3頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日性質(zhì)5 將行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)k之后,加到另一行(列)對(duì)應(yīng)位置的元素上去,行列式的值不變.4、行列式按行（列）展開 余子式和代數(shù)余子式的定義，計(jì)算定理1.3 n階行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。 這個(gè)定理叫做行列式按行（

3、列）展開法則，利用這個(gè)法則并結(jié)合行列式的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。 第4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 例 計(jì)算行列式 解 第5頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日5、克萊姆法則 定理1.5(克萊姆法則) 如果n元線性方程組的系數(shù)行列式D0,則方程組有唯一解其中 是將系數(shù)行列式D中的第j列元素 換成常數(shù)項(xiàng) 后所構(gòu)成的行列式. 注意: 用定理1.5求線性方程組的解時(shí),必須滿足條件D0.即只有當(dāng)D0時(shí)才能用克萊姆法則求方程的解. 定理1.6 齊次線性方程組僅有零解的必要充分條件是它的系數(shù)行列式D0。 定理1.7 齊次線性方程組存在非零解的必要充分

4、條件是它的系數(shù)行列式D=0。第6頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 例 判定齊次線性方程組僅有零解。 解 因?yàn)辇R次線性方程組的系數(shù)行列式故由定理1.6知，所給齊次線性方程組僅有零解。第7頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日第2章 矩陣1、矩陣的概念定義，表示線性方程組，矩陣相等，方陣2、矩陣的運(yùn)算相加，數(shù)乘，矩陣相乘，矩陣的轉(zhuǎn)置3、幾種特殊的方陣單位方陣，數(shù)量方陣，對(duì)角方陣，三角方陣4、逆方陣定義：對(duì)于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得 AB=BA=E則稱B是A的逆運(yùn)算（簡(jiǎn)稱A的逆），記為 ，并稱A是可逆的。第8頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20

5、日，13點(diǎn)33分，星期日 非奇異方陣：如果n階方陣A的行列式不等于零，即有則稱A為非奇異方陣，或稱A為非奇異的。 推論：如果對(duì)于n階方陣A，存在同階方陣B，使得AB=E（或BA=E），則B就是A的逆。 例 設(shè)A為三階方陣，且 ，則 第9頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日5、矩陣的初等變換 定義：對(duì)矩陣施以下列任一種變換，均稱為對(duì)矩陣作初等變換：（1）互換矩陣A的第i、第j兩行（列），稱為對(duì)矩陣A施以第一種初等行（列）變換；（2）用一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣A的第i行（列），稱為對(duì)A施以第二種初等行（列）變換；（3）把矩陣A的第j行（i列）的l倍加到第i行（j列）上，稱為對(duì)A施

6、以第三種初等行（列）變換。第10頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 定理2.3 對(duì)矩陣 以若干次初等變換(包括行變換和列變換),總可以將A化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣D,其中即它的左上角是個(gè)r階單位方陣,其余的元素都是零(r最少可以是零,最多可以是n與m中的較小者). 推論： 如果A為n階可逆方陣，則A可化成n階單位方陣。第11頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日用初等變換求 方法：第一步：將A,E這兩個(gè)n階方陣湊在一起，作成一個(gè)n2n矩陣 ; 第二步：對(duì) 作初等變換，目的是將A變成單位方陣E，右邊就變成 了。解矩陣方程 AX=B,其中A是n階可逆方陣，X是nm

7、矩陣，B是nm矩陣，此時(shí)有 . 用初等變換求 的方法：第一步：將A,B兩個(gè)矩陣合并在一起，作成一個(gè)n（n+m）矩陣 ; 第二步：對(duì) 初等行變換，目的是將A變成單位方陣E；當(dāng)A變成E時(shí),右邊的B就變成 了。 第12頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日例 已知三階方陣 （1）判斷三階方陣A是否可逆？（2）若三階方陣A 可逆，則利用矩陣變換法求其逆矩陣。解 （1）因?yàn)樗苑疥嘇可逆。第13頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日（2）因?yàn)樗缘?4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日第3章 n維向量1、向量的概念定義：n個(gè)有順序的數(shù) 所組

8、成的數(shù)組 稱為一個(gè)n維向量，記為 其中 叫做向量 的第1個(gè)，第2個(gè)，第n個(gè)分量（或坐標(biāo)）。 向量相等，零向量，負(fù)向量2、向量的運(yùn)算向量的加法，數(shù)乘第15頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日3、向量的線性關(guān)系定義1： 設(shè) 都是n維向量。如果存在一組數(shù) ，使得關(guān)系式 成立，則稱向量 是向量組 的線性組合，并稱向量 可由向量組 線性表示（或線性表出）。定義2：對(duì)于給定的n維向量組 ，如果存在一組不全為零的數(shù) ，使得關(guān)系式 成立，則稱向量組 線性相關(guān)。 如果僅當(dāng) 時(shí)，關(guān)系式（3.5）式才成立，則稱向量組 線性無(wú)關(guān)。 第16頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日

