材料力學(xué)第八章-簡(jiǎn)單超靜定問題

1、第八章簡(jiǎn)單超靜定問題8-1 概述8-2 拉壓超靜定問題目 錄8-3 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力8-4 扭轉(zhuǎn)超靜定問題8-5 簡(jiǎn)單超靜定梁8-1 概述未知力數(shù)：2個(gè)獨(dú)立方程數(shù)：2個(gè)僅靠靜力平衡方程就能把結(jié)構(gòu)的約束反力和內(nèi)力解出的問題稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。未知力數(shù)：3個(gè)獨(dú)立方程數(shù)：2個(gè)求不出僅靠靜力平衡方程不能求出全部約束反力和內(nèi)力的問題稱為超靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。多余約束多余未知力（冗力）超靜定次數(shù)：未知力數(shù)與方程數(shù)之差（多余約束或多余未 知力的數(shù)目）超靜定解法平衡方程+補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程的關(guān)鍵：根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程），再由物理方程（胡克定律），

2、最后得到補(bǔ)充方程。為了求出超靜定結(jié)構(gòu)的全部未知力，除了利用平衡方程以外，還必須尋找補(bǔ)充方程，且使補(bǔ)充方程的數(shù)目等于多余未知力的數(shù)目。超靜定解法：例8-1 設(shè)桿系結(jié)構(gòu)如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：l1=l2 =l 、 l3 ；各桿面積為A1=A2=A、 A3 ；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。CFABD123FAFN1FN3FN2解： 平衡方程（1）（2）8-2 拉壓超靜定問題幾何方程（繪變形圖）物理方程胡克定律補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。（1）（2）（3）聯(lián)立求解得:CABD123A1（3）CFABD123討論：（1）在超靜定桿系中，各桿的軸力和該桿的拉壓剛度

3、與其他桿的拉壓剛度的比值有關(guān)。（2）若E1 A1，則FN1 ；若E3 A3，則FN3 。即桿系中任一桿的拉壓剛度的改變都將引起桿系各軸力的重新分配。（3）以上兩個(gè)特點(diǎn)在超靜定桿系存在，靜定桿系中是不存在的。解超靜定桿系的步驟（1）根據(jù)分離體的平衡條件，建立獨(dú)立的平衡方程。（2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立變形幾何方程。（3）利用胡克定律，將變形幾何方程改寫成補(bǔ)充方程。（4）將補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解。例 8-2已知：F， A ，E 。求：A、B兩端的支座反力。解：（1）列平衡方程（2）變形幾何方程只有一個(gè)平衡方程，一次超靜定（3）物理方程（胡克定律）（4）建立補(bǔ)充方程，解出約束反力由(1)和（2）

4、聯(lián)立可得：另解：設(shè)想將B端的約束解除，代之以反力FB，原結(jié)構(gòu)就變成A端固定、B端自由、受F和FB共同作用的靜定結(jié)構(gòu)（原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)結(jié)構(gòu)）。位移條件：即：解得： 如圖所示桿系結(jié)構(gòu)中AB桿為剛性桿，1、2桿剛度為EA，載荷為F，求1、2桿的軸力。例 8-3解：（1）靜力平衡方程（2）變形幾何方程及物理方程 FBACDFAxFAy（3）補(bǔ)充方程FBAl12CDaaa得（1）（2）（4）聯(lián)立（1）（2）求解 如圖所示桿系結(jié)構(gòu)中AC桿為剛性桿，1、2、3桿剛度為EA，載荷為F，求1、2、3桿的軸力。例 8-4解：（1）靜力平衡方程（2）變形協(xié)調(diào)方程及物理方程 （4）聯(lián)立求解FBAl12Caaa/23DFB

5、ACD（3）補(bǔ)充方程另解：把力F移動(dòng)到B得到一個(gè)力和力偶FBAl12Caaa/23DFBACFBAl12Caaa/23D 在力F作用下，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載也對(duì)稱的，即內(nèi)力和位移都是對(duì)稱的。由此可以直接得出三桿軸力 在力m作用下，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載反對(duì)稱的，即內(nèi)力和位移都是反對(duì)稱的。mBAC由疊加法得例8-5 木制短柱的四角用四個(gè)40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為1=160MPa和2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求許用載荷F。FF4FN1FN2幾何方程物理方程及補(bǔ)充方程：解：平衡方程:角鋼面積由型鋼表查得: A1=3.086cm2 解平衡方程和

