直觀實(shí)驗(yàn)邏輯推理幾何證明的教育價(jià)值-

1、直觀實(shí)驗(yàn)邏輯推理幾何證明的教育價(jià)值作者：田載今幾何課程改革歷來是數(shù)學(xué)教育改革的熱點(diǎn)問題之一，而對于推理證明的教學(xué)又是其中的焦點(diǎn)。在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，弱化了對于推理證明的要求，更多地讓學(xué)生通過直觀實(shí)驗(yàn)認(rèn)識圖形。這種處理，有利于讓學(xué)生體驗(yàn)圖形性質(zhì)的探索過程，但同時(shí)也在一定程度上降低了對于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。對于這個(gè)問題，數(shù)學(xué)教育界也存在著許多爭論。筆者在這里結(jié)合課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材的編寫，談?wù)剮缀谓虒W(xué)中直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理的關(guān)系，以更好的體現(xiàn)幾何證明的教育價(jià)值。一、幾何學(xué)的研究對象決定了其研究方法包括直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系與空間形式為主要研究對象的科學(xué)，幾何學(xué)是其中研究“形”的分支。幾

2、何學(xué)是人類的理性文明，是人類和大自然中的萬物共存于其中的空間的認(rèn)識論。形者，幾何圖形也。幾何圖形最初來自客觀世界中物體的形狀，但它們比客觀原型更典型、更純粹、更一般。例如，初升的太陽、十五的月亮、水中的波紋都能給人以圓的形象，而幾何中圓的定義是“到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合”，它是從太陽、月亮、波紋等具體的實(shí)物模型中抽象出集中刻畫圓的形狀特點(diǎn)的一般概念。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認(rèn)識圖形的初級階段中主要依靠形象思維。遠(yuǎn)古時(shí)期人們對幾何圖形的認(rèn)識始于觀察、測量、比較等直觀實(shí)驗(yàn)手段，現(xiàn)代兒童認(rèn)識幾何圖形亦如此，人們可以通過直觀實(shí)驗(yàn)了解幾何圖形，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。然而，因?yàn)閹缀螆D形本身具有抽象

3、性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，例如有無數(shù)種形狀不同的三角形。對一種幾何概念所包含的一部分具體對象進(jìn)行直觀實(shí)驗(yàn)所得到的認(rèn)識，一定適合其他情況嗎？這是直觀實(shí)驗(yàn)回答不了的問題。因此，一般地，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時(shí)，不能僅僅依靠直觀實(shí)驗(yàn)的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。再來看幾何學(xué)的發(fā)展歷史，古希臘和中國古代都得到了一些關(guān)于定量平面幾何的公式，如矩形、三角形的面積公式，勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理），相似三角形的比例式等，但兩者的基調(diào)和格局是迥然不同的。古希臘幾何學(xué)家注重推理，更多的依靠邏輯思維。正是如此，才產(chǎn)生了歐幾里得原本這樣的具有里程碑意義的重

4、要著作，也才會有無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)以及Eudoxus逼近原理和方法論這種分析學(xué)的原型的產(chǎn)生。中國古代的幾何學(xué)家研究幾何是為了實(shí)用，是唯用是尚的。在對于空間本質(zhì)的理解上，相比古希臘幾何學(xué)是相對落后了?！拔ㄓ檬巧?，則難見精深，所及不遠(yuǎn)”2。由此對比也可以看出，如果沒有邏輯推理，那么對圖形的認(rèn)識將難以深入。 事實(shí)上，如果只停留在直觀實(shí)驗(yàn)階段，而沒有邏輯推理，那么人們在認(rèn)識幾何圖形時(shí)，即使對一些比較明顯的規(guī)律也不能作出充分證實(shí)。例如，“三角形的兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊”這個(gè)看似簡單的規(guī)律是不能通過直觀實(shí)驗(yàn)證明的，因?yàn)閮芍本€無限長，怎么能實(shí)際考察它們是否永不相交呢？如果不認(rèn)識幾何學(xué)內(nèi)在的邏輯性，那么只能有限地

