矩陣特征值方法研究與初探

1、ANYANG INSTITUTE OF TECHNOLOGY 本 科 畢 業(yè) 論 文 矩陣特征值的計(jì)算方法初探Study on calculation method of the matrix feature學(xué) 院： 數(shù)理學(xué)院 專(zhuān)業(yè)班級(jí)： 信息與計(jì)算科學(xué)09-1 學(xué)生姓名： 王江朋 學(xué) 號(hào)： 200911010004 指導(dǎo)教師姓名： 劉肖云 指導(dǎo)教師職稱(chēng)： 講師 2013年5 月畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個(gè)人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果.盡我所知，除文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公

2、布過(guò)的研究成果，也不包含我為獲得安陽(yáng)工學(xué)院及其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或?qū)W歷而使用過(guò)的材料.對(duì)本研究提供過(guò)幫助和做出過(guò)貢獻(xiàn)的個(gè)人或集體，均已在文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意.作 者 簽 名： 日 期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 使用授權(quán)說(shuō)明本人完全了解安陽(yáng)工學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的規(guī)定，即：按照學(xué)校要求提交畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)；學(xué)?？梢圆捎糜坝?、縮印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉?jī)?nèi)容.作者簽名： 日 期： 矩陣特征的計(jì)算方法初探摘要：矩陣是主要的研

3、究工具，而且在很多領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用.矩陣的特征值是矩陣應(yīng)用的一個(gè)重點(diǎn)之一，在科學(xué)研究方面具有重要的地位.進(jìn)行矩陣特征值的討論可以直接用來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題.矩陣特征的計(jì)算方法初探，引入矩陣的定義以及性質(zhì)，主要介紹了矩陣的普通矩陣特征值的求法和求解矩陣的一些其他優(yōu)化方法.其中求解矩陣的普通方法包括傳統(tǒng)的求法以及初等變換求矩陣的特征值方法；其他的一些優(yōu)化方法包括冪法、反冪法、Jacobi方法、QR方法.在實(shí)際的求解矩陣特征值的問(wèn)題，根據(jù)矩陣的不同特點(diǎn)，選擇最快速的方法求解，從而達(dá)到最優(yōu)化解決實(shí)際問(wèn)題.關(guān)鍵詞：矩陣 矩陣特征值 冪法 反冪法 Jacobi方法 QR方法Study on calcula

4、tion method of the matrix featureAbstract ：The matrix is the main research tool, and has very important application in many fields. The eigenvalue of the matrix is one of the key matrix application, has the important status in the fields of scientific research. Discussion of matrix eigenvalues can b

5、e directly used to solve practical problems. Calculation of matrix characteristic, introducing the definition of matrix and properties, mainly introduces the common matrix eigenvalue matrix value calculation methods and some other optimization method for solving matrix. One common method for solving

6、 matrix eigenvalue approach method including traditional and elementary transformation matrix; some other optimization approaches including power method, inverse method, QR method, Jacobi method. In solving the matrix characteristics of practical value of the problem, according to different characte

7、ristics of matrix, solving method to select the most quickly, so as to achieve the optimization to solve practical problems.Key words：matrix matrix eigenvalue power method inverse power method Jacobi method QR method目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc356730701 第1章 矩陣特征值的定義以及性質(zhì) PAGEREF _Toc356730701

8、h 2 HYPERLINK l _Toc356730702 1.1 矩陣特征值與特征向量的定義 PAGEREF _Toc356730702 h 2 HYPERLINK l _Toc356730703 1.2 矩陣特征值的性質(zhì) PAGEREF _Toc356730703 h 2 HYPERLINK l _Toc356730704 第2章 普通矩陣特征值的求法 PAGEREF _Toc356730704 h 2 HYPERLINK l _Toc356730705 2.1 傳統(tǒng)方法 PAGEREF _Toc356730705 h 2 HYPERLINK l _Toc356730706 2.2 初等變

