6-期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型及BS公式

1、1第六章：期權(quán)定價(jià)的延續(xù)模型第一節(jié)延續(xù)時(shí)間股票模型第二節(jié)離散模型第三節(jié)延續(xù)模型的分析第四節(jié)Black-Scholes模型第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo)第六節(jié)看漲期權(quán)與看破跌期權(quán)平價(jià)第七節(jié)二叉樹(shù)模型和延續(xù)時(shí)間模型第八節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)股價(jià)模型運(yùn)用的本卷須知.2022/8/242第一節(jié)延續(xù)時(shí)間股票模型 保羅薩繆爾森在1965年初次提出： 5-1股票在時(shí)辰的價(jià)錢常量服從布朗運(yùn)動(dòng)。 其中：.1826年英國(guó)植物學(xué)家布朗1773-1858用顯微鏡察看懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。后來(lái)把懸浮微粒的這種運(yùn)動(dòng)叫做布朗運(yùn)動(dòng)。 .第二節(jié)離散模型 2022/8/244假設(shè)表示 T 時(shí)辰的股價(jià)那么根據(jù)二叉樹(shù)模型，在

2、一個(gè)給定時(shí)間間隔.2022/8/245第二節(jié)離散模型 于是令這闡明k個(gè)小時(shí)間段的共同影響等同于相應(yīng)大時(shí)間段的影響。.2022/8/246第二節(jié)離散模型 上式是以下微分方程的解：5-2.第二節(jié)離散模型 2022/8/247在式5-1中，假設(shè)令即可得到上述微分方程，這是一個(gè)確定性的公式。然而，股價(jià)并不具有公式5-2所示的可預(yù)測(cè)性和確定性。令隨機(jī)變量定義其中，為常數(shù).第二節(jié)離散模型 2022/8/248于是，可得股價(jià)序列即設(shè)5-3.2022/8/249第二節(jié)離散模型 于是得： 5-4與式5-2相比有什么特點(diǎn)？包含了隨機(jī)項(xiàng)，因此更接近實(shí)踐！.2022/8/2410第二節(jié)離散模型 該模型有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，包含

3、了隨機(jī)變量；但存在一個(gè)缺乏之處，即有兩個(gè)不確定項(xiàng)。第一個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自中的，其作用類似于債券第二個(gè)漂移項(xiàng)來(lái)自于當(dāng)然希望期望的一切的漂移來(lái)自于一個(gè)方面，即和貨幣基金市場(chǎng)中的利率.2022/8/2411第二節(jié)離散模型 為能對(duì)模型進(jìn)展規(guī)范正態(tài)變換，并對(duì)不確定性進(jìn)展合并。對(duì)進(jìn)展重新定義：為什么？.2022/8/2412第二節(jié)離散模型 于是隨機(jī)變量Z 的一個(gè)重要等式5-5第二個(gè)要素表示的隨機(jī)變量的漂移率為零.2022/8/2413第二節(jié)離散模型 假設(shè)令：那么：由于：進(jìn)一步.2022/8/2414第二節(jié)離散模型 式5-6的分析：股票的初始價(jià)錢；漂移因子復(fù)利因子；隨機(jī)因子；修正因子。那么5-6.第二節(jié)離散模型

4、2022/8/2415特別留意：模型5-6雖然也是一種離散模型，但比二叉樹(shù)模型具有更豐富的意義。由于允許取任何正值為什么？.2022/8/2416第二節(jié)離散模型 當(dāng)時(shí)能否否！.第二節(jié)離散模型 式5-6中將時(shí)間分成小的增量，并思索步運(yùn)轉(zhuǎn)的影響，一段固定的時(shí)間 可以分成許多小時(shí)間段。 現(xiàn)實(shí)上，針對(duì)同樣的時(shí)間，可以分成不同的個(gè)區(qū)間。 應(yīng)該留意到：隨著的添加，的方差 會(huì)添加。為了使得的總方差獨(dú)立于，需求對(duì)常量 隨 進(jìn)展調(diào)整。2022/8/2419.第二節(jié)離散模型 可以在和之間建立一個(gè)關(guān)系式，使得的方差等于2022/8/2420即令：于是式5-6其中.2022/8/2421第二節(jié)離散模型 對(duì)數(shù)正態(tài)模型為

