常系數(shù)高階齊次線性微分方程

1、關(guān)于常系數(shù)高階齊次線性微分方程第一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式第二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標準形式(2)的特征方程第三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法將其代入上方程, 得故有特征方程特征根第四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 有兩個

2、相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月解特征方程為解得故所求通解為例2第十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征根對應(yīng)的特解注1、n次代數(shù)方程恰有n個根。2、屬于不同特征根的解線性無關(guān)。第十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作

3、于2022年6月注意n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項, 且每一項各一個任意常數(shù).第十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月特征根為故所求通解為解特征方程為例3第十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解. (見下表)第十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題求微分方程 的通解.第十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答令則特征根通解第十七張，PPT共三十頁

4、，創(chuàng)作于2022年6月練 習 題第十八張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月練習題答案第十九張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月微分方程的應(yīng)用題第二十張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1. 某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多？注: kg表示千克，km/h表示千米/小時.第二十一張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月 【分析】 本

5、題是標準的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可?！窘?】 由題設(shè)，飛機的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度從飛機接觸跑道開始記時，設(shè)t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得又第二十二張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月由以上兩式得 積分得 由于故得從而 當時 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.第二十三張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .兩邊求導得解解此微分方程第二十四張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月所求曲線為第二十五張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月答:第二十六張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 拋物線的光學性質(zhì)實例: 車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖第二十七張，PPT共三十頁，創(chuàng)作于2022年6月得微分方程由夾角正切公式得第二十八張，PPT