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1、精品文檔中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題(共5小題,每小題6分,共30分.)1(甲)如果實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示,那么代數(shù)式a2|ab|(ca)2|bc|可以化簡(jiǎn)為()(A)2ca(B)2a2b(C)a(D)a1(乙)如果a22,那么11213a的值為()(A)2(B)2(C)2(D)222(甲)如果正比例函數(shù)y=ax(a0)與反比例函數(shù)y=bx(b0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),其中一(A)1(B)2a1個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2),那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(2,3)(B)(3,2)(C)(2,3)(D)(3,2)2y(乙)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,滿足
2、不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)(x,)的個(gè)數(shù)為()(A)10(B)9(C)7(D)53(甲)如果a,b為給定的實(shí)數(shù),且1ab,那么1,a1,2ab,ab1這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是()11(C)(D)4243(乙)如圖,四邊形ABCD中,AC,BD是對(duì)角線,ABC是等邊三角形ADC30,AD=3,BD=5,則CD的長(zhǎng)為()(A)32(B)4(C)25(D)4.5“4(甲)小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說:你若給我2元,我的錢數(shù)將是你的n倍”;小玲對(duì)小倩說:“你若給我n元,我的錢數(shù)將是你的2倍”,其中n為正整數(shù),則n的可能值的個(gè)數(shù)是()精品文檔精品文檔(A
3、)1(B)2(C)3(D)44(乙)如果關(guān)于x的方程x2pxq0(p,q是正整數(shù))的正根小于3,那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是()(A)5(B)6(C)7(D)85(甲)一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6擲兩次骰子,設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0,1,2,3的概率為p,p,p,p,則0123p,p,p,p中最大的是()0123(A)p0(B)p1(C)p2(D)p35(乙)黑板上寫有1,共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)11123100a,b,然后刪去a,b,并在黑板上寫上數(shù)abab,則經(jīng)過99次操作后,黑板上剩下的數(shù)是()(A)201
4、2(B)101(C)100(D)99二、填空題(共5小題,每小題6分,共30分)6(甲)按如圖的程序進(jìn)行操作,規(guī)定:程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否487?”為一次操作.如果操作進(jìn)行四次才停止,那么x的取值范圍是.6(乙).如果a,b,c是正數(shù),且滿足abc9,11110abc,那么的值abbcca9bccaab為7(甲)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為215,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),AF與DE,DB分別交于點(diǎn)M,N,則DMN的面積是.7(乙).如圖所示,點(diǎn)A在半徑為20的圓O上,以O(shè)A為一條ECA對(duì)角線E作矩形OBAC,設(shè)直線BC交圓O于D、兩點(diǎn),若OC12,段CE、BD的長(zhǎng)度差是。
5、則線OBD8(甲).如果關(guān)于x的方程x2+kx+34k23k+92=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別精品文檔x精品文檔為x,x,那么x112220112012的值為8(乙)設(shè)n為整數(shù),且1n2012.若(n2n3)(n2n3)能被5整除,則所有n的個(gè)數(shù)為.9(甲).2位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽,比賽為單循環(huán),即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)則是:每場(chǎng)比賽勝者得3分,負(fù)者得0分;平局各得1分.比賽結(jié)束后,所有同學(xué)的得分總和為130分,而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半,則m的值為.9(乙)如果正數(shù)x,y,z可以是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),那么稱(x,y,z)是三角形數(shù)若(a,b,c)和(,)均為三角
