全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案資料

1、精品文檔中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）1（甲）如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式a2|ab|(ca)2|bc|可以化簡(jiǎn)為（）（A）2ca（B）2a2b（C）a（D）a1（乙）如果a22，那么11213a的值為（）（A）2（B）2（C）2（D）222（甲）如果正比例函數(shù)y=ax（a0）與反比例函數(shù)y=bx（b0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一（A）1（B）2a1個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（A）（2，3）（B）（3，2）（C）（2，3）（D）（3，2）2y（乙）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足

2、不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，）的個(gè)數(shù)為（）（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）如果a，b為給定的實(shí)數(shù)，且1ab，那么1，a1，2ab，ab1這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（）11（C）（D）4243（乙）如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，ABC是等邊三角形ADC30，AD=3，BD=5，則CD的長(zhǎng)為（）（A）32（B）4（C）25（D）4.5“4（甲）小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說：你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（）精品文檔精品文檔（A

3、）1（B）2（C）3（D）44（乙）如果關(guān)于x的方程x2pxq0（p，q是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（）（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為p，p，p，p，則0123p，p，p，p中最大的是（）0123（A）p0（B）p1（C）p2（D）p35（乙）黑板上寫有1，共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)11123100a，b，然后刪去a，b，并在黑板上寫上數(shù)abab，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）（A）201

4、2（B）101（C）100（D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）6（甲）按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否487？”為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是.6（乙）.如果a，b，c是正數(shù)，且滿足abc9，11110abc，那么的值abbcca9bccaab為7（甲）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為215，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則DMN的面積是.7（乙）.如圖所示，點(diǎn)A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條ECA對(duì)角線E作矩形OBAC，設(shè)直線BC交圓O于D、兩點(diǎn)，若OC12，段CE、BD的長(zhǎng)度差是。

5、則線OBD8（甲）.如果關(guān)于x的方程x2+kx+34k23k+92=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別精品文檔x精品文檔為x，x，那么x112220112012的值為8（乙）設(shè)n為整數(shù)，且1n2012.若(n2n3)(n2n3)能被5整除，則所有n的個(gè)數(shù)為.9（甲）.2位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為.9（乙）如果正數(shù)x，y，z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，那么稱（x，y，z）是三角形數(shù)若（a，b，c）和（，）均為三角

6、形數(shù)，且abc，則111abcac的取值范圍是.10（甲）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD=DC.分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E.作BFEC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若AE=AO，BC=6，則CF的長(zhǎng)為.10（乙）已知n是偶數(shù)，且1n100若有唯一的正整數(shù)對(duì)（a，b）使得a2b2n成立，則這樣的n的個(gè)數(shù)為三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11（甲）已知二次函數(shù)yx2（m3）xm2，當(dāng)1x3時(shí)，恒有y0；關(guān)于x的方程x2（m3）xm20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于910求m的取值范圍5CO11（乙）.如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半

7、軸上，AO8,ABAC,sinC4yBx。點(diǎn)D在線段AB上，連結(jié)CD交Ey軸于點(diǎn)E，且SCOESADE。試D求圖像經(jīng)過B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12（甲）.如圖，O的直徑為AB，精品文檔A精品文檔O過點(diǎn)O，且與O內(nèi)切于點(diǎn)BC為O上的點(diǎn)，OC與O交于點(diǎn)D，且ODCD點(diǎn)11E在OD上，且DCDE，BE的延長(zhǎng)線與O交于點(diǎn)F，求證：BOCDOF1112（乙）如圖，O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC，BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是ABD的內(nèi)心.求證：（1）OI是IBD的外接圓的切線；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整數(shù)a，b滿足：ab是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù).當(dāng)a2012時(shí)，求a的最小

8、值.精品文檔精品文檔13（乙）給定一個(gè)正整數(shù)n，凸n邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150？并說明理由14（甲）.求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)x，x，x122012122012n.xxx122012，滿足xxx122012，且14（乙）將2，3，n（n2）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a，b，c（可以相同），使得abc，求n的最小值參考解答精品文檔精品文檔一、選擇題1(甲).C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知ba0c，且bc，所以a2|ab|(ca)2|bc|a(ab)(ca)(bc)a1（乙）B解：11213a1211121122111121221y1；y2；y0；y1；y0；

