例題1向量值函數(shù)的微分課件

1、向量值函數(shù)的微分與積分.向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的積分目的向量值函數(shù)的微分 向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的微分定義與實(shí)數(shù)函數(shù)的定義極為相似。定義: 向量值函數(shù)的微分對(duì)所有 極限都存在。如果 存在，那麼在 點(diǎn)可微分。如果 對(duì)於開區(qū)間 所有的 ， 都存在，那麼在開區(qū)間 可微分。向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的微分可以拆成對(duì)各分量函數(shù)的微分?？紤]有一個(gè)函數(shù) () () ()。向量值函數(shù)的微分藉由微分的定義，可以得到這個(gè)重要的結(jié)果會(huì)寫成定理。注意向量值函數(shù)的微分後，還是一個(gè)向量函數(shù)。從右圖，你可以看出 () 是曲線()的切線向量。向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的微分定理: 向量值函數(shù)的微分. 如果 且 和是依

2、賴 的可微分函數(shù)，則. 如果 且 、 是依賴 的可微分函數(shù)，則例題向量值函數(shù)的微分給予一個(gè)向量值函數(shù) () ( )，求出它的微分並畫出能() 、 () 、 () 。解:對(duì)分量函數(shù)微分得到 () 。從位置向量() ，你可以寫出參數(shù)方程式 、 。接著就得到矩形方程式 。令 代入，() 和 () 。例題解在下圖 () 的起點(diǎn)在原點(diǎn)，而() 從()的終點(diǎn)開始畫起。向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的高次微分可以藉由對(duì)各分量函數(shù)作相同次數(shù)的微分而求得。例如 向量值函數(shù)的微分如果 、 、 在區(qū)間 連續(xù)且 ，則向量值函數(shù) () () () () 代表的曲線在開放區(qū)間 是平滑的( ) 。例題三在平滑的曲線找到區(qū)間令

3、() ( ) ( ), ，求這條外擺線是平滑的區(qū)間。解:對(duì)()微分， 得到 () ( ) ( )。在區(qū)間, 會(huì)使得() 的地方是 、與 。例題解因此你得到在 是平滑的。如下圖:注意曲線上不平滑的點(diǎn)叫作尖點(diǎn)()或叉點(diǎn)()向量值函數(shù)的微分定理: 微分的性質(zhì)設(shè)和是可微分的向量值函數(shù)，為可微分的實(shí)數(shù)值函數(shù)，且為常數(shù)。例題使用微分的性質(zhì)給定兩個(gè)向量值函數(shù) 求. () . (). () ().例題四解因?yàn)?且 () 所以我們有例題四解因?yàn)?() 跟 () ，我們可以得到向量值函數(shù)的積分 向量值函數(shù)的積分以下的向量值函數(shù)的積分定義是由微分的結(jié)果推衍出來的。定義:如果 且 、在區(qū)間連續(xù)，則()的積分為 定積分為 如果 且 、在區(qū)間連續(xù)，則()的積分為 定積分為一個(gè)向量值函數(shù)的反微分是一組僅差一個(gè)向量常數(shù)的向量函數(shù)。舉個(gè)例子，如果()是一個(gè)三維向量值函數(shù)，而() 會(huì)包含個(gè)積分常數(shù)其中 () () 、 () () 、() () 。向量值函數(shù)的積分這三個(gè)純量產(chǎn)生了一個(gè)積分向量常數(shù) () () () () () (