6、形數(shù),且abc,則111abcac的取值范圍是.10(甲)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AB是直徑,AD=DC.分別延長(zhǎng)BA,CD,交點(diǎn)為E.作BFEC,并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若AE=AO,BC=6,則CF的長(zhǎng)為.10(乙)已知n是偶數(shù),且1n100若有唯一的正整數(shù)對(duì)(a,b)使得a2b2n成立,則這樣的n的個(gè)數(shù)為三、解答題(共4題,每題15分,共60分)11(甲)已知二次函數(shù)yx2(m3)xm2,當(dāng)1x3時(shí),恒有y0;關(guān)于x的方程x2(m3)xm20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于910求m的取值范圍5CO11(乙).如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B、C分別在x軸正、負(fù)半
7、軸上,AO8,ABAC,sinC4yBx。點(diǎn)D在線段AB上,連結(jié)CD交Ey軸于點(diǎn)E,且SCOESADE。試D求圖像經(jīng)過B、C、E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式。12(甲).如圖,O的直徑為AB,精品文檔A精品文檔O過點(diǎn)O,且與O內(nèi)切于點(diǎn)BC為O上的點(diǎn),OC與O交于點(diǎn)D,且ODCD點(diǎn)11E在OD上,且DCDE,BE的延長(zhǎng)線與O交于點(diǎn)F,求證:BOCDOF1112(乙)如圖,O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC,BD是它的對(duì)角線,AC的中點(diǎn)I是ABD的內(nèi)心.求證:(1)OI是IBD的外接圓的切線;(2)AB+AD=2BD.13(甲).已知整數(shù)a,b滿足:ab是素?cái)?shù),且ab是完全平方數(shù).當(dāng)a2012時(shí),求a的最小
8、值.精品文檔精品文檔13(乙)給定一個(gè)正整數(shù)n,凸n邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150?并說明理由14(甲).求所有正整數(shù)n,使得存在正整數(shù)x,x,x122012122012n.xxx122012,滿足xxx122012,且14(乙)將2,3,n(n2)任意分成兩組,如果總可以在其中一組中找到數(shù)a,b,c(可以相同),使得abc,求n的最小值參考解答精品文檔精品文檔一、選擇題1(甲).C解:由實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置可知ba0c,且bc,所以a2|ab|(ca)2|bc|a(ab)(ca)(bc)a1(乙)B解:11213a1211121122111121221y1;y2;y0;y1;y0;
9、y2;y1;y0;y2.2(甲)D解:利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性,可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2).2(乙)B解:由題設(shè)x2y22x2y,得0(x1)2(y1)22.因?yàn)閤,y均為整數(shù),所以有(x1)20,(x1)20,(x1)21,(x1)21,(y1)20;(y1)21;(y1)20;(y1)21.解得x1,x1,x1,x0,x0,x0,x2,x2,x2,.以上共計(jì)9對(duì)(x,y)3(甲)D解:由題設(shè)知,1a1ab12ab,所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(a1)(ab1)(2ab)34a2b44,中位數(shù)為(a1)(ab1)44a2b24,44a2b34a
10、2b1于是.4443(乙)B解:如圖,以CD為邊作等邊CDE,連接AE.由于AC=BC,CD=CE,BCD=BCA+ACD=DCE+ACD=ACE,精品文檔精品文檔所以BCDACE,BD=AE.又因?yàn)锳DC30,所以ADE90.在eqoac(,Rt)ADE中,AE5,AD3,于是DE=AE2AD24,所以CD=DE=4.yn2(xn),2n=(2y7)154(甲)D解:設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元,x,y均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得x2n(y2),消去x得(2y7)n=y+4,151.2y72y7因?yàn)?52y7為正整數(shù),所以2y7的值分別為1,3,5,15,所以y的值只能為4,5,
