高等數(shù)學(xué)下考試題庫(附答案)

1、高等數(shù)學(xué)試卷1（下）一 .選擇題（ 3 分10）1.點(diǎn) M12,3,1到點(diǎn) M 2 2,7,4的距離 M1M 2（） .A.3B.4C.5D.62.向量 ai2 jk ,b2ij ，則有（） .A. a bB. a bC. a,b3D. a, b43.函數(shù) y2x2y 21的定義域是（） .x2y21A.x, y 1 x2y 22B.x, y 1 x 2y22C. x, y 1 x2y 22D x, y 1 x 2y224.兩個(gè)向量 a 與 b 垂直的充要條件是（）.A. a b 0B. ab 0C. a b 0D. a b 05.函數(shù) zx3y33xy的極小值是（） .A.2B.2C.1D.

2、16.設(shè) zxsin y ，則z（） .y 1,4A.2B.2C.2D.2227.若 p 級(jí)數(shù)1收斂，則（） .n 1 n pA. p 1B. p1C. p1D. p18.冪級(jí)數(shù)xn的收斂域?yàn)椋ǎ?.n 1 nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1xn9.冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（） .n 02A.1B.2C.2D.1xxxx121210.微分方程 xyy ln y0 的通解為（）.A.ycexB. yexC. ycxexD. yecx二 .填空題（ 4 分5）1.一平面過點(diǎn) A 0,0,3且垂直于直線AB ，其中點(diǎn) B 2, 1,1 ，則此平面方程為 _.2.函數(shù) z sin xy 的全微

3、分是 _.3.設(shè) zx3 y 23xy3xy 1 ，則2 z_.x y1的麥克勞林級(jí)數(shù)是 _.4.2x5.微分方程 y4 y4 y 0 的通解為 _.三 .計(jì)算題（ 5 分6）1.設(shè)zeu sin v ，而 u xy, v x y ，求z , z.x y2.已知隱函數(shù) zz x, y由方程 x 22 y2z24x2z5 0 確定，求z ,z .xy3.計(jì)算 sin x2y 2 d，其中 D:2x 2y242.D4.如圖，求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R 為半徑） .5.求微分方程y 3 y e2 x在 y x 00 條件下的特解.四 .應(yīng)用題（ 10 分2）1.要用鐵板做一個(gè)體

4、積為2 m3的有蓋長方體水箱，問長、 寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最省？12.曲線yf x 上任何一點(diǎn)的切線斜率等于自原點(diǎn)到該切點(diǎn)的連線斜率的2 倍，且曲線過點(diǎn)1,，3求此曲線方程.試卷 1 參考答案一 .選擇題 CBCAD ACCBD二 .填空題1. 2xy 2 z 6 0.2. cos xyydxxdy .3.6x 2 y9 y 21.4.1 nxn.n1n 025. y C1C2 x e 2 x.三 .計(jì)算題1.zexyy sin xycos x y ，zexy x sin x y cos x y .xy2.z2x ,z2 y.xz1yz122sind6 2 .3.d04. 16R

5、3.35. y e3 x e2x.四 .應(yīng)用題1.長、寬、高均為3 2m時(shí)，用料最省.2. y1 x2 .3高數(shù)試卷 2（下）一 .選擇題（ 3 分10）1.點(diǎn) M 1 4,3,1， M 27,1,2 的距離 M 1 M 2（） .A. 12B. 13C. 14D. 152.設(shè)兩平面方程分別為x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，則兩平面的夾角為（）.A.B.C.3D.6423.函數(shù) zarcsin x 2y 2的定義域?yàn)椋ǎ?.A.x, y 0 x 2y21B.x, y 0 x 2y21C. x, y 0 x 2y 2D. x, y 0 x 2y2224.點(diǎn) P1,2,1 到平面 x2

6、 y2z50 的距離為（）.A.3B.4C.5D.65.函數(shù) z2xy3x22 y 2 的極大值為（） .A.0B.1C.11D.26.設(shè) zx23xy y 2 ，則z1,2（） .xA.6B.7C.8D.97.若幾何級(jí)數(shù)ar n是收斂的，則（） .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18.冪級(jí)數(shù)n1 x n 的收斂域?yàn)椋ǎ?n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19.級(jí)數(shù)sin na是（） .n 1n4A. 條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定10.微分方程 xyy ln y0的通解為（）.A. yecxB.y cexC. yexD. y cxex二 .填空題（ 4 分5）x

