北京市各區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)解答題分類-空間向量與立體幾何

1、2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期北京市各區(qū)高三期末數(shù)學(xué)解答題分類之空間向量與立體幾何（2022年海淀區(qū)期末第17題）如圖，已知長(zhǎng)方體中，.為中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn).（）求證：；（）求二面角的余弦值，并求點(diǎn)到平面的距離.（2022年西城區(qū)期末第16題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)在線段上，且.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值. （2022年西城區(qū)期末第16題）芻甍（ch mng）是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)中提到的一種幾何體.九章算術(shù)中有記載“下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣”，可翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.”如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于.（）求證：平面； （

2、）若，再?gòu)臈l件，條件，條件中選擇一個(gè)作為已知，使得芻甍存在，并求平面和平面夾角的余弦值條件：，； 條件：平面平面；條件：平面平面.（2022年?yáng)|城區(qū)期末第17題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（）若直線平面，求證：為的中點(diǎn)；（）若平面與平面夾角的余弦值為，求的值. （2022年豐臺(tái)區(qū)期末第17題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為棱的中點(diǎn)，.（）求證：平面；（）求平面與平面夾角的余弦值；（）求直線到平面的距離.（2022年房山區(qū)期末第17題）如圖，梯形，所在的平面互相垂直，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）判斷直線與平面是否相交，如果相交，求

3、出到交點(diǎn)的距離；如果不相交，求直線到平面的距離 （2022年石景山區(qū)期末第17題）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，側(cè)面為直角三角形，（）求證：；（）求證：；（）若，判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的大小為（2022年昌平區(qū)數(shù)學(xué)第17題）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，,平面，是的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)， .() 求證: 是的中點(diǎn);() 若為棱上一點(diǎn),且直線與平面所成的角的正弦值為，求的值. 2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期北京市各區(qū)高三期末數(shù)學(xué)解答題分類之空間向量與立體幾何答案與解析1、解：（）證法1：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 證法2：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面平面

4、，平面，所以平面， 因?yàn)槠矫?，平面平?，所以. （）因?yàn)?，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示： -5分則， 平面的法向量為， 設(shè)平面的法向量為，則，可得， 令，則，所以， 所以. 又因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以，二面角的余弦值為. 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則. 2、解：（）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)?，所以?所以.所以，所以.又因?yàn)椋云矫?（）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以?又因?yàn)槭蔷匦危詢蓛纱怪?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 即 令，則，.于是.因?yàn)槠矫?，取平面的法向量?則.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦

5、值是.3、解：（）證明：正方形中，平面，平面，所以平面 .5分 （）條件符合題意過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作且交于點(diǎn)，連接 因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?所以平面所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)槠矫?平面，平面平面，所以在四邊形中，所以，.在正方形中，所以 因?yàn)椋?，所?所以，,所以， ，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得令，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為由得令，所以設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面和平面夾角的余弦值為 4、解：（）如圖，連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)MO. APDCBMOAPDCBMO因?yàn)橹本€平面，又平面平面，APDCBMOxyzAPDCBMOxyz APDCBMOAPDCBM

6、O APDCBMOxyzAPDCBMOxyz平面，APDCBMO所以因?yàn)檎叫危?所以為的中點(diǎn) 所以為的中點(diǎn)（）因?yàn)榈酌鏋檎叫危矫?，所以AB，AD，AP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，可得， ，則設(shè)，則設(shè)為平面的法向量，則 即令，則，可得又，所以為平面的法向量，解得，所以.5、證明：（）因?yàn)槠矫嫫矫妫?平面平面，平面，所以平面. （）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，平面，所以，兩兩互相垂直如圖，建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，所以?，.因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 即令，則.于是.設(shè)平面與平面的夾角為，所以 即平面與平面夾角的余弦值為 （）由（）知，平面的法向量為，.因?yàn)?/p>

7、，且平面，所以平面.所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離.因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為，即直線到平面的距離為. 6、 （）證明：因?yàn)?，所?又， 所以平面 （）證明：因?yàn)槠矫?，所以?所以兩兩互相垂直. 如圖以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由,可知，, ， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即， 令則，所以， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即， 令則，所以，則 易知二面角為銳二面角所以二面角的余弦值為. （）由， 得因?yàn)樗耘c平面不平行，所以直線與平面相交.在四邊形中延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).點(diǎn)就是直線與平面的交點(diǎn)易知，所以. 7、解：（）因?yàn)樗睦忮F中， 所以， 因?yàn)椋?所以 （）因?yàn)椋裕?又因?yàn)椋裕?因?yàn)椋?所以 （）存在，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，理由如下：由（）可知，因?yàn)?，所以，又，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由得令，所以設(shè)（），則，所以，直線與平面所成角為，所以，解得，符合題意，所以當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的大小為8、解：因?yàn)?，平面，平?所以平面