固體光學(xué)第二章2

1、固體光學(xué)第二章2 廣義作用力 和廣義位移 可以表示為 (2.31) 叫做響應(yīng)函數(shù)。對(duì)于一個(gè)線性無(wú)源系統(tǒng)，根據(jù)Lorentz理論，T()可以表示為一組阻尼諧振子響應(yīng)的疊加 (2.33)由式(2.30)得過(guò)且過(guò) (2.32)響應(yīng)函數(shù)有如下性質(zhì)； 解析性，引進(jìn)的復(fù)平面 = r + ii，那么上響應(yīng)函數(shù)在上半復(fù)平面是解析的，極點(diǎn)在下半復(fù)平面，即 (2.34)收斂性，當(dāng)時(shí)， / 一致地趨近于0，因此， / 沿著的上半復(fù)平面的一個(gè)無(wú)限半圓上的積分為零。 奇偶性，由于 在時(shí)間和空間上的均勻性，不顯含 t 和 r (或波矢)，它僅僅是頻率的函數(shù)?？梢宰C明 T*(-)=T() (2.35) 對(duì)于實(shí)的， 的實(shí)部T

2、r()是偶函數(shù)，其虛部Ti()是奇函數(shù)。 為了說(shuō)明上述因果關(guān)系，引入函數(shù)形式的作用場(chǎng)，一個(gè)函數(shù)形式的作用場(chǎng)引起的極化可以表示為 (2.36) 是函數(shù)形式作用場(chǎng)，也就是單位作用場(chǎng)引起的極化，對(duì)于任意形式的作用場(chǎng) ，例如簡(jiǎn)諧形式的作用場(chǎng)， 引起的極化可以表示為 (2.37) (2.37)由 得(2.38)(2.39a)(2.39b)式(2.38)的傅里葉反變換為(2.40)討論：1. 假設(shè)t 0，函數(shù)-1在的下半復(fù)平面有奇異點(diǎn)，積分 不等于零。 定義復(fù)變函數(shù)根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論可得采取如圖2.11所示的積分線路，容易得到(2.41)2.42(2.44) 2.4.2 極化率和介電系數(shù)的KK變換其中科西積

3、分的主值定義為(2.44) 將 ，有 (2.45)利用 的奇偶性以及積分換域公式，最后得到極化率和電介函數(shù)KK關(guān)系(2.46) (2.47)利用光電導(dǎo)譜r()代替i()譜更為方便，由i()=r()0得 (2.48)圖2.12 aTe碲晶體的光電導(dǎo)譜 ,(b)虛線為計(jì)算的r() 譜，實(shí)線為測(cè)得的r() 譜r() r() r() r() r() r() r() r() r() Te碲晶體的光電導(dǎo)譜如圖2.12(a)所示，由(2.48)式表示的KK關(guān)系，計(jì)算出r()譜以虛線示于圖2.12(b)，同時(shí)給出實(shí)驗(yàn)曲線。用波長(zhǎng)代替頻率，式(2.8)變?yōu)閷?duì)于多個(gè)吸收峰的情況，設(shè)每個(gè)吸收峰的平均波長(zhǎng)為j，它們對(duì)

4、光學(xué)響應(yīng)的奉獻(xiàn)可以看成r(j)積分強(qiáng)度的加權(quán)求和，于是上述積分化為(2.49) (2.50)(2.50)式也叫做四參量 公式 。對(duì)于長(zhǎng)波區(qū)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為(2.51)對(duì)NaCl晶體，在可見(jiàn)光區(qū)有4個(gè)吸收峰，每個(gè)吸收峰的波長(zhǎng)j與吸收強(qiáng)度Aj分別為 j 0.0347 0.1085 0.1584 61.67(m)Aj 利用公式(2.51)可以得到靜態(tài)介電常數(shù)(0)=5.86，用其它實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量得(0)=5.90。 對(duì)于金屬中自由電子，固有頻率0=0,公式(2.47)需要加以修正。因?yàn)楫?dāng)0=0時(shí)，響應(yīng)函數(shù) 在=0時(shí)，響應(yīng)函數(shù) 在= 0處有奇點(diǎn)。要解決此問(wèn)題，可定義一個(gè)新函數(shù) (2.52)其中函數(shù)T在上

5、半復(fù)平面包括實(shí)軸是解析的，而且當(dāng)時(shí)收斂，因此可以對(duì)其直接使用KK公式，得(2.53a)進(jìn)一步可以得到 (2.53b)另一種處理方法是將i()的零點(diǎn)留數(shù)0/0從中扣除，可以得到(2.53b)式。其中0=Ne2/m為靜態(tài)光電導(dǎo)。 n 同一樣，在的上半復(fù)平面無(wú)極點(diǎn)。 當(dāng)時(shí) ， ，因此 ， 是收斂的；其次n的奇偶關(guān)系也與一樣。因此可以直接 寫出 n 和之間的KK關(guān)系2.4.3 折射率和消光系數(shù)的KK變換 2.54由吸收系數(shù)=4/，可以將上述關(guān)系式化為更簡(jiǎn)潔的形式：(2.55)假設(shè)一個(gè)以t和x為變數(shù)的平面電磁波，一般可以表示為 (2.56)由因果關(guān)系，假設(shè)t 0, =0; 另一方面，當(dāng)t 0,由(2.5