5、什么？ 5-7：闡明長(zhǎng)期趨勢(shì)；：闡明動(dòng)搖率。這兩個(gè)參數(shù)如何影響股價(jià)？.2022/8/2424第三節(jié)延續(xù)模型的分析 5-8式中，由此得到的就是股價(jià)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型GBM。方程5-1的解幾何布朗運(yùn)動(dòng)式5-8與具有延續(xù)時(shí)間變量T的離散模型5-7一樣。方程5-1是一個(gè)SDE，普通SDE沒(méi)有簡(jiǎn)約的封鎖方式的解。.2022/8/2425第三節(jié)延續(xù)模型的分析 特別留意：目的：對(duì)期權(quán)進(jìn)展定價(jià).第三節(jié)延續(xù)模型的分析 2022/8/2426幾何布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)：思緒：用樣本均值和方差來(lái)替代總體的均值和方差假設(shè)知在一段較長(zhǎng)時(shí)間0,T內(nèi)的股價(jià)數(shù)據(jù) ，這段時(shí)間由n個(gè)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間所構(gòu)成，假設(shè)知第個(gè)子區(qū)間末的股價(jià)，那

6、么樣本觀測(cè)值有n+1.2022/8/2427第三節(jié)延續(xù)模型的分析 計(jì)算時(shí)間序列值：由于5-9第一步.2022/8/2428第三節(jié)延續(xù)模型的分析 應(yīng)該留意到：于是，實(shí)際上.2022/8/2429第三節(jié)延續(xù)模型的分析 樣本均值：樣本方差：根據(jù)式5-9的觀測(cè)值的均值為方差為。第二步.2022/8/2430第三節(jié)延續(xù)模型的分析 解方程：得第三步.2022/8/2431第三節(jié)延續(xù)模型的分析 普通閱歷法那么是設(shè)定度量動(dòng)搖率的時(shí)期等于將運(yùn)用動(dòng)搖率所對(duì)應(yīng)的時(shí)期。 .第三節(jié)延續(xù)模型的分析 習(xí)題：以下是包鋼股票2007年3月20日到2007年3月23日半小時(shí)價(jià)，請(qǐng)以天為時(shí)間單位計(jì)算。3月20日3月21日3月22日

7、3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/8/2432.假設(shè)：證券價(jià)錢遵照幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即和為常數(shù)；允許賣空；沒(méi)有買賣費(fèi)用和稅收，一切證券都是完全可分的；在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒(méi)有現(xiàn)金收益支付；不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)；證券買賣是延續(xù)的，價(jià)錢變動(dòng)也是延續(xù)的；在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。歐式期權(quán)，股票期權(quán)，看漲期權(quán) 2022/8/2433第四節(jié)Black-Sc

8、holes公式 .第四節(jié)Black-Scholes公式 2022/8/2434由Black-Scholes公式，歐式看漲期權(quán)的價(jià)錢5-10式中股票現(xiàn)價(jià)期權(quán)價(jià)錢規(guī)范正態(tài)分布函數(shù)期權(quán)的執(zhí)行價(jià)錢間隔到期的時(shí)間.2022/8/2435第四節(jié)Black-Scholes公式 能否留意到，這一公式中沒(méi)有出現(xiàn)漂移率： 參數(shù)是投資者在短時(shí)間后獲得的預(yù)期收益率，依靠于某種股票的衍生證券的價(jià)值普通獨(dú)立于。 參數(shù)是股票價(jià)錢動(dòng)搖率。.2022/8/2436第四節(jié)Black-Scholes公式 Black-Scholes定價(jià)系統(tǒng)在完全市場(chǎng)中得到期權(quán)價(jià)錢與漂移率無(wú)關(guān)，被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，無(wú)套利是這種定價(jià)的根本假設(shè)。 B