7、3t1.直線 l 過點(diǎn) A 2,2,1 且與直線yt平行，則直線 l的方程為 _.z12t2.函數(shù) zexy 的全微分為 _.3.曲面 z2x 24 y 2 在點(diǎn) 2,1,4 處的切平面方程為 _.1的麥克勞林級(jí)數(shù)是 _.4.1 x25.微分方程 xdy3 ydx0 在 y x 1 1條件下的特解為 _.三 .計(jì)算題（ 5 分6）1.設(shè) a i2 jk , b 2 j 3k ，求 a b.2.設(shè) zu2 vuv2，而 ux cos y,vx sin y ，求z ,z .xy3.已知隱函數(shù) zz x, y由 x33xyz2 確定，求z ,z .xy4.如圖，求球面x 2y 2z24a 2 與圓柱

8、面 x 2y 22ax （ a0 ）所圍的幾何體的體積 .5.求微分方程y3y 2y 0 的通解.四 .應(yīng)用題（ 10 分2）1.試用二重積分計(jì)算由yx , y 2 x 和 x4 所圍圖形的面積 .2.如圖，以初速度v0將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋， 不計(jì)阻力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律xx t .d 2 xg .（提示：當(dāng) t 0dt 2時(shí)，有 x x0 ，dxv0 ）dt試卷 2 參考答案一 .選擇題 CBABA CCDBA.二 .填空題x 2y 2 z11.1122. exy ydx xdy .3. 8x8 y z4 .4. 1 n x2n.n 05. y x3.三 .計(jì)算題1. 8i3 j2k .2.z3x

9、2 sin ycos y cosy sin y ,z2x3 sin ycosy sin y cosy x 3 sin3 y cos3 y .xyzyzzxz3.xxy z2 ,yxy z2 .4.32 a32.3 2 35. y C1 e 2 x C2 e x.四 .應(yīng)用題161.31 gt 22. xv0t x0 .2高等數(shù)學(xué)試卷3（下）一、選擇題（本題共10 小題，每題3 分，共 30 分）1、二階行列式 2-3的值為（）45A 、10B、20C、 24D、222、設(shè) a=i 2j-k,b=2j 3k，則 a 與 b 的向量積為（）A 、i-j 2kB、8i-j 2kC、 8i-3j 2k

10、D、 8i-3i k3、點(diǎn) P（ -1、 -2、 1）到平面x 2y-2z-5=0 的距離為（）A 、2B、 3C、 4D、 54、函數(shù) z=xsiny 在點(diǎn)（ 1，）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為（）4A 、2 ,2,B、2 ,2C、22225、設(shè) x2 y 2 z2 =2Rx ，則z ,z 分別為（）xy22D 、22 ,2222A 、 x R ,yB 、x R ,yC、x R , yD、 x R , yzzzzzzzz6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R，面密度為x2y2 的薄板的質(zhì)量為（）（面積 A=R 2 ）2B、2212A、R A2R AC、3R AD、R A27、級(jí)數(shù)(1)n x n）n的收斂半徑為

11、（n 1A 、2B、1C、 1D、 328、 cosx 的麥克勞林級(jí)數(shù)為（）A 、( 1)nx 2nB、( 1)n x 2nC、( 1)n x 2 nD、( 1)nx2n 1( 2n)!(2n)!(2n)!( 2n 1)!n0n1n 0n 09、微分方程 (y) 4 (y) 5 y 2=0 的階數(shù)是（）A 、一階B 、二階C、三階D、四階10、微分方程 y 3y 2y=0的特征根為（）A 、-2， -1B、 2，1C、-2， 1D 、 1，-2二、填空題（本題共5 小題，每題4 分，共 20 分）1、直線 L1： x=y=z 與直線 L ： x1y3z的夾角為_。221直線 L 3： x 1y