9、換求矩陣的特征值 PAGEREF _Toc356730706 h 3 HYPERLINK l _Toc356730707 第3章 求解矩陣特征值的其他優(yōu)化方法 PAGEREF _Toc356730707 h 4 HYPERLINK l _Toc356730708 3.1 冪法 PAGEREF _Toc356730708 h 4 HYPERLINK l _Toc356730709 3.2 冪法 PAGEREF _Toc356730709 h 10 HYPERLINK l _Toc356730710 3.3 Jacobi方法 PAGEREF _Toc356730710 h 11 HYPERLINK

10、 l _Toc356730711 3.4 QR方法 PAGEREF _Toc356730711 h 15 HYPERLINK l _Toc356730712 結(jié)論 PAGEREF _Toc356730712 h 19 HYPERLINK l _Toc356730713 致謝 PAGEREF _Toc356730713 h 20 HYPERLINK l _Toc356730714 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc356730714 h 21 HYPERLINK l _Toc356730715 附錄 PAGEREF _Toc356730715 h 21引言1 課題的主要內(nèi)容隨著電子計(jì)算機(jī)的普及和

11、記憶電子技術(shù)的迅猛發(fā)展，矩陣特征值的計(jì)算越來(lái)越被從事計(jì)算數(shù)學(xué)的人們所關(guān)注，在現(xiàn)有的經(jīng)典Jacobin算法、QR算法的基礎(chǔ)上，出現(xiàn)了一些新的計(jì)算方法，還有一些實(shí)在這積累算法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，都有很大的實(shí)用性.本文首先介紹矩陣特征值的概念，接著引出求特征值的普通使用的常規(guī)方法，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的新方法，對(duì)各種方法進(jìn)行適用性及復(fù)雜性的比較，最后在不同的分類(lèi)矩陣問(wèn)題上探索矩陣特征值的最佳方法，運(yùn)用于實(shí)際的求解問(wèn)題當(dāng)中.2 課題的目的和意義本文通過(guò)對(duì)矩陣特征值的概念的引入，給出一些特征值的方法.根據(jù)不同的矩陣，探討不同種類(lèi)的矩陣，探討能夠運(yùn)用最合適的方法進(jìn)行特征值的求解，使得在以后的學(xué)習(xí)中，對(duì)矩陣的計(jì)

12、算方法的問(wèn)題上能夠靈活的運(yùn)用各種方法.矩陣特征值的問(wèn)題在許多領(lǐng)域的研究有重要的地位，是高等代數(shù)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是一個(gè)基礎(chǔ)性的知識(shí)，所以熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論和計(jì)算方法是非常必要的矩陣特征值問(wèn)題不僅可直接解決數(shù)學(xué)中諸如非線性規(guī)劃、優(yōu)化、常微分方程，以及各種數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題，而且在結(jié)構(gòu)力學(xué)、工程設(shè)計(jì)、計(jì)算物理和量子力學(xué)中具有重要作用，目前矩陣特征值問(wèn)題的應(yīng)用大多來(lái)自解數(shù)學(xué)物理方程、差分方程等.正因?yàn)樗哂兄匾饬x和廣泛的應(yīng)用，所以矩陣特征值問(wèn)題是當(dāng)前國(guó)內(nèi)外高性能計(jì)算機(jī)的主要任務(wù)之一.第1章 矩陣特征值的定義以及性質(zhì) 矩陣特征值與特征向量的定義設(shè)是階方陣，如果存在數(shù)和非零維列向量，使得成

13、立，則稱(chēng)是 的一個(gè)特征值或本征值.非零維列向量x稱(chēng)為矩陣的屬于（對(duì)應(yīng)于）特征值的特征向量或本征向量，簡(jiǎn)稱(chēng)A的特征向量或的本征向量. 矩陣特征值的性質(zhì)設(shè)為的特征值, 且，則有 為的特征值(c0為常數(shù))； 為的特征值，即； 為的特征值，即 ； 設(shè)為非奇異矩陣，那么, 且為的特征值，即 .第2章 普通矩陣特征值的求法2.1 傳統(tǒng)方法求解矩陣特征值的傳統(tǒng)方法，即求解，等價(jià)于求，使得，其中是單位矩陣，0為零矩陣.，求得的值即為的特征值.是一個(gè)次 HYPERLINK :/baike.baidu /view/613580.htm t _blank 多項(xiàng)式，它的全部根就是階方陣的全部特征值.例：求矩陣的特征值