9、y2；y1；y0；y2.2（甲）D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.2（乙）B解：由題設(shè)x2y22x2y，得0(x1)2(y1)22.因?yàn)閤，y均為整數(shù)，所以有(x1)20，(x1)20，(x1)21，(x1)21，(y1)20；(y1)21；(y1)20；(y1)21.解得x1，x1，x1，x0，x0，x0，x2，x2，x2，.以上共計(jì)9對(duì)（x，y）3（甲）D解：由題設(shè)知，1a1ab12ab，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(a1)(ab1)(2ab)34a2b44，中位數(shù)為(a1)(ab1)44a2b24，44a2b34a

10、2b1于是.4443（乙）B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE.由于AC=BC，CD=CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD=ACE，精品文檔精品文檔所以BCDACE，BD=AE.又因?yàn)锳DC30，所以ADE90.在eqoac(,Rt)ADE中，AE5，AD3，于是DE=AE2AD24，所以CD=DE=4.yn2(xn)，2n=(2y7)154（甲）D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，x，y均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得x2n(y2)，消去x得(2y7)n=y+4，151.2y72y7因?yàn)?52y7為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，

11、6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為q0，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)yx2pxq的圖象知，當(dāng)x3時(shí)，y0，所以323pq0，即3pq9.由于p，q都是正整數(shù)，所以p1，1q5；或p2，1q2，此時(shí)都有p24q0.于是共有7組（p，q）符合題意5（甲）D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以p9，p，p，p3636363601238910，因此p最大35（乙）C解：因?yàn)閍bab1(a1)(b1)，所以每

12、次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為x，則精品文檔精品文檔11x1(11)(1)(1)231(1)，100解得x1101，x100二、填空題6（甲）7x19解：前四次操作的結(jié)果分別為3x2，3(3x2)2=9x8，3(9x8)2=27x26，3(27x26)2=81x80.由已知得27x26487，81x80487.解得7x19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7x19時(shí)，3x24879x8487，故x的取值范圍是7x196（乙）.7兩邊乘以abc9得解：在11110abbcca9cabcab310即7abbccaabbcca7（甲）8解：連接DF，記正方形ABCD的

13、邊長(zhǎng)為2a.由題設(shè)易知BFNDAN，所以ADANDN2，BFNFBN12由此得AN2NF，所以ANAF.3在eqoac(,Rt)ABF中，因?yàn)锳B2a，BFa，所以AFAB2BF25a，于是cosBAFAB25AF5.由題設(shè)可知ADEBAF，所以AEDAFB，AME1800BAFAED1800BAFAFB90.于是AMAEcosBAF25a，5245MNANAMAFAMa，315精品文檔MNDSAFDa2.精品文檔又SAFDSMN4.MNDSAF15AFD148(2a)(2a)2a2，所以S21515因?yàn)閍15，所以S287（乙）.5MND8.解：如圖，設(shè)DE的中點(diǎn)為M，連接OM，則OMDE因

14、為OB20212216，所以O(shè)MOBOC161248BC205，CMOC2OM2，BM366455CEBD（EMCM）（DMBM）BMCM28（甲）3解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有39=k24(k23k)0，42由此得(k3)20643628555=0，解得x1=x2=.又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3.此時(shí)方程為x2+3x+94322012=1223解：2n3n故x12011xx28（乙）.1610=22n45n29因此5|(n49)，所以n41(mod5)，因此n5k1,或5k2201254022所以共有2012-402=1610個(gè)數(shù)9（甲）8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為a，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為b

15、，由題設(shè)知2a3b130，由此得0b43.又ab(m1)(m2)2，所以2a2b(m1)(m2).于是0b130(m1)(m2)43，精品文檔精品文檔87(m1)(m2)130，由此得m8，或m9.當(dāng)m8時(shí)，b40，a5；當(dāng)m9時(shí)，b20，a35，a故m8ab55，不合題設(shè).229（乙）.35a12c解：依題意得：111，所以bca，代入（2）得abc(1)bca(2)11111，兩邊乘以a得abccac1aacaa即cac，cca，化簡(jiǎn)得a23acc20，兩邊除以c2得ca2a3()10c所以35a352c2另一方面：abc，所以ac1綜合得35a12c另解：可令ak，由（1）得b(1k)c

16、，代入（2）化簡(jiǎn)得k23k10，解得c，2353535k另一方面：abc，所以k1，綜合得2210（甲）322解：如圖，連接AC，BD，OD.由AB是O的直徑知BCA=BDA=90.依題設(shè)BFC=90，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF=BAD,k1所以eqoac(,Rt)BCFeqoac(,Rt)BAD，因此BCBACFAD.因?yàn)镺D是O的半徑，AD=CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC，精品文檔于是DE，BEBA，精品文檔OE2.因此DCOBDE2CD2AD，CE3AD.由AEDCEB，知DEECAEBE因?yàn)锳EBA322BA，BA=22AD，故所以2AD3ADBA322CFADB