5、認(rèn)識一些關(guān)于圖形的零散表象，而不能認(rèn)識在圖形背后蘊(yùn)涵的許多實(shí)質(zhì)性內(nèi)容。二、培養(yǎng)邏輯思維能力是幾何教學(xué)的重要目標(biāo)之一人們通過學(xué)習(xí)幾何可以認(rèn)識豐富多彩的幾何圖形，建立與發(fā)展空間觀念，掌握必要的幾何知識，培養(yǎng)運(yùn)用這些知識認(rèn)識世界與改造世界的能力。但是，這些并不是幾何學(xué)的全部教育功能。從更深層次看，學(xué)習(xí)幾何學(xué)的一個(gè)重要的作用是：以幾何圖形為載體，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高理性思維水平。這正是自古希臘開始幾何教學(xué)一直倍受重視的主要原因。從實(shí)際需要看，一個(gè)普通人一生中運(yùn)用幾何知識的時(shí)間、場合，要比他應(yīng)該運(yùn)用邏輯思維的時(shí)間、場合少得多。前者在特定的環(huán)境下發(fā)生，而后者經(jīng)常地、普遍地出現(xiàn)，它的作用遠(yuǎn)比前者大得多。一

6、個(gè)人學(xué)過幾何后，如果不繼續(xù)從事與數(shù)學(xué)關(guān)系密切的學(xué)習(xí)或工作，他一生中有可能很少甚至不會用到在某個(gè)幾何定理，但是他肯定應(yīng)該經(jīng)常不斷地在不同程度上使用邏輯推理來分析問題。當(dāng)然，其他課程也可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，學(xué)習(xí)幾何學(xué)并不是實(shí)現(xiàn)此目的之唯一途徑。但是，長期以來幾何學(xué)被普遍認(rèn)為是適合培養(yǎng)邏輯思維能力的絕好課程是客觀事實(shí)。形成這種狀況的原因主要有：（1）幾何學(xué)的歷史悠久，學(xué)科體系成熟；（2）幾何學(xué)體系的邏輯性特點(diǎn)格外突出；（3）幾何學(xué)的研究對象是幾何圖形，結(jié)合幾何圖形，利用圖形語言，在一定程度上可以降低認(rèn)識和理解邏輯推理的難度。對于這個(gè)問題，許多數(shù)學(xué)家都有相同的觀點(diǎn)。筆者2002年初曾與幾位同事采

7、訪過數(shù)學(xué)大師陳省身先生，他也談了對于推理證明的看法：“學(xué)生應(yīng)該學(xué)會推理，推理很要緊，推理不僅在數(shù)學(xué)，在其他學(xué)問里也是要用到的。另外，一定要講歐氏幾何，從前歐幾里得幾何是整個(gè)教育的一部分，而不僅僅是數(shù)學(xué)的一部分。因?yàn)橥ㄟ^它可以使學(xué)生在簡單的情況下獵取一些推理。從幾何來講，沒有歐氏幾何就太麻煩了。整個(gè)數(shù)學(xué)就是建立在推理上的，所以數(shù)學(xué)厲害。推理出來的結(jié)果一定是對的，做個(gè)實(shí)驗(yàn)，機(jī)器不靈，材料不干凈結(jié)果可能不一樣，但推理是同一個(gè)結(jié)果?！敝麛?shù)學(xué)家楊樂院士說：“凡是從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的，都會對從中學(xué)學(xué)習(xí)幾何時(shí)受到的嚴(yán)格的邏輯思維訓(xùn)練有很深的體會，似乎很難找到別的東西來代替它對中學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯思維培

8、養(yǎng)。” 數(shù)學(xué)家谷超豪院士說：“數(shù)學(xué)成為各門科學(xué)可靠的工具，也正因?yàn)樗哂凶顕?yán)謹(jǐn)最嚴(yán)格的特性要學(xué)會嚴(yán)格推理是必須的，一定要逐步使學(xué)生適應(yīng)這種嚴(yán)格的推理方式，并且在書寫上能反映出來。特別是在幾何的教學(xué)上，一定要重視這種邏輯的演繹，這也是訓(xùn)練邏輯推理能力的有效方法，是要重視幾何教學(xué)的一個(gè)原因?！闭{(diào)查表明，不僅從事數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育的人有上述看法，在接受過中學(xué)教育的人中持這種觀點(diǎn)的也大有人在。長期的教學(xué)實(shí)踐證明：幾何學(xué)的教育功能中最有魅力之處，恰恰在于它可以在培養(yǎng)邏輯思維能力方面獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷。按照人的一般認(rèn)知規(guī)律，認(rèn)識幾何圖形的過程，也是從具體到抽象，從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，從感性到理性的過程。根據(jù)教