14、解所以由知道的特征根，2.2 初等變換求矩陣的特征值下面是矩陣的三種變換（1）互換兩列，同時(shí)互換兩行；（2）第列乘以非零數(shù),同時(shí)第行乘；（3）第列倍數(shù)加到第列，同時(shí)第行倍加到第行.推論1： 對(duì)任一個(gè)階復(fù)矩陣 , 則一定存在一系列初等矩陣, 使得為一個(gè)上三角矩陣.定理：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.證明: 設(shè), 為兩個(gè)階矩陣, 若, 則存在可逆矩陣, 使得,因而有推論2 : 相似矩陣有相同的特征值.例：求的特征值解：所以特征值，第3章 求解矩陣特征值的其他優(yōu)化方法傳統(tǒng)方法對(duì)于很小時(shí)是可以的.但當(dāng)稍大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的速度增大且由于計(jì)算帶有誤差，特征方程的求解就很困難了.這時(shí)我們就需要一些其他

15、方法求解矩陣特征值. 冪法冪法是一種計(jì)算矩陣主特征值(矩陣按模最大的特征值)以及對(duì)應(yīng)特征向量的迭代法，設(shè)矩陣有一個(gè)完備的特征向量組，其特征值為，相應(yīng)的特征向量為，.已知A的主特征值都是實(shí)根，且滿足條件冪方法的基本思想是任意取一個(gè)非零的初始值向量，由矩陣A構(gòu)造一向量序列稱(chēng)為迭代向量.由假設(shè)，可表示為（設(shè)）于是其中=，由假設(shè)，故，從而這說(shuō)明序列越來(lái)越接近A的相對(duì)應(yīng)的特征向量，或者說(shuō)當(dāng)k充分大時(shí)，及，即迭代向量為的特征向量的相似向量(除了一個(gè)因子外).下面再考慮主特征值的計(jì)算，再用表示的第個(gè)分量，則，故也就說(shuō)明兩相鄰迭代向量的比值收斂到主特征值.這種由一直非零向量以及矩陣A的冪乘構(gòu)造向量序列以計(jì)算A

16、的主特征值以及相應(yīng)特征向量的方法稱(chēng)為冪法在上述同等條件下，冪法可以這樣進(jìn)行：取一初始向量，構(gòu)造向量序列： 其中中表示向量的絕對(duì)值最大的分量.由上面的式子可以得到： 所以求解矩陣的主特征值就只需要求解就行了.例：用冪法求解的主特征值 解，取初值向量K5(0.7651,0.6674,1)10(0.7494,0.6508,1)15(0.7483,0.6497,1)20(0.7482,0.6497,1)矩陣A的主特征值冪法的加速方法：原點(diǎn)平移法應(yīng)用冪法計(jì)算A的主特征值的收斂速度主要由比值 來(lái)決定，但當(dāng)接近于1時(shí)，收斂可能很慢. 這時(shí)，一個(gè)補(bǔ)救辦法是采用加速收斂的方法. 引進(jìn)矩陣 其中為參數(shù)，設(shè)的特征值

17、為，則對(duì)矩陣B的特征值為，而且, 的特征向量相同如果要計(jì)算的主特征值, 只要選擇合適的數(shù)，使為矩陣 的主特征值，且 那么，對(duì)矩陣應(yīng)用冪法求其主特征值 收斂速度將會(huì)加快. 這種通過(guò)求的主特征值和特征向量，而得到的主特征值和特征向量的方法叫原點(diǎn)平移法. 對(duì)于的特征值的某種分布，它是十分有效的. 例： 設(shè)有特征值，比值. 做變換, 則的特征值為.應(yīng)用冪法計(jì)算的主特征值的收斂速度的比值為雖然常常能夠選擇有利的值, 使冪法得到加速, 但設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)選擇適當(dāng)參數(shù)的過(guò)程是困難的.下面考慮當(dāng)?shù)奶卣髦凳菍?shí)數(shù)時(shí)，怎樣選擇使采用冪法計(jì)算得到加速設(shè)的特征值都是實(shí)數(shù)，且滿足則不管如何，的主特征值為或.當(dāng)希望計(jì)算及時(shí)，首