12、 2z 與平面 3x 2y6z 0之間的夾角為 _ 。2122、（ 0.98） 2.03 的近似值為 _,sin100的近似值為 _。3、二重積分d , D : x 2y 21的值為 _。D4、冪級(jí)數(shù)nxnn! x 的收斂半徑為 _ ，的收斂半徑為 _。n0n 0 n!5、微分方程 y=xy 的一般解為 _，微分方程 xy y=y2 的解為 _。三、計(jì)算題（本題共6 小題，每小題5 分，共 30 分）1、用行列式解方程組-3x 2y-8z=172x-5y 3z=3x 7y-5z=22、求曲線 x=t,y=t 2,z=t3在點(diǎn)（ 1，1， 1）處的切線及法平面方程.3、計(jì)算xyd，其中 D由直線

13、 y1, x2及 yx圍成.D4、問級(jí)數(shù)( 1)nsin1 收斂嗎若收斂，則是條件收斂還是絕對收斂？n？n 15、將函數(shù)f(x)=e 3x展成麥克勞林級(jí)數(shù)6、用特征根法求 y 3y 2y=0的一般解四、應(yīng)用題（本題共2 小題，每題10 分，共 20 分）1、求表面積為a2而體積最大的長方體體積。2、放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減小，這種現(xiàn)象叫做衰變。 由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M 成正比，（已知比例系數(shù)為k）已知 t=0 時(shí)，鈾的含量為 M 0，求在衰變過程中鈾含量M （ t）隨時(shí)間t 變化的規(guī)律。參考答案一、選擇題1、D2

14、、C3、C4、A5、B6、D7、C8、 A9、B10,A二、填空題1、 ar cos2 , arcsin 82、 0.96， 0.1736518213、 4、0，x215、 yce 2, cx1y三、計(jì)算題1、-32-8解：=2-53=（-3） -5 3-2 23 （-8 ） 2 -5 =-13817-57-51-5172-8 x=3-53=17-53-233 （-8 ） 3 -5 =-13827 -57 -52 -52 7同理：-317 -8y=2 33=276, z= 41412 -5所以，方程組的解為 xx1, yy2, zz32、解：因?yàn)?x=t,y=t2,z=t3,所以 xt =1,

15、y t =2t,zt =3t 2，所以 xt | t=1 =1, y t | t=1 =2, zt | t=1 =3故切線方程為：x 1y 1z 1123法平面方程為： （ x-1 ） 2(y-1) 3(z-1)=0即 x 2y 3z=63、解：因?yàn)?D由直線 y=1,x=2,y=x圍成，所以D：1 y 2y x 22223xyd(2 yy )dy1 1故：yxydxdy1D1284、解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)閂nsin10，所以， Vn 1 Vn,且1，所以該級(jí)數(shù)為萊布尼茲 型級(jí)數(shù) ，故收斂 。nn1sin 11發(fā)散，從而1發(fā)散。當(dāng)x趨于 時(shí)，xx，n，又級(jí)數(shù)sin又所以n 15n1n1nn 1

16、n所以，原級(jí)數(shù)條件收斂 。ew1 x1 x 21 x31 x n、解：因?yàn)?!3!n!x(,)用 2x 代 x，得：e2 x1 (2 x)1 ( 2x) 21 (2x) 31 ( 2x) n2!3!n!122x223x32 nxn2x3!n!2!x (, )6、解：特征方程為r2 4r 4=0所以，（ r 2 ）2=0得重根 r1=r2=-2 ，其對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)解為y1=e-2x ,y2=xe-2x所以，方程的一般解為y=(c 1 c2x)e-2x四、應(yīng)用題1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為x， y， z則 2（xy yz zx ）=a2構(gòu)造輔助函數(shù)F（ x,y,z） =xyz ( 2xy 2

17、yz 2 zxa 2 )求其對 x,y,z 的偏導(dǎo)，并使之為0，得：yz 2 (y z)=0 xz 2 (x z)=0 xy 2 (x y)=0與 2(xy yz zx)-a 2=0 聯(lián)立，由于 x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy yz zx)-a2=0 得 x=y=z=6a6所以，表面積為2而體積最大的長方體的體積為6a3aV xyz362、解：據(jù)題意dMdtM其中0為常數(shù)初始條件 M t 0M 0對于 dMM式dtdMdtM兩端積分得 ln Mtln C所以，Mcet又因?yàn)?M t 0M 0所以，M0C所以，MM 0 e t由此可知 ，鈾的衰變規(guī)律為 ：鈾的含量隨時(shí)間的增