6、補(bǔ)充方程，得:求結(jié)構(gòu)的許用載荷FF4FN1FN2FBACDFAxFAyFBAl12CDaaa 如圖所示桿系結(jié)構(gòu)中AB桿為剛性桿，1、2桿剛度為EA，載荷為F，求1、2桿的軸力。練習(xí)解：（1）靜力平衡方程（2）變形協(xié)調(diào)方程 （3）物理方程聯(lián)立上面的方程可以求得 如圖所示桿系結(jié)構(gòu)中AB桿為剛性桿，寫出結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)方程。練習(xí)FBAl112CDaaal2分 析8.3裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力CAB12裝配后僅是幾何形狀略有變化，兩桿內(nèi)均不會(huì)因裝配而產(chǎn)生內(nèi)力和應(yīng)力。桿的實(shí)際長(zhǎng)度尺寸和設(shè)計(jì)尺寸間可能存在誤差。如圖所示的靜定桿系中，AC桿的長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)尺寸短了。但在超靜定桿系中，由于多余約束的存在，長(zhǎng)度尺寸上的誤差

7、使得裝配發(fā)生困難，裝配后將使桿內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)力和應(yīng)力。設(shè)壓力為FN，則則壓應(yīng)力為這種由于裝配而引起的應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力。（初應(yīng)力）*AAFN1FN3FN2解（1）平衡方程（1）（2）例8-6 圖示桿系中，各桿的材料均為Q235鋼，彈性模量E=200GPa，各桿橫截面面積均為A，角 。若3桿的長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度l短了 ，試計(jì)算各桿的裝配應(yīng)力。123A123（2）變形幾何方程（3）物理方程（4）補(bǔ)充方程（3）（5）聯(lián)立(1)、(2)、(3)求解(壓力)(拉力)(壓應(yīng)力)(拉應(yīng)力)例8-7 火車車輪通常由鑄鐵輪心和套在輪心上的鋼制輪箍?jī)刹糠纸M成。輪箍： ；輪心： ， 。裝配時(shí)將輪箍加熱膨脹后套于輪心上，冷卻后

8、二者相互緊壓。輪心的剛度遠(yuǎn)大于輪箍，在假設(shè)輪心為一剛體的情況下，求裝配后輪箍和輪心間的裝配壓力p和輪箍徑截面上的正應(yīng)力。輪心輪箍熱套冷卻后輪箍熱套冷卻后解（1）平衡方程（2）變形幾何方程圓周伸長(zhǎng)：（1）（2）（3）物理方程微段伸長(zhǎng)圓周總伸長(zhǎng)（3）（4）補(bǔ)充方程令（2）=（3）在超靜定桿系中，由于多余約束的存在，各桿因溫度改變而引起的縱向變形要受到相互制約，在桿內(nèi)就要產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力或熱應(yīng)力。平衡方程：變形幾何方程：物理方程（線膨脹定律和胡克定律）：求得：溫度應(yīng)力：（壓應(yīng)力）例8-8 圖示超靜定桿系中，三桿的彈性模量均為E，線膨脹系數(shù)均為 ，橫截面面積均為A。試求溫度升高 度時(shí)，三

9、桿的溫度應(yīng)力。AFN1FN3FN2解（1）平衡方程（1）（2）（2）變形幾何方程及物理方程123（3）補(bǔ)充方程（3）（4）聯(lián)立求解AFN1FN3FN2123(壓力)(壓應(yīng)力)(拉力)(拉應(yīng)力)例8-9 如圖所示的階梯形鋼圓桿，上段桿的直徑d1=50mm，長(zhǎng)度l1=700mm；下段桿的直徑d2=35mm，長(zhǎng)度l2=300mm。桿的上端固定，下端距剛性支座的間隙=0.15mm，材料的線膨脹系數(shù) ，彈性模量E=210GPa。試求溫度 時(shí)，兩段桿的溫度應(yīng)力。解：若解除桿下端的剛性支座，則溫度上升后桿的伸長(zhǎng)變形為lt。當(dāng)lt 時(shí)，下端支座的約束反力FR將使桿產(chǎn)生縮短變形lF。根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件得到變形幾何方程為其中：（補(bǔ)充方程）例8-10 圖示結(jié)構(gòu)中，1、2兩桿的拉壓剛度均為EA，長(zhǎng)度均為l，加工時(shí)1桿的長(zhǎng)度短了e（ e l），AB為剛性桿。裝配后，再施加荷載F。求1、2桿