9、育心理學(xué)的規(guī)律可知，初中學(xué)生多處于認(rèn)識方法發(fā)生升華的階段，他們對事物的認(rèn)識已不滿足于表面的、孤立的層次，而有了向更深層次發(fā)展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思維方式。從幾何教學(xué)的內(nèi)容看，學(xué)生們從小學(xué)開始已經(jīng)通過直觀實(shí)驗(yàn)這種主要方式學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)的圖形知識，在他們的頭腦中已經(jīng)積累了一定的關(guān)于圖形的感性認(rèn)識，在初中階段應(yīng)該更深入地在“為什么”的層面上認(rèn)識圖形。顯然，單純的直觀實(shí)驗(yàn)這種學(xué)習(xí)方式已經(jīng)不適應(yīng)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的需要，因?yàn)檫@種方式難以真正從道理上對圖形規(guī)律進(jìn)行解釋，而邏輯推理的方式才能擔(dān)此重任。因此，從“實(shí)驗(yàn)幾何”向“推理幾何”的過渡成為初中幾何教學(xué)必須面對的問題，培養(yǎng)邏輯推理能力成為初中幾何

10、教學(xué)必須實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。在初中幾何教學(xué)中，應(yīng)通過哪些方式培養(yǎng)邏輯思維能力？對三段論形式的證明格式等應(yīng)把握到什么程度？在數(shù)學(xué)教育界曾對這些問題有過許多討論。很多人認(rèn)為：幾何學(xué)中的邏輯性在教學(xué)中是一把雙刃劍，一方面它能激發(fā)一些學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，使他們的邏輯思維能力得到提高；另一方面它又使一些學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，甚至由畏難發(fā)展到厭學(xué)。由于學(xué)生個(gè)體存在差異，加上某些教學(xué)中存在過分強(qiáng)調(diào)證題技巧，題目難度過大，而對邏輯推理中真正的思想實(shí)質(zhì)缺乏分析與揭示等，上述兩極分化現(xiàn)象確實(shí)有一定普遍性。然而，解決兩極分化現(xiàn)象并不能以降低甚至犧牲邏輯思維能力培養(yǎng)為代價(jià)，而應(yīng)該尋找有針對性的化消極為積極的方法（例如探索低

11、起點(diǎn)的推理證明教學(xué)方法），在深入淺出方面下工夫。對于“證明形式何時(shí)出現(xiàn)”“問題難度達(dá)到何種程度”“學(xué)生通過何樣途徑學(xué)習(xí)幾何證明”等，應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際認(rèn)真研究。三、幾何教學(xué)中直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理的關(guān)系人們認(rèn)識幾何圖形既需要形象思維，又需要抽象思維，兩者相輔相成。雖然我們強(qiáng)調(diào)幾何教學(xué)中邏輯推理的重要性，但是并不排斥直觀實(shí)驗(yàn)。直觀實(shí)驗(yàn)是初級認(rèn)識手段，邏輯推理是高級認(rèn)識手段?！翱匆豢础薄傲恳涣俊薄白鲆蛔觥钡戎庇^實(shí)驗(yàn)活動在幾何學(xué)習(xí)的初始階段的重要性尤為突出，即使在推理幾何階段的學(xué)習(xí)中，直觀實(shí)驗(yàn)也具有重要的輔助作用，人們常借助某些直觀特例來發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律、探尋證明思路、理解抽象內(nèi)容，有時(shí)直觀實(shí)驗(yàn)與邏輯推理是交替