9、 例 設(shè)n維向量 線性無(wú)關(guān)，證明 線性無(wú)關(guān)。 證 設(shè)有一組數(shù) ，使得關(guān)系式成立，即有成立，由已知 線性無(wú)關(guān)，所以僅當(dāng)（1）式中 的系數(shù)為零時(shí)才能使（1）式成立，即僅當(dāng) 時(shí)，關(guān)系式（1）才能成立。第17頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日而方程組（2）的系數(shù)行列式 由定理1.6知方程組（2）僅有零解： ，也就是說(shuō)，僅當(dāng) 時(shí)才有關(guān)系式成立，所以 線性無(wú)關(guān)。 例 證明：向量組 線性相關(guān)。 證 設(shè)一組數(shù) ，使得關(guān)系式第18頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日成立，即有成立，所以有成立，由于方程組（2）的系數(shù)行列式 故由定理1.7知方程組（2）有非零解，這就是

10、說(shuō)，存在一組不全為零的數(shù) 使得關(guān)系式（1）式成立，由定義知 線性相關(guān)。 第19頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日小結(jié)：證明一個(gè)向量線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的基本的方法是：先設(shè)一組數(shù) 使得關(guān)系式 成立，再應(yīng)用向量的運(yùn)算和相等的定義找出一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的齊次線性方程組，最后應(yīng)用定理1.7和定量1.6來(lái)判定方程組有非零解還是僅有零解，如果有非零解，則線性相關(guān)，如果僅有零解，則線性無(wú)關(guān)。定理3.3 如果向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。注意：這個(gè)定理的逆定理不成立，即：整體相關(guān)，部分不一定相關(guān)。推論： 線性無(wú)關(guān)的向量組的任何部分組也是線性無(wú)關(guān)的。（推論可以簡(jiǎn)述為：整體

11、無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān)。）第20頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日極大無(wú)關(guān)組的概念極大無(wú)關(guān)組的求法：將所給的行向量組 寫成一個(gè)s行的矩陣，對(duì)這個(gè)矩陣作初等變換將它化為階梯形，由階梯形矩陣中找出哪幾行是非零的向量，則這幾行所對(duì)應(yīng)的向量組就是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。定義：向量組 的極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩，記為 求一個(gè)向量組的秩的方法很簡(jiǎn)單，只要用上面的求極大無(wú)關(guān)組的方法，將矩陣化為階梯形，數(shù)一下非零向量的個(gè)數(shù)即可。第21頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日定義：矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩；矩陣A的列向量組的秩，稱為A的列秩。 矩陣的行

12、秩等于列秩。定義:矩陣A的行秩與列秩,統(tǒng)稱為矩陣A的秩,記 . 第4章 線性方程組1、線性方程組解的判定定理定理4.1 線性方程組(4.1)有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩，等于其增廣矩陣的秩，即定理4.1給出了判定線性方程組(4.1)有解或無(wú)解的方法：（1）當(dāng) 時(shí)，線性方程組(4.1)有唯一解；（2）當(dāng) 時(shí)，線性方程組(4.1)有無(wú)窮多組解；（3）當(dāng) 時(shí)，線性方程組(4.1)無(wú)解。第22頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日定理4.2 齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是 ，齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是 。2、消元解法3、線性方程組解的結(jié)構(gòu)解向量的性質(zhì),

13、 基礎(chǔ)解系定理4.3 如果齊次線性方程組（4.2）的系數(shù)矩陣A的秩 ，則齊次線性方程組必定存在基礎(chǔ)解系，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中所含的解向量的個(gè)數(shù)為nr個(gè)。第23頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日求齊次線性方程組（4.2）的基礎(chǔ)解系和全部解的方法：第一步：對(duì)齊次線性方程組（4.2）的系數(shù)矩陣A施以初等行變換，將其左上角化為r階單位方陣，即（4.7）式；第二步：按（4.8）式寫出nr個(gè)解向量 ，就是齊次線性方程組（4.2）的一個(gè)基礎(chǔ)解系；第三步：按（4.9）寫出方程組（4.2）的全部解。定理4.4 如果 是非齊次線性方程組的一個(gè)解(特解)， 是其導(dǎo)出組的全部解，則非齊次線性方程組

14、的全部解為第24頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 由定理4.4可知求非齊次線性方程組 的全部解的方法：第一步：求出其導(dǎo)出組 的基礎(chǔ)解系 與 的一個(gè)特解 ； 實(shí)際求解時(shí)，只需要對(duì)增廣矩陣做初等行變換先化為階梯形，再回代即可。第二步：將特解 與 的全部解 相加就得到 的全部解，即 第25頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日 例 求非齊次線性方程組的全部解。 解 第26頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日所以 ，方程組有解，基礎(chǔ)解系中含有nr=4-2=2個(gè)解向量： 一個(gè)特解：故方程組的全部解為：第27頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月

15、20日，13點(diǎn)33分，星期日第5章 特征值與特征向量 特征方陣、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、特征向量 對(duì)于一個(gè)n階方陣A，因?yàn)锳的特征值有n個(gè)，對(duì)于每個(gè)特征值均有相應(yīng)的特征向量。 如果方陣 的秩等于 ，則齊次方程組 必定存在基礎(chǔ)解系，且恰有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量（由定理4.3）。每一個(gè)解向量都是A的屬于 的特征向量，并且它們的線性組合是A的屬于 的特征向量（全部特征向量）。第28頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日例 設(shè)求A的特征值和特征向量。解 其特征方程為故A的特征值為： 。第29頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)33分，星期日（1）求對(duì)應(yīng) 的特征向量，有因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩等于2，所以基礎(chǔ)解系中應(yīng)含有一個(gè)解向量：對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為第30頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月2