18、先應(yīng)選擇使 且使收斂速度的比值顯然，當(dāng)時(shí)，即時(shí)為最小值，這時(shí)收斂速度的比值為當(dāng)A的特征值都是實(shí)數(shù)，滿足且,能初步估計(jì)出來(lái)，我們就能確定的近似值.當(dāng)希望計(jì)算時(shí)，應(yīng)選取使得應(yīng)用冪法計(jì)算得到加速例：用原點(diǎn)平移加速法求矩陣的主特征值解，.對(duì)應(yīng)用冪法，仍取 , 則迭代5步的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表 k12,40.5,1,27,140.5,1, 36.76, 13.5179, 0.5, 1, 46.7503, 13.5007, 0.5,1, 56.7500, 13.5000, 0.5,1,可得到的主特征值為,因此，的主特征值為 冪法反冪法用來(lái)計(jì)算矩陣按模計(jì)算最小值及其特征向量，也可以用來(lái)計(jì)算對(duì)應(yīng)一個(gè)給定近似特征值的

19、特征向量設(shè)為非奇異矩陣，A的特征值依次記，相應(yīng)的特征向量為，.則的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，.因此計(jì)算A的按模最小的特征值的問(wèn)題就是計(jì)算的按摩最大的特征值的問(wèn)題.對(duì)于引用冪法迭代（稱(chēng)反冪法），可求得矩陣的主特征值，從而求得A的按摩最小的特征值.反冪法迭代公式為：取任意初始向量，構(gòu)造向量序列迭代向量可以通過(guò)解線性方程求得 Jacobi方法吉文斯變換： 設(shè)，則變換，或者是平面向量的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換，其中為正交矩陣中的變換，其中，而稱(chēng)為中平面的旋轉(zhuǎn)變換，也稱(chēng)吉文斯變換稱(chēng)為平面旋轉(zhuǎn)矩陣.設(shè)為對(duì)稱(chēng)矩陣，為一平面旋轉(zhuǎn)矩陣，則的元素計(jì)算公式為：而且不難驗(yàn)證定理：設(shè)為對(duì)稱(chēng)矩陣，若，為正交矩陣，則.證明：設(shè)為的特

20、征值，則另外，矩陣的特征值也是，因此得證設(shè)的非對(duì)角元素，我們可選擇平面旋轉(zhuǎn)矩陣，使得的非對(duì)角元素.為此，由矩陣元素的計(jì)算公式可是，可選擇，使得如果表示的對(duì)角線平方和，用表示的非對(duì)角線的平方和，則對(duì)由，和定理得到，這說(shuō)明的對(duì)角元素的平方和比的對(duì)角元素的平方和增加了，而的非對(duì)角元素的平方和減少了，這就是Jacobi方法求矩陣特征值的依據(jù)下面介紹Jacobi方法的計(jì)算過(guò)程先在中選擇非對(duì)角元中絕對(duì)值最大的.可設(shè)，否則已經(jīng)對(duì)角化了.可由選擇平面旋轉(zhuǎn)矩陣，使得的元素.計(jì)算出，再類(lèi)似的選擇，計(jì)算,繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，連續(xù)對(duì)旋行一系列平面變換消除非對(duì)角線絕對(duì)值最大的元素，直到將的非對(duì)角線元素全化為充分小為止.定理：