11、6,11從而n的值分別為8,3,2,1;x的值分別為14,7,6,74(乙)C解:由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知,兩根的乘積為q0,故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)yx2pxq的圖象知,當(dāng)x3時(shí),y0,所以323pq0,即3pq9.由于p,q都是正整數(shù),所以p1,1q5;或p2,1q2,此時(shí)都有p24q0.于是共有7組(p,q)符合題意5(甲)D解:擲兩次骰子,其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè),其和除以4的余數(shù)分別是0,1,2,3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè),8個(gè),9個(gè),10個(gè),所以p9,p,p,p3636363601238910,因此p最大35(乙)C解:因?yàn)閍bab1(a1)(b1),所以每
12、次操作前和操作后,黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為x,則精品文檔精品文檔11x1(11)(1)(1)231(1),100解得x1101,x100二、填空題6(甲)7x19解:前四次操作的結(jié)果分別為3x2,3(3x2)2=9x8,3(9x8)2=27x26,3(27x26)2=81x80.由已知得27x26487,81x80487.解得7x19.容易驗(yàn)證,當(dāng)7x19時(shí),3x24879x8487,故x的取值范圍是7x196(乙).7兩邊乘以abc9得解:在11110abbcca9cabcab310即7abbccaabbcca7(甲)8解:連接DF,記正方形ABCD的
13、邊長(zhǎng)為2a.由題設(shè)易知BFNDAN,所以ADANDN2,BFNFBN12由此得AN2NF,所以ANAF.3在eqoac(,Rt)ABF中,因?yàn)锳B2a,BFa,所以AFAB2BF25a,于是cosBAFAB25AF5.由題設(shè)可知ADEBAF,所以AEDAFB,AME1800BAFAED1800BAFAFB90.于是AMAEcosBAF25a,5245MNANAMAFAMa,315精品文檔MNDSAFDa2.精品文檔又SAFDSMN4.MNDSAF15AFD148(2a)(2a)2a2,所以S21515因?yàn)閍15,所以S287(乙).5MND8.解:如圖,設(shè)DE的中點(diǎn)為M,連接OM,則OMDE因
14、為OB20212216,所以O(shè)MOBOC161248BC205,CMOC2OM2,BM366455CEBD(EMCM)(DMBM)BMCM28(甲)3解:根據(jù)題意,關(guān)于x的方程有39=k24(k23k)0,42由此得(k3)20643628555=0,解得x1=x2=.又(k3)20,所以(k3)2=0,從而k=3.此時(shí)方程為x2+3x+94322012=1223解:2n3n故x12011xx28(乙).1610=22n45n29因此5|(n49),所以n41(mod5),因此n5k1,或5k2201254022所以共有2012-402=1610個(gè)數(shù)9(甲)8解:設(shè)平局?jǐn)?shù)為a,勝(負(fù))局?jǐn)?shù)為b
15、,由題設(shè)知2a3b130,由此得0b43.又ab(m1)(m2)2,所以2a2b(m1)(m2).于是0b130(m1)(m2)43,精品文檔精品文檔87(m1)(m2)130,由此得m8,或m9.當(dāng)m8時(shí),b40,a5;當(dāng)m9時(shí),b20,a35,a故m8ab55,不合題設(shè).229(乙).35a12c解:依題意得:111,所以bca,代入(2)得abc(1)bca(2)11111,兩邊乘以a得abccac1aacaa即cac,cca,化簡(jiǎn)得a23acc20,兩邊除以c2得ca2a3()10c所以35a352c2另一方面:abc,所以ac1綜合得35a12c另解:可令ak,由(1)得b(1k)c
16、,代入(2)化簡(jiǎn)得k23k10,解得c,2353535k另一方面:abc,所以k1,綜合得2210(甲)322解:如圖,連接AC,BD,OD.由AB是O的直徑知BCA=BDA=90.依題設(shè)BFC=90,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,所以BCF=BAD,k1所以eqoac(,Rt)BCFeqoac(,Rt)BAD,因此BCBACFAD.因?yàn)镺D是O的半徑,AD=CD,所以O(shè)D垂直平分AC,ODBC,精品文檔于是DE,BEBA,精品文檔OE2.因此DCOBDE2CD2AD,CE3AD.由AEDCEB,知DEECAEBE因?yàn)锳EBA322BA,BA=22AD,故所以2AD3ADBA322CFADB
17、ABC32BC222.10(乙).12a解:依題意得na2b2abb由于n是偶數(shù),a+b、a-b同奇偶,所以n是4的倍數(shù),即n4k,當(dāng)1n100時(shí),4的倍數(shù)共有25個(gè),但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(duì)(a,b),則:kp或kp2,其中p是素?cái)?shù),因此,k只能取下列12個(gè)數(shù):2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,從而這樣的n有12個(gè)。三、解答題11(甲)解:因?yàn)楫?dāng)1x3時(shí),恒有y0,所以24(m3)(m2)0,2即(m1)0,所以m1(3分)當(dāng)x1時(shí),y0;當(dāng)x3時(shí),y0,即(1)2(m3)(1)m20,且323(m3)m20,解得m5(8分)設(shè)方程x2m3xm20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
