對數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)有關(guān)的問題

1、對數(shù)函數(shù)中與二次函數(shù)有關(guān)的問題教學(xué)目的：通過一些例題的講解,對對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象及二次函數(shù)的一些問題進展復(fù)習(xí)，使學(xué)生加深對函數(shù)的認(rèn)識,可以對一些有難度的題進展分析。教學(xué)難點：復(fù)合函數(shù)中定義域及值域的求解。換元后新變量的定義域確實定。教學(xué)過程：在前段時間中我們學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)和它們的一些性質(zhì),下面我們就先來復(fù)習(xí)一下有關(guān)知識(點擊性質(zhì),見幻燈片2)。下面我們來做兩道復(fù)習(xí)穩(wěn)固題。1.求的定義域。要求一個比擬復(fù)雜的函數(shù)的定義域，首先要看清這個復(fù)雜函數(shù)是由哪幾個簡單函數(shù)構(gòu)成的在此是三個以十為底的對數(shù)函數(shù)，所以我們只要考慮其真數(shù)局部要大于即可由此可列出三個不等式習(xí)慣上用大括號括起來，表示要同時滿足分析：x

2、0可以寫成lg1，而該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，由此可解出綜上所述x10。2.試比擬與的大校對于一般的比擬大小問題，我們可以通過函數(shù)的增減性來解決這道題目顯然也是通過此途徑來解決但是其給出的條件不是很明確，那么我們就只能先從對數(shù)函數(shù)本身的條件作為著手點解：由這個條件，可以知道這個函數(shù)是單調(diào)遞增的，即真數(shù)大的函數(shù)值就大請學(xué)生口述，屏幕顯示第三條可能不會考慮那么有：當(dāng)x-13即x4時，當(dāng)0 x-13即1x4時，當(dāng)x-1=3即x=4時，上面兩題主要是讓同學(xué)們在解決對數(shù)函數(shù)問題的時候，要看清起定義域，對于約束條件要寫完好同時要注意一些隱藏條件，細(xì)致分析問題對于一般的對數(shù)函數(shù)中有關(guān)定義域、值域以及單調(diào)性問題我

3、們可以比擬純熟的解決,但是我們在遇到的一些問題中往往對數(shù)函數(shù)不是單獨出現(xiàn)的,它總是和其他函數(shù)同時出現(xiàn),特別是二次函數(shù),那么如何來解決這類比擬復(fù)雜的問題呢?這就是我們這節(jié)課所要講的內(nèi)容。在講解例題之前我先強調(diào)一點,我們做任何題,不管是簡單的還是復(fù)雜的,關(guān)鍵的是抓住其根本性質(zhì),盡量把問題轉(zhuǎn)化到我們所熟悉的情況下進展解決。那么要把對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)結(jié)合起來,最常見的就是復(fù)合函數(shù)。下面就先來看這么一道題例1的單調(diào)遞增區(qū)間是。A.B.D.分析：由于以1/2為底的對數(shù)函數(shù)是一個單調(diào)減函數(shù)，所以要求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，也就是要求該二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。下面我們就把問題轉(zhuǎn)化為解決二次函數(shù)的問題。對于該二次

4、函數(shù)進展配方,我們可以很容易看出是一個開口向上的拋物線,那么其在x小于1/2時為單調(diào)遞減，x大于1/2時為單調(diào)遞增。那么該題是否到此為止了呢?其實在此對于上面的二次函數(shù)是有范圍的，也就是說即x-2或x1綜上所述，我們應(yīng)該選擇好,我們來看一個一般問題,對于類似與上面這題的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是怎樣的該二次函數(shù)圖象為一開口向上的拋物線。假設(shè)該拋物線與x軸有兩個交點假設(shè)該拋物線與x軸只有一個交點假設(shè)該拋物線與x軸沒有交點假設(shè)函數(shù)的值域為一實在數(shù),務(wù)實數(shù)的取值范圍。按照通常的做法，要使函數(shù)有意義，必須有：對一實在數(shù)x都成立，即其實當(dāng)時，可以看出可見值域并非為R，說明上述解答有誤。要使函數(shù)的值域為R,即要

5、真數(shù)取遍所有正數(shù),故二次函數(shù)的圖象與x軸有交點,所以,得或。故實數(shù)a的取值范圍為我們在考慮這類復(fù)合函數(shù)問題的時候,要仔細(xì)分析各函數(shù)的定義域和值域以及復(fù)合后的定義域和值域的變化。以上這兩題中的二次函數(shù)是作為對數(shù)函數(shù)的一局部出現(xiàn)的,有的時候會和、反過來,對數(shù)函數(shù)作為二次函數(shù)的一局部出現(xiàn),下面我們來看這么幾道題。假設(shè),且,求的最值。分析:既然是求的最值,先對其整理,可得:而。這道題比擬簡單,但要注意對數(shù)的計算,在最后是通過配方求出最值的。假設(shè)有兩個小于1的正根,且，務(wù)實數(shù)的取值范圍。分析:既然是對數(shù)函數(shù),我們先不管后面的條件,該怎么做就怎么做,即先化簡函數(shù)方程。那么有由于形式有點復(fù)雜,我們可以作個代

6、換,在此,要注意,由于變量的代換,那么其定義域也會隨之改變,有:x1,那么t0下面由學(xué)生答復(fù)如何利用韋達(dá)定理列出一系列的不等式:在此題中,注意換元后,其變量的定義域的變化。假設(shè)恰有一個實根,務(wù)實數(shù)的取值范圍。分析:這個式子中出現(xiàn)的對數(shù)函數(shù)和前面的有所不同,但我們首先做的工作就是把它化簡,只是這里和前面有所不同。前面是把真數(shù)局部的乘除化開來,而在這里是把對數(shù)的加減合起來。先把它化簡我們可以得到:這時出現(xiàn)了同底對數(shù),但右邊前面有2,所以我們可以怎么樣?我想把這個2除到左邊去,一方面是為了提醒大家,左邊的真數(shù)局部2x是大于0的,另一個作用我們下面會有用。于是我們得到了:下面就是分析方程只有一個實數(shù)根

7、的問題假如在這里簡單就認(rèn)為把其平方得到一個二次函數(shù),再令即可的話,似乎總有點心有余悸,好象有問題。下面我介紹一種方法來詳細(xì)研究。我們可以把這個方程寫成兩個函數(shù)的形式:與要求方程有一個實根,也就是說,這兩個函數(shù)的圖形有且僅有一個交點。在下列圖上我們可以看出在三種情況下,兩個圖只有一個交點。于是我們可以列出式子:最后解得:在這里,我們充分利用了圖形來解決根的問題。備用題:為常數(shù),試分析方程的解的情況。小節(jié):第一組為復(fù)合函數(shù)中有關(guān)定義域、值域的問題。注意兩點：一是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題；另一個是整個函數(shù)的定義域的求解。第二組為含有對數(shù)函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)，通過換元可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進展解題。也注意兩點：一是對數(shù)運算的純熟運用；另一個是二