9、lack-Scholes方程的結(jié)果以為，由于在方程中消掉了漂移項(xiàng)，而漂移項(xiàng)代表人們對(duì)證券價(jià)錢未來(lái)變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險(xiǎn)期望收益率。因此，這意味著期權(quán)的價(jià)錢與人們對(duì)證券價(jià)錢未來(lái)變化的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并不影響期權(quán)價(jià)錢。.從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決議公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)S、時(shí)間t、證券價(jià)錢的動(dòng)搖率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于客觀變量風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于客觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決議公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的任務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，一切投資者都

10、是風(fēng)險(xiǎn)中性的。2022/8/2437第四節(jié)Black-Scholes公式 .所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無(wú)論實(shí)踐風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只需求無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率報(bào)答。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：投資者進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界一切證券的預(yù)期收益率都可以等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。雖然風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但BS發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的一切情況。也就是說(shuō)，我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適宜于現(xiàn)實(shí)世界。2022/8/2438第四節(jié)Black-Scholes公式 .2022/8/2439第四節(jié)B

11、lack-Scholes公式 應(yīng)該留意的是：實(shí)踐期權(quán)買賣中，很多看漲期權(quán)是經(jīng)過(guò)競(jìng)價(jià)市場(chǎng)而非實(shí)際公式定價(jià)。.第四節(jié)Black-Scholes公式 習(xí)題：假設(shè)某日某股票的相關(guān)數(shù)據(jù)如下，求V2022/8/2440.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 一、修正的模型主要思緒：讓模型定價(jià)等于市價(jià)2022/8/2441資產(chǎn)組合：a股價(jià)錢為S0的股票現(xiàn)金b那么投資額為： 5-11經(jīng)過(guò)時(shí)間后，投資的資金將變?yōu)椋?2022/8/2442第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 5-12用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 貼現(xiàn)得于是.2022/8/2443第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 對(duì)式5-12兩邊求期望，

12、那么假設(shè)以下條件成立那么 5-13 5-14由此，即使a值變化，上式總是成立。.2022/8/2444第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 采用股價(jià)模型替代真正股價(jià)，方差堅(jiān)持不變 ，且滿足下式于是對(duì)于任何用來(lái)復(fù)制的投資組合，存在下式如今的問(wèn)題是，能否存在這樣的？.2022/8/2445第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 假設(shè)令 5-15于是.2022/8/2446第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 即為什么？因此，修正的股價(jià)模型為： 5-16.2022/8/2447第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 修正模型看上去與GBM模型非常接近，但其與股價(jià)模型是完全不同的模

13、型，由于該模型中股價(jià)的增長(zhǎng)率被人為設(shè)低了。.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 二、期望值對(duì)歐式看漲期權(quán)：2022/8/2448將式5-16代入得.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 2022/8/2449假設(shè)那么用于是.2022/8/2450第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 根據(jù)期望的概念如何求積分？.三、兩個(gè)積分2022/8/2451第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 由求得.2022/8/2452第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 將上述積分展開(kāi)成兩部分第二部分.2022/8/2453第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 第一部分.2022

14、/8/2454第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 變量代換，那么 .2022/8/2455第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 所以積分式的第二項(xiàng)等于將上述第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果代入，得.2022/8/2456第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 其中.第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來(lái)收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。一切的利率都運(yùn)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：包括期望值的貼現(xiàn)率和對(duì)數(shù)正態(tài)分布中的期望收益率。 要求解這個(gè)方程，關(guān)鍵在于到期的股票價(jià)錢ST，我們知道它服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其中一切的利率運(yùn)用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，因

