自動控制理論-典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1、第二節(jié) 典型環(huán)節(jié)與開環(huán)頻率特性8/23/20221實(shí)頻特性 ： ；虛頻特性： ；ReImK 比例環(huán)節(jié)： ;幅頻特性： ；相頻特性： 比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn)。一、奈奎斯特圖8/23/20222積分環(huán)節(jié)的奈氏圖頻率特性：ReIm 積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率w從0特性曲線由虛軸的趨向原點(diǎn)。8/23/20223慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：8/23/20224慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖極坐標(biāo)圖是一個圓，對稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個圓對應(yīng)于正頻率局部，而上半個圓對應(yīng)于負(fù)頻率局部。8/23/20225實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 振蕩環(huán)節(jié)的

2、頻率特性：討論 時的情況。當(dāng)K=1時，頻率特性為：8/23/20226當(dāng) 時， ，曲線在3，4象限；當(dāng) 時，與之對稱于實(shí)軸。 振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)8/23/20227振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的根本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。8/23/20228 微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/20229 純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率w從0特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的+。8/23/202210一階微分環(huán)

3、節(jié)的奈氏圖 一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸直線。頻率w從0特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。8/23/202211二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性 二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：8/23/2022121極坐標(biāo)圖是一個圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：8/23/2022137、開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制繪制奈氏圖 開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不管那種形式，都可由下面的方法繪制。 使用MATLAB工具繪制。 將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成 或 的形式，根據(jù)不同的

4、 算出 或 可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連之為曲線。手工畫法?；蛑苯佑媒?jīng)驗(yàn)法繪制。繪制方法：8/23/202214例5-1設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為： 試列出實(shí)頻和虛頻特性的表達(dá)式。當(dāng) 繪制奈氏圖。解：當(dāng) 時， 找出幾個特殊點(diǎn)（比如 ，與實(shí)、虛軸的交點(diǎn)等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準(zhǔn)確，可以再算幾個點(diǎn)。8/23/202215 0-1.72-5.770 0-0.79 03.8510.80.20相角： -180-114.62 -90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。8/23/202216以下圖是用 Matlab工具繪制的奈氏圖。8/23/202217例5-2設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率

5、特性為：試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。解：分析1、當(dāng) 時，顯然，當(dāng) 時， 的漸近線是一條通過實(shí)軸 點(diǎn)，且平行于虛軸的直線。2、與實(shí)軸的交點(diǎn)。令： ，解得： ，這時：3、當(dāng) 時， ，漸近線方向向下。8/23/2022188/23/202219具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點(diǎn)：頻率特性可表示為：其相角為：當(dāng) 時，當(dāng) 時， 顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。8/23/202220以下圖為0型、型和型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（型）（型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性至于中頻局部，可計(jì)算一些特殊點(diǎn)的來確定。如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等。8/2

6、3/202221幅頻特性： ；相頻特性： 比例環(huán)節(jié)： ;對數(shù)幅頻特性： 相頻特性： 比例環(huán)節(jié)的bode圖二、對數(shù)頻率特性曲線波德圖，Bode圖8/23/202222 積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：積分環(huán)節(jié)的Bode圖可見斜率為20/dec 當(dāng)有兩個積分環(huán)節(jié)時，斜率為 -40/dec 8/23/202223慣性環(huán)節(jié)的Bode圖 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：對數(shù)幅頻特性： ，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當(dāng) 時， ，稱為低頻漸近線。高頻段：當(dāng) 時， ，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示 每增加10倍頻程下降20分貝）。 當(dāng) 時，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線

7、，當(dāng) 時，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點(diǎn)為： ，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率。 可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。8/23/202224慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實(shí)際曲線。8/23/202225慣性環(huán)節(jié)的Bode圖波德圖誤差分析實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差：當(dāng) 時，誤差為：當(dāng) 時，誤差為：最大誤差發(fā)生在 處，為wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.