21、 設(shè)為對(duì)稱(chēng)矩陣，施行上述一系列平面旋轉(zhuǎn)變換則有.證明：設(shè)，由于，則反復(fù)利用上式，即可得到因此設(shè)m充分大時(shí)候，有為對(duì)角陣，則的對(duì)角線元素就是的吉斯特征值例：用Jacobi方法求的特征值.解，先取則有，所以，再取可得，連續(xù)重復(fù)可得則的近似特征值已經(jīng)求出 3.4 QR方法QR算法是計(jì)算中小型矩陣的全部特征值最有效方法. 理論原理：任一非奇異實(shí)矩陣都可分解成一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對(duì)角元符號(hào)取定時(shí)，分解是唯一的.QR方法的基本思想是利用矩陣的QR分解通過(guò)迭代格式將化成相似的上三角矩陣，從而求出矩陣的全部特征值.由，即.于是，即與相似.同理可知，即與相似.目前QR方法主要用來(lái)計(jì)

22、算上海森伯格矩陣的全部特征值以及對(duì)稱(chēng)三角矩陣全部特征值的問(wèn)題.對(duì)于一般矩陣 (或?qū)ΨQ(chēng)矩陣)，則首先用豪斯霍爾德方法將化為上海森伯格陣 (或?qū)ΨQ(chēng)三對(duì)角陣)，然后再用方法計(jì)算的全部特征值.設(shè)，且對(duì)進(jìn)行分解，即其中為上三角陣, 為正交陣, 于是可得到一新矩陣顯然，是由經(jīng)過(guò)正交相似變換得到，因此與的特征值相同. 再對(duì)進(jìn)行分解，又可得一新矩陣,重復(fù)這一過(guò)程可得到矩陣序列：設(shè) 將進(jìn)行分解作矩陣 算法，就是利用矩陣的分解，按上述遞推法則構(gòu)造矩陣序列的過(guò)程. 只要為非奇異矩陣，則由算法就完全確定.定理：（基本方法）設(shè)，構(gòu)造算法：記，則有（1）相似于，即（2）（3）的分解式為證明：（1），（2）顯然，證明（3）

23、.用歸納法，顯然當(dāng)時(shí)有，設(shè)有分解式，于是將進(jìn)行分解，即將用正交變換化為上三角矩陣.，其中,所以這就是說(shuō)可由按下述方法求得：左變換（上三角陣）；右變換.例：. 解，矩陣，取即為與相似的上三角矩陣，將進(jìn)行分解記,.于是再取于是第一次迭代得重復(fù)上述過(guò)程11次得到，結(jié)論本文中，第一張介紹了矩陣特征值的定義以及矩陣特征值的一些主要的性質(zhì)，為下面介紹矩陣特征值的求法做了鋪墊，第二章主要通過(guò)介紹求解矩陣特征值的傳統(tǒng)方法以及行列式變換法，這兩種方法適用于低階簡(jiǎn)單的矩陣特征值的計(jì)算，第三章中，羅列了一些求矩陣特征值其他算法，包含了乘冪法，反乘冪法，Jacobi方法，和QR方法.矩陣的理論和計(jì)算博大精深，在這里我

24、只是簡(jiǎn)單的做了一些探求.致謝本論文是在導(dǎo)師劉肖云的悉心指導(dǎo)下完成的.導(dǎo)師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)以律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn).不僅使我樹(shù)立了遠(yuǎn)大的學(xué)術(shù)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理.本論文從選題到完成，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血.在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！ 本論文的順利完成，離不開(kāi)各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助.參考文獻(xiàn)1徐樹(shù)方. 矩陣計(jì)算的理論與方法M . 北京: 北京大學(xué)出版社, 1995.2張凱院 徐仲.數(shù)值代數(shù)(第二版): 科學(xué)出版社3北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 1995. 高等代數(shù)(第二版). 北京：高等教育出版社4蔡大用. 1987. 數(shù)值代數(shù). 北京：清華大學(xué)出版社5蔡大用, 白峰衫. 1997. 高等數(shù)值分析. 北京：清華大學(xué)出版社6解學(xué)書(shū). 1986. 最優(yōu)控制. 北京：清華大學(xué)出版社7古以熹.矩陣特征值的分布J.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1994，4；501-5118逄明賢.矩陣譜論.長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社1989,479Golub G.H.,Van