15、此，2022/8/2457.上式的右邊求值是一個(gè)積分過(guò)程，求得：Nx為規(guī)范正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)即這個(gè)變量小于x的概率。這就是無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 2022/8/2458第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) . 首先，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說(shuō)是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。因此，這個(gè)公式就是未來(lái)收益期望值的貼現(xiàn)。2022/8/2459第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) .第五節(jié)Black-Schole

16、s公式的推導(dǎo) 其次， 是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中股票的數(shù)量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是復(fù)制買賣戰(zhàn)略中負(fù)債的價(jià)值。最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)Asset-or-noting call option多頭和現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)cash-or-nothing option空頭，SN(d1)是資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 2022/8/2460.資產(chǎn)或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)錢，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；假設(shè)高于執(zhí)行價(jià)錢，那么該期權(quán)支付一個(gè)等于資產(chǎn)價(jià)

17、錢本身的金額，因此該期權(quán)的價(jià)值為e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢在到期時(shí)低于執(zhí)行價(jià)錢，該期權(quán)沒(méi)有價(jià)值；假設(shè)高于執(zhí)行價(jià)錢，那么該期權(quán)支付1元， 由于期權(quán)到期時(shí)價(jià)錢超越執(zhí)行價(jià)錢的概率為N(d2) ，1份現(xiàn)金或無(wú)價(jià)值看漲期權(quán)的現(xiàn)值為-e-r(T-t)N(d2) 。2022/8/2461第五節(jié)Black-Scholes公式的推導(dǎo) .2022/8/2462第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)歐式看漲期權(quán)的價(jià)錢與歐式看跌期權(quán)的價(jià)錢有關(guān)假設(shè)賣空一份帶拋補(bǔ)的看漲期權(quán)以S 的價(jià)錢買入一股股票以C 的價(jià)錢賣出一份看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)為X同時(shí)又買了一份價(jià)錢為P 的看跌期權(quán)，執(zhí)

18、行價(jià)為X到期時(shí)間和執(zhí)行價(jià)與看漲期權(quán)一樣.2022/8/2463第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)那么當(dāng)期于是.2022/8/2464第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià) 對(duì)于具有與歐式看漲期權(quán)定價(jià)一樣參數(shù)的歐式看跌期權(quán)定價(jià)平價(jià)公式將歐式看漲期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes公式代入，得：即.第六節(jié)看漲期權(quán)與看跌期權(quán)平價(jià)t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9賣武鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證（執(zhí)行價(jià)2.9元）C2.9-ST2.9-ST0買武鋼股票-S0STSTST買武鋼認(rèn)沽權(quán)證（執(zhí)行價(jià)3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入現(xiàn)金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9現(xiàn)金流C-P-S0+2.

19、9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/8/2465.2022/8/2466附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2467命題1:對(duì)于0,T 上具有一樣執(zhí)行價(jià)錢q的歐式和美式期權(quán)，存在附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2468命題2:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2469命題3:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2470命題4:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2471推論1:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么美式看漲

20、期權(quán)不應(yīng)提早執(zhí)行。推論2:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，對(duì)于一樣執(zhí)行價(jià)錢和一樣到期日的美式和歐式看漲期權(quán)存在：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2472命題5:在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，假設(shè)在美式看跌期權(quán)有效的有效期內(nèi)的某個(gè)存在那么該美式看跌期權(quán)應(yīng)該在時(shí)辰執(zhí)行。附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2473命題6:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)錢滿足：習(xí)題:假設(shè)看漲和看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)不同，那么這一關(guān)系該如何表達(dá)？附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2474命題7:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票無(wú)紅利配發(fā)，那么美式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)錢滿足：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2475命題8:假設(shè)在0,T 上，相應(yīng)的股票有紅利配發(fā)，記：附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2476附：期權(quán)的簡(jiǎn)單特征.2022/8/2477命題9:假設(shè)標(biāo)的股票