6、6)式得(2.57) 假設(shè)0 t 0，在這種情況下，式(2.56)積分仍在的上半復(fù)平面進(jìn)展，那么 = 0。反射法包括兩類：一是通過(guò)兩個(gè)參數(shù)的獨(dú)立測(cè)量，來(lái)確定n 和 這兩未知數(shù)；二是通過(guò)一個(gè)參數(shù)在一個(gè)盡可能寬領(lǐng)域內(nèi)的測(cè)量，然后通過(guò)積分得到另一個(gè)參數(shù)以及其它所有光學(xué)常數(shù)。討論：在正入射下的振幅反射系數(shù)為 (2.59)其中r是的解析函數(shù)，除非n = nr + i = -1，但這不可能，因?yàn)楦鶕?jù)定義n0,0。2.4.4 反射系數(shù)的KK變換因?yàn)?， 所以 r 0。 , 沒(méi)有 , 那么沒(méi)有 , 因此 r 是一個(gè)線性響應(yīng)函數(shù)，滿 足 KK 變換的條件。反射光譜R易測(cè)，r0()=R()1/2 。假設(shè) 能通過(guò)

7、r0變換得到，測(cè)R, 即可求 t 和 n , 等。 分析lnr = lnr + i 的解析性。 因r解析，ln r無(wú)極點(diǎn)。 當(dāng) ，積分不為0，KK關(guān)系不能直接套用。定義新函數(shù)(2.60)利用留數(shù)積分公式，采用如圖2.11所示的積分環(huán)路C，=i,=r，可以得到(2.61) 由 ，可知 lnr(i) 為實(shí)數(shù)；由得 lnrr() 和 lnr0() 是偶函數(shù)，而() 為奇函數(shù)，因此得(2.62a)(2.62b) n()，() 與 r0()，( ) 之間的關(guān)系為 (2.63)圖2.13a給出垂直入射下InP半導(dǎo)體的反射光譜，利用KK關(guān)系得到的n()，()的色散關(guān)系示于圖2.13(b)。 利用分步積分的公

8、式以及(2.64) (2.65)2.5 微分形式的KK變換將積分形式的KK化為微分形式(2.66) (2.67) (2.68)微分因子說(shuō)明，光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線中對(duì)頻率微商極大處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)另一分量色散曲線上的峰；反之，光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線中對(duì)頻率商極小處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)某一分量的色散曲線中對(duì)頻率微商極小處，對(duì)應(yīng)光學(xué)響應(yīng)函數(shù)另一分量色散曲線上的谷。 對(duì)于直接光學(xué)躍遷的半導(dǎo)體， 由此得出r()應(yīng)在帶隙Eg處出現(xiàn)峰；從式(2.67)表示的n ()，a ()微分KK變換，可以預(yù)計(jì)，在材料的吸收邊a ()的斜率極大處，折射率 n 應(yīng)該出現(xiàn)峰；同理，n ()的峰和谷應(yīng)出現(xiàn)在(

9、)上升沿和下降沿的斜率極大處 對(duì)于離子晶體，反譜R具有類似 于方波的簡(jiǎn)單構(gòu)造，從 和R 的微分KK慶系可以得出，對(duì) 的奉獻(xiàn)主要由于d R d 0 的局部。光學(xué)響應(yīng)函數(shù)求和法那么指的是光學(xué)響應(yīng)函數(shù)在全頻域的積分等于某個(gè)定數(shù)。 高頻下光學(xué)響應(yīng)函數(shù)的求和法那么 當(dāng)所涉及的頻率0,時(shí)，可以將()進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，其形式為2.6 光學(xué)響應(yīng)函數(shù)的求和法那么(2.69) (2.70)固有頻率0，根據(jù)Lorentz理論，代表束縛作用力-m02 ，和阻尼作用力-m ，可以忽略不計(jì)。在這種情況下，等離子體振蕩決定了介電函數(shù)的實(shí)部，在介電函數(shù)的虛部中不包含與3反比項(xiàng)，即在一級(jí)近似下，可將介電函數(shù)的虛部i()作為0級(jí)

10、小量處理 。 因此，在高頻下主宰體系的光學(xué)響應(yīng)，不是與位移 成正比的束縛力，也非與速度 /dt 成正比的陰尼力，而是與體系的總電子數(shù) 見(jiàn)式(1.41)有關(guān)的慣性作用。在高頻下 (2.71a)(2.71b)結(jié)合介電響應(yīng)函數(shù)在高頻下的漸近行為(2.69)和(2.70)式，并取一級(jí)近似，可以得到介電響應(yīng)函數(shù)的求和法那么 (2.72a)(2.72b)(2.72c) 其中式(2.72a)也叫做振子強(qiáng)度(f)求和法那么，式(2.72b)和(2.72c)叫做慣性求和法那么，式(2.72b)適宜于半導(dǎo)體和絕緣體的束縛電子，式(2.72c)適應(yīng)于金屬中的自由電子。振子強(qiáng)度求和法那么也叫做耗散求和法那么。 假設(shè)體系有 j 種諧振子參與某一光學(xué)過(guò)程，其諧振子強(qiáng)度可以表示為 (2.73)定義：neff 為每個(gè)原子在光學(xué)過(guò)程中實(shí)際參與的有效電子數(shù)，：材料的原子量和密度分別為M和，那么參與不學(xué)過(guò)程 的電子密度 從振子強(qiáng)度求和法那么可以得到參與光學(xué)過(guò)程的有效電子數(shù)為 (2.74) Si、Ge和Al的效電子數(shù)與光子能量的關(guān)系。同理，可以導(dǎo)出折射率及其它光學(xué)響應(yīng)函數(shù)的求和法那么： (2.75a)(2.75b) (2.76) (2.77) 由KK關(guān)系