18、分別為x,x,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)12系得xxm3,xxm21212因?yàn)榫肺臋nxx10 xxm2101212xx119m39,所以12,精品文檔解得m12,或m2因此m12(15分)11(乙).解:因?yàn)閟inABC=AO,AO8,COESCDBSeqoac(,1)AOB所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,)(也可由直線CD交y軸于點(diǎn)E來(lái)求得.)4AB50)0)n所以AB=10由勾股定理,得BOAB2AO26易知ABOACO,因此CO=BO=6于是A(0,8),B(6,C(6,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,)由S,得SADE111所以BCnAOBO,12(n)862222解得n4因此D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)D的坐標(biāo)為
19、(3,4)因此CD,AO分別為AB,BC的兩條中線,點(diǎn)E為eqoac(,A)BC的重心,83設(shè)經(jīng)過B,C,E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為ya(x6)(x6)將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,解得a=227故經(jīng)過B,C,E三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y28x227312(甲)證明:連接BD,因?yàn)镺B為O的直徑,所以1ODB90又因?yàn)镈CDE,所以CBE是等腰三角形(5分)設(shè)BC與O交于點(diǎn)M,連接OM,則OMB90又1因?yàn)镺COB,所以BOC2DOM2DBC2DBFDOF1(10分)又因?yàn)锽OC,DOF分別是等腰BOC,等腰DOF的頂角,所以11BOCDOF1(15分)12(乙).證明:(1)如圖,根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和
20、同弧上圓周角相等的性質(zhì)知:CIDIADIDA,精品文檔于是b=am.精品文檔CDICDBBDIBACIDAIADIDA所以CIDCDI,CI=CD同理,CI=CB故點(diǎn)C是IBD的外心連接OA,OC,因?yàn)镮是AC的中點(diǎn),且OA=OC,所以O(shè)IAC,即OICI故OI是IBD外接圓的切線(2)如圖,過點(diǎn)I作IEAD于點(diǎn)E,設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F由BCCD,知OCBD因?yàn)镃BF=IAE,BC=CI=AI,所以RtBCFRtAIE所以BF=AE又因?yàn)镮是ABD的內(nèi)心,所以ABADBD2AEBDBD2BFBD故ABAD2BD也可由托勒密定理得:ABCDADBCACBD,再將AC2BC2CD代入即得結(jié)論ABA
21、D2BD。13(甲)解:設(shè)ab=m(m是素?cái)?shù)),ab=n2(n是自然數(shù)).因?yàn)?a+b)24ab=(ab)2,所以(2am)24n2=m2,(2am+2n)(2am2n)=m2.(5分)(1)當(dāng)n1時(shí),因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù),且2am+2n2am2n(m為素?cái)?shù)),所以2am+2nm2,2am2n1.(m1)2m21解得a,n.442(m1)4(10分)(m1)2又a2012,即2012.4(891)2又因?yàn)閙是素?cái)?shù),解得m89.此時(shí),a=2025.4當(dāng)a2025時(shí),m89,b1936,n1980.此時(shí),a的最小值為2025.(2)當(dāng)n0時(shí),因?yàn)閍2012,所以b0,從而得a的最小值為2017(素?cái)?shù))。綜上所述,所求的a的最小值為2017。(15分)精品文檔精品文檔13(乙).解:設(shè)凸n邊形最多有k個(gè)內(nèi)角等于150,則每個(gè)150內(nèi)角的外角都等于30,而凸n邊形的n個(gè)外角和為360,所以k36012,只有當(dāng)n12時(shí),30k才有最大值12.(5分)下面我們討論n12時(shí)的情況:(1)當(dāng)n12時(shí),顯然,k的值是11;(2)當(dāng)n3,4,5,6,7時(shí),k的值分別為1,2,3,4,5;(3)當(dāng)n8,9,10,11時(shí),k的值分別為7,8,9,10.(10分)綜上所述,當(dāng)3n7時(shí),凸n邊形最多有n2個(gè)內(nèi)角等于150;當(dāng)8n
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