8、2-0.048/23/202226 相頻特性： 作圖時先用計(jì)算器計(jì)算幾個特殊點(diǎn)：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于( w0, -45)點(diǎn)是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點(diǎn)。當(dāng)時間常數(shù)T變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76

9、-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.48/23/202227 振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論 時的情況。當(dāng)K=1時，頻率特性為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性幅頻特性為：相頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進(jìn)線的交點(diǎn) 稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。8/23/202228相頻特性：幾個特征點(diǎn)：由圖可見：對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于( w0, -90)點(diǎn)是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。振蕩環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202229對 求導(dǎo)并令等于零，可解得 的極值對應(yīng)的頻率 。該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當(dāng) 時， 。當(dāng) 時，無諧振峰值。當(dāng) 時，有諧振峰值

10、。諧振頻率，諧振峰值當(dāng) ， ， 。因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差。 8/23/202230振蕩環(huán)節(jié)的波德圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線。8/23/202231 微分環(huán)節(jié)的頻率特性： 微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/202232純微分環(huán)節(jié)的波德圖 純微分：8/23/202233 一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為相頻特性：幾個特殊點(diǎn)如下相角的變化范圍從0到 。低

11、頻段漸進(jìn)線：高頻段漸進(jìn)線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202234一階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202235幅頻和相頻特性為： 二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進(jìn)線：高頻漸進(jìn)線：轉(zhuǎn)折頻率為： ，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性8/23/202236二階微分環(huán)節(jié)的波德圖8/23/202237 延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖8/23/2022387、開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制繪制波德圖 開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后相加。8/2

12、3/202239例：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。解：該系統(tǒng)由四個典型環(huán)節(jié)組成。一個比例環(huán)節(jié)，一個積分環(huán)節(jié)兩個慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。8/23/202240 實(shí)際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線漸進(jìn)線組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。 確定 和各轉(zhuǎn)折頻率 ，并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上； 確定低頻漸進(jìn)線： ，就是第一條折線，其斜率為 ，過點(diǎn)（1，20logk）。實(shí)際上是k和積分 的曲線。具體步驟如下：8/23/202241 高頻漸進(jìn)線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。 相頻特性還是需要點(diǎn)點(diǎn)相加，才可畫出。遇到 （一階慣

13、性）時，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二階慣性）時，斜率下降-40dB/Dec; 畫好低頻漸進(jìn)線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到 （一階微分）時，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二階微分）時，斜率增加+40dB/Dec;8/23/202242例5-3系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。解：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則，2、低頻漸進(jìn)線：斜率為 ，過點(diǎn)（1，20）3、波德圖如下：8/23/202243紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。8/23/202244例5-4已知，試畫波德圖。解：1、2、低頻漸進(jìn)線斜率為 ，過（1，-60）點(diǎn)。4、畫出波德圖如下頁

14、：3、高頻漸進(jìn)線斜率為 ：8/23/202245紅線為漸進(jìn)線，蘭線為實(shí)際曲線。8/23/202246三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性 在前面所討論的例子中，當(dāng) 時，對數(shù)幅頻特性的高頻漸進(jìn)線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于 。具有這種特征的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。在最小相位系統(tǒng)中，具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的 。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。結(jié)論：在s右半平面上沒有零、極點(diǎn)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù)；反之為非最小相位系統(tǒng)。8/23/202247例有兩個系統(tǒng)，頻率特性分別為：轉(zhuǎn)折頻率都是：幅頻特性相同，均為：相頻特性不同，分別為：顯然， 滿足 的條件，是最小相位系統(tǒng)；而 不滿足 的條件，是非最小相位系統(tǒng)。可以發(fā)現(xiàn)：在右半平面有一個零點(diǎn)。8/23/202248最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng) 該兩個系統(tǒng)的波德圖如下所示：8/23/202249奈氏圖為：最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)8/23/202250 對于最小相