17、ABC32BC222.10（乙）.12a解：依題意得na2b2abb由于n是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即n4k，當(dāng)1n100時(shí)，4的倍數(shù)共有25個(gè)，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)（a，b），則：kp或kp2，其中p是素?cái)?shù)，因此，k只能取下列12個(gè)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，從而這樣的n有12個(gè)。三、解答題11（甲）解：因?yàn)楫?dāng)1x3時(shí)，恒有y0，所以24（m3）（m2）0，2即（m1）0，所以m1（3分）當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x3時(shí)，y0，即(1)2(m3)(1)m20，且323(m3)m20，解得m5（8分）設(shè)方程x2m3xm20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

18、分別為x，x，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)12系得xxm3，xxm21212因?yàn)榫肺臋nxx10 xxm2101212xx119m39，所以12，精品文檔解得m12，或m2因此m12（15分）11（乙）.解：因?yàn)閟inABC=AO，AO8，COESCDBSeqoac(,1)AOB所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，)（也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來(lái)求得.）4AB50)0)n所以AB=10由勾股定理，得BOAB2AO26易知ABOACO，因此CO=BO=6于是A(0，8)，B(6，C(6，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，)由S，得SADE111所以BCnAOBO，12(n)862222解得n4因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

19、(3，4)因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為eqoac(,A)BC的重心，83設(shè)經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為ya(x6)(x6)將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，解得a=227故經(jīng)過B，C，E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y28x227312（甲）證明：連接BD，因?yàn)镺B為O的直徑，所以1ODB90又因?yàn)镈CDE，所以CBE是等腰三角形（5分）設(shè)BC與O交于點(diǎn)M，連接OM，則OMB90又1因?yàn)镺COB，所以BOC2DOM2DBC2DBFDOF1（10分）又因?yàn)锽OC，DOF分別是等腰BOC，等腰DOF的頂角，所以11BOCDOF1（15分）12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和

20、同弧上圓周角相等的性質(zhì)知：CIDIADIDA，精品文檔于是b=am.精品文檔CDICDBBDIBACIDAIADIDA所以CIDCDI，CI=CD同理，CI=CB故點(diǎn)C是IBD的外心連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA=OC，所以O(shè)IAC，即OICI故OI是IBD外接圓的切線（2）如圖，過點(diǎn)I作IEAD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F由BCCD，知OCBD因?yàn)镃BF=IAE，BC=CI=AI，所以RtBCFRtAIE所以BF=AE又因?yàn)镮是ABD的內(nèi)心，所以ABADBD2AEBDBD2BFBD故ABAD2BD也可由托勒密定理得：ABCDADBCACBD，再將AC2BC2CD代入即得結(jié)論ABA

21、D2BD。13（甲）解：設(shè)ab=m（m是素?cái)?shù)），ab=n2（n是自然數(shù)）.因?yàn)?a+b)24ab=(ab)2，所以(2am)24n2=m2，(2am+2n)(2am2n)=m2.（5分）（1）當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n(m為素?cái)?shù))，所以2am+2nm2，2am2n1.(m1)2m21解得a，n.442（m1）4（10分）(m1)2又a2012，即2012.4(891)2又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m89.此時(shí)，a=2025.4當(dāng)a2025時(shí)，m89，b1936，n1980.此時(shí)，a的最小值為2025.（2）當(dāng)n0時(shí)，因?yàn)閍2012，所以b0，從而得a的最小值為2017（素?cái)?shù)）。綜上所述，所求的a的最小值為2017。（15分）精品文檔精品文檔13（乙）.解：設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150，則每個(gè)150內(nèi)角的外角都等于30，而凸n邊形的n個(gè)外角和為360，所以k36012，只有當(dāng)n12時(shí)，30k才有最大值12.（5分）下面我們討論n12時(shí)的情況：（1）當(dāng)n12時(shí)，顯然，k的值是11；（2）當(dāng)n3,4,5,6,7時(shí)，k的值分別為1，2，3，4，5；（3）當(dāng)n8,9,10,11時(shí)，k的值分別為7，8，9，10.（10分）綜上所述，當(dāng)3n7時(shí)，凸n邊形最多有n2個(gè)內(nèi)角等于150；當(dāng)8n