12、進(jìn)行的。由于信息技術(shù)的發(fā)展與普及，直觀實(shí)驗(yàn)手段在教學(xué)中日益增加，有些學(xué)校還建立了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，這些對于幾何學(xué)的學(xué)習(xí)起到積極作用。隨著教學(xué)研究的不斷深入，直觀實(shí)驗(yàn)會在啟發(fā)誘導(dǎo)、化難為易、檢驗(yàn)猜想等方面進(jìn)一步大顯身手。但是，直觀實(shí)驗(yàn)終歸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助手段，數(shù)學(xué)畢竟不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它不能象物理、化學(xué)、生物等學(xué)科那樣最后通過實(shí)驗(yàn)來確定結(jié)論。實(shí)驗(yàn)幾何只是學(xué)習(xí)幾何學(xué)的前奏曲或第一樂章，后面的樂曲建立在理性思維基礎(chǔ)上，邏輯推理是把演奏推向高潮的主要手段。有些關(guān)于圖形的結(jié)論，是在實(shí)驗(yàn)幾何階段通過直觀實(shí)驗(yàn)認(rèn)識的，學(xué)生已經(jīng)接受了這些知識，在后面的學(xué)習(xí)中不一定要對所有這樣的知識都再通過邏輯推理來證明。例如，對于教

13、學(xué)中作為推理的原始根據(jù)（公理）的結(jié)論，就不可能也無必要進(jìn)行證明。但是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的擴(kuò)展與深化和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的需要，應(yīng)指出對于某些結(jié)論我們只是驗(yàn)證過而它們是可以證明的，也有一些結(jié)論確有必要重新通過邏輯推理進(jìn)行證明，以加深對其認(rèn)識。例如，“三角形內(nèi)角和等于180”是學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)通過直觀實(shí)驗(yàn)認(rèn)識過的知識，但當(dāng)時(shí)只是初步了解它，認(rèn)識方式是度量檢驗(yàn)了若干個(gè)三角形的內(nèi)角，這種方式只是驗(yàn)證而不是證明，當(dāng)時(shí)是直接告訴學(xué)生這個(gè)結(jié)論對于任何三角形都成立，并沒有說明理由。在初中的教學(xué)中，一方面隨著平行線的性質(zhì)等新知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了證明這個(gè)結(jié)論的知識基礎(chǔ)；另一方面通過討論它的證明，不僅可以體會平行線的性

14、質(zhì)在分析問題中的應(yīng)用，而且可以感受證明的必要性，進(jìn)一步從道理上加深對這個(gè)重要定理的一般性的認(rèn)識。因此，就有必要安排推導(dǎo)這一定理的教學(xué)，這也是認(rèn)識上的螺旋式上升。有一種說法：直觀實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神，邏輯推理培養(yǎng)邏輯思維能力和嚴(yán)謹(jǐn)性，但對培養(yǎng)創(chuàng)新精神作用不大。這種說法正確嗎？直觀實(shí)驗(yàn)確實(shí)可以啟發(fā)人們發(fā)現(xiàn)新事物，但是創(chuàng)新不能僅僅停留在這個(gè)層次上，而需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的思考、探究、論證，這就需要邏輯思維，否則無法實(shí)現(xiàn)真正的創(chuàng)新。相傳牛頓見到蘋果從樹上掉在地上，才受到啟發(fā)發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。如果把蘋果落地看作直觀實(shí)驗(yàn)，這個(gè)故事給人的印象似乎是直觀實(shí)驗(yàn)對創(chuàng)新起了主要作用。但是認(rèn)真考慮它。你會發(fā)

15、現(xiàn)故事背后隱含了邏輯思維對創(chuàng)新所起的關(guān)鍵作用。實(shí)際上物體下落是無數(shù)人司空見慣的現(xiàn)象，由它引發(fā)重大發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，在于牛頓在觀察現(xiàn)象之后進(jìn)行了合乎邏輯的思考：為什么物體會垂直下落？因?yàn)橛邢蛳碌牧ψ饔糜谒?；地球上各處的物體為什么都有這種性質(zhì)？因?yàn)樗鼈兌际艿街赶虻厍蛑行牡牧?；這些力是誰給的？是地球 一系列因果關(guān)系的思考，導(dǎo)致進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，又引發(fā)更深層的思考終于產(chǎn)生了新的科學(xué)成果。幾何學(xué)培養(yǎng)邏輯思維能力的過程，是逐步深入地引導(dǎo)學(xué)生合乎邏輯地思考的過程。科學(xué)的思考方法和習(xí)慣，使人能更好地透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，提高思維效率。這些有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。邏輯思維能力強(qiáng)的人考慮問題的思路應(yīng)更清晰、更合理、更簡潔，這