18、加 而按指數(shù)規(guī)律衰減 。高數(shù)試卷4（下）一選擇題： 3 10 30下列平面中過點(diǎn)（, ,1）的平面是（） （） （） （） 在空間直角坐標(biāo)系中，方程x2y22 表示（）圓（）圓域（）球面（）圓柱面二元函數(shù) z (1x) 2 (1 y )2的駐點(diǎn)是（）（ ,） （）（ ,）（）（ ,）（）（ ,）二重積分的積分區(qū)域是 1x 2y 24 ，則dxdyD（）（） 4（） 3（） 15交換積分次序后1x0 dx 0 f ( x, y) dy11111yx1（） 0 dyy f (x, y)d x（） 0 dy 0 f (x, y )dx（） 0 dy 0 f (x, y )dx（） 0 dy0 f (

19、 x, y)dx 階行列式中所有元素都是，其值是（）（）（）！（）對于元線性方程組，當(dāng)r(ArA)r時(shí) ,它有無窮多組解 ,則)(（）（）（）（）無法確定下列級(jí)數(shù)收斂的是（）( 1)n 1n（）3n（）(1)n 11n 12n（）n 1n 1n 1nn 1 n正項(xiàng)級(jí)數(shù)un 和vn 滿足關(guān)系式 unvn ，則n1n1（）若un 收斂，則vn 收斂（）若vn 收斂，則un 收斂n 1n 1n1n1（）若vn 發(fā)散，則un 發(fā)散（）若un 收斂，則vn 發(fā)散n 1n1n1n1已知：11xx2，則1的冪級(jí)數(shù)展開式為1x1 x2（） 1x2 x4（）1x2x4（） 1 x2x4（） 1 x2 x4二填空

20、題： 4 5 20數(shù) zx2y21 ln(2x2y2 ) 的定義域?yàn)槿?f (x, y)xy ，則 f ( y ,1)x已知 ( x0 , y0 ) 是 f (x, y) 的駐點(diǎn)，若 f xx (x0 , , y0 )3, f yy( x0 , y0 )12, f xy (x0 , y0 ) a 則當(dāng)時(shí)， ( x0, y0 ) 一定是極小點(diǎn)矩陣為三階方陣，則行列式3 AA級(jí)數(shù)un 收斂的必要條件是n 1三計(jì)算題 ( 一)：6530已知： zx y ，求：z， z xy計(jì)算二重積分4 x2 d ，其中 D ( x, y) | 0 y4 x2 ,0 x 2 D1212312 ，求未知矩陣 已知：

21、，其中 0，0121010求冪級(jí)數(shù)( 1)n 1x n的收斂區(qū)間n 1n求 f (x) e x的麥克勞林展開式（需指出收斂區(qū)間）四計(jì)算題 ( 二)：10220求平面 和 的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程x y z 1設(shè)方程組 xy z 1 ，試問：分別為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多組解x yz 1參考答案一；二 ( x, y) |1 x2y 22 y 6 a6 lim un 0 xn四1解：zyx y1zx y ln yxy24 x 22x322解：4 x2 d0 dx 04 x2 dy 0 (4 x2)dx4 xD3 01631271023解： B 1012,AB124.00115解： R1, 當(dāng)

22、|x| 1 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=1 時(shí)，得( 1)n 1收斂，n1n當(dāng) x1 時(shí)，得(1) 2n 11發(fā)散，所以收斂區(qū)間為(1,1 .nn 1 nn 1解： .因?yàn)?exx nx (,) ,所以 e x(x)n( 1)n0 n!n!x n x ( , ) .nn 0n 0 n!ijk四 1解： .求直線的方向向量 :s121i3jk ,求點(diǎn) :令 z=0,得 y=0,x=2, 即交點(diǎn)為 (2,0.0),所5211以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:. x2yz13511111111111111111101 1001102解： A1 111 1 10 112100(1 )(2) 1(1)當(dāng)2 時(shí) , r ( A)3,無解 ;2,(A)(2)當(dāng)1,2時(shí) ,r ( A)3 ,有唯一解 : xyz1(A)2;x1c1c2(3)當(dāng)1 時(shí) ,r ( A)1,有無窮多組解