16、不會成為條條框框而妨礙創(chuàng)新，反而有助于創(chuàng)新。反之，缺乏科學(xué)的思考方法和習(xí)慣，邏輯性不強(qiáng)，會影響創(chuàng)新。當(dāng)然，在創(chuàng)新的過程中人們是逐步探索的，并不是一步就徹底解決問題的；但是，這樣的探索與邏輯思維并不矛盾。培養(yǎng)學(xué)生探究式學(xué)習(xí)能力，并非讓他們“自由發(fā)散”，而是引導(dǎo)他們“科學(xué)發(fā)散”，即有目的地用科學(xué)的思維方法進(jìn)行探究。因此不必?fù)?dān)心邏輯推理會限制學(xué)生的創(chuàng)新精神?！睌?shù)學(xué)的創(chuàng)造性不能沒有邏輯思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助養(yǎng)成理性思考的習(xí)慣。數(shù)學(xué)并不是公式的堆壘，也不是圖形的匯集，數(shù)學(xué)有邏輯性很強(qiáng)的體系。數(shù)學(xué)不是只強(qiáng)調(diào)計(jì)算與規(guī)則的課程，而是講道理的課程。培養(yǎng)與運(yùn)用邏輯思維，并不是不顧及學(xué)生的可接受性一味地片面強(qiáng)調(diào)推理

17、的嚴(yán)密和體系的完整，而是既要體現(xiàn)邏輯推理的作用，又不片面夸大它。幾何的教學(xué)體系有別于幾何的科學(xué)體系，在幾何教學(xué)中，講道理并完全不等同于純粹的形式證明，幾何教學(xué)培養(yǎng)邏輯思維能力同樣要有的放矢，循序漸進(jìn)，從直觀到抽象，從簡單到復(fù)雜四、人教版初中數(shù)學(xué)（幾何部分）教材對如何培養(yǎng)邏輯思維能力的設(shè)計(jì)人民教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書對于培養(yǎng)邏輯推理能力，作了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計(jì)，把推理證明作為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)。整套教科書按照“說點(diǎn)兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”四個(gè)不同層次，分階段逐步加深地提高對邏輯推理能力的要求，循序漸進(jìn)地發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。在這套教科書的

18、幾何部分，七年級上、下兩冊要先后經(jīng)歷“說點(diǎn)兒理”“說理”“簡單推理”幾個(gè)層次，有意識地逐步強(qiáng)化關(guān)于推理的初步訓(xùn)練，主要做法是在問題的分析中強(qiáng)調(diào)求解過程所依據(jù)的道理，體現(xiàn)事出有因、言之有據(jù)的思維習(xí)慣。在八年級上冊的“全等三角形”這章中，開始正式出現(xiàn)證明（開始階段難度不超過包含兩個(gè)三段論的簡化形式），即進(jìn)入較完整的“符號表示推理”層次。經(jīng)過調(diào)查研究，我們認(rèn)為從知識內(nèi)容和學(xué)生年齡兩方面看，這時(shí)比較適宜學(xué)習(xí)以正規(guī)書寫格式表示推理證明。為作好又實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡，教材注意逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識邏輯推理的必要性（例如，設(shè)計(jì)“閱讀與思考 為什么要證明”等內(nèi)容）。從教材中正式出現(xiàn)推理證明后，后續(xù)內(nèi)容注意“一以貫之”，即在“四邊形”“相似”“旋轉(zhuǎn)”“圓”等內(nèi)容中，適當(dāng)體現(xiàn)推理證明的作用，安排一定數(shù)量的例題和習(xí)題，使對推理論證的要求保持到必要的高度，把“圖形的認(rèn)識”“圖形與變換”“圖形與坐標(biāo)” 與“圖形與推理”有機(jī)結(jié)合，從不同角度加深對圖形的認(rèn)識，避免單純的簡單直觀實(shí)驗(yàn)。另外，上述教材的編寫者認(rèn)為：對于推理能力的培養(yǎng)，不應(yīng)片面地理解為會按三段論的格式書寫證明過程，而應(yīng)更關(guān)注感悟推理的必