概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材

1、教材概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1 參考書2￥58.00 中國統(tǒng)計(jì)出版社 2003-5-1 作者: （美）SHELDON ROSS 3 概率論基礎(chǔ)教程（原書第6版） A First Course in Probability (6th Edition) 作者: （美）SHELDON ROSS 譯者：趙選民 等市場價: ￥42.00出版社: 機(jī)械工業(yè)出版社 出版日期:2006-4-1 叢書: 華章數(shù)學(xué)譯叢 4第一章 事件與概率 第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn) 在一定條件下，必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。 例1 在平面上給一個三角形，則三個內(nèi) 角之和為180度。 一隨機(jī)現(xiàn)象5 高等數(shù)學(xué)是研究確定性現(xiàn)

2、象，主要研究函數(shù) 注：本課程主要工具是微積分，如極限， 連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，級數(shù)，定積 分，二重積分等 例2 在一個大氣壓下，沒有加熱到100度不會沸騰。 6 在一定條件下，可能出現(xiàn)這個結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣結(jié)果，而且不能事先確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 例1 拋一枚硬幣。 例2 從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。 隨機(jī)現(xiàn)象又分為個別隨機(jī)現(xiàn)象和大量性隨機(jī)現(xiàn)象。 個別隨機(jī)現(xiàn)象：原則上不能在不變的條件下重復(fù)出現(xiàn)。例如歷史事件。 7 大量性隨機(jī)現(xiàn)象：可以在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)。例如拋硬幣。 概率論只研究大量性隨機(jī)現(xiàn)象在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)時所表現(xiàn)出來的規(guī)律性。以后隨機(jī)

3、現(xiàn)象都是指大量性隨機(jī)現(xiàn)象。 問題：隨機(jī)現(xiàn)象難道還有規(guī)律性嗎？ 例如，拋一枚硬幣。8 隨機(jī)現(xiàn)象所表現(xiàn)出來的規(guī)律性稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對象： 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究（大量性）隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科。 概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究方法： 概率論研究方法是提出數(shù)學(xué)模型，然后研究它們的性質(zhì)，特點(diǎn)和規(guī)律性。 9 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論的理論為基礎(chǔ)，利用對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察所取得的數(shù)據(jù)資料來提出數(shù)學(xué)模型，并加以應(yīng)用。例如控制和預(yù)測等。10二隨機(jī)試驗(yàn) 觀察一定條件下發(fā)生的隨機(jī)現(xiàn)象稱為隨機(jī)試驗(yàn)，還必須滿足下述條件：條件實(shí)現(xiàn)一次就是一次試驗(yàn) 。試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)之前能確定所有可能發(fā)

4、生的結(jié)果，并 且規(guī)定每次試驗(yàn)有且僅有一個結(jié)果出現(xiàn)； 3.試驗(yàn)之前不能確定將會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。例1 拋一枚硬幣。例2 從一工廠的某種產(chǎn)品中抽出n件產(chǎn)品。 11第二節(jié) 樣本空間和隨機(jī)事件 一樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果放在一起組成的集合稱為樣本空間。 記為 樣本空間的每一個元素稱為樣本點(diǎn)。記為 在概率論中討論一個隨機(jī)試驗(yàn)時，首先要求明確它的樣本空間。 樣本空間可以根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的內(nèi)容來決定。 但寫法不一定惟一。12鑒于寫出樣本空間的重要性，舉一些例子。 例1 拋一枚硬幣觀察正反面出現(xiàn)的情況。 正面 Heads 反面 Tails 例2 拋二枚硬幣觀察它們正反面出現(xiàn)的況。13例3 從一工廠的某種產(chǎn)

5、品中抽出n件產(chǎn) 品，觀察次品個數(shù)。例4 從包含兩件次品（記作 ）和三 件正品（記作 ）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。 例4 從包含兩件次品（記作 ）和三 件正品（記作 ）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。 1415例5 向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點(diǎn) 與目標(biāo)的距離。 例6 向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點(diǎn) 的分布情況。 16二隨機(jī)事件例4 從包含兩件次品（記作 ）和三 件正品（記作 ）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品。 例4 從包含兩件次品（記作 ）和三 件正品（記作 ）的五件產(chǎn)品中，任取兩件產(chǎn)品，觀察次品個數(shù)。 =“沒有抽到次品” 17=“抽到一個次品” =“抽到兩個次品” 注意：它們都是樣本空間 的子

6、集。 18樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。 常用 表示隨機(jī)事件。 這個定義要注意的是樣本空間確定后，隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)只能在這個樣本空間中找。 規(guī)定：隨機(jī)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)事件A 中有某一個樣本點(diǎn)出現(xiàn) 。記作 這樣集合論就和概率論聯(lián)系起來了。19例5 向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落 點(diǎn)與目標(biāo)的距離。隨機(jī)事件A=“距離目標(biāo)不超過100米” 20例6 向某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，觀察落點(diǎn)的分布情況。 隨機(jī)事件A=“距離目標(biāo)不超過100米” 21考慮兩個特殊的隨機(jī)事件：由于 ，所以樣本空間 也是隨機(jī)事件。 但每做一次隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間 必然發(fā)生， 又稱樣本空間 為必然事件。 由于 ，所以空

7、集 也是隨機(jī)事件。 但每做一次隨機(jī)試驗(yàn)，空集 一定不發(fā)生， 又稱空集 為不可能事件。 22三隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算 下面的討論都是在同一個樣本空間 為了簡單事件表示復(fù)雜事件，需要研究隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算。 即 都是 的子集。 上， 1包含 若隨機(jī)事件A發(fā)生必然導(dǎo)致隨機(jī)事件B發(fā)生，則稱隨機(jī)事件B包含隨機(jī)事件A，或者稱隨機(jī)事件A包含在隨機(jī)事件B中。23 記為 用集合論語言， A B 維恩(Venn)圖 24若 ，則稱隨機(jī)事件A 與隨機(jī)事件B相等，記為 2交（積）“隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B同時發(fā)生”是一個隨機(jī)事件，則稱此隨機(jī)事件為隨機(jī)事件 A與隨機(jī)事件B的交（積），記為 用集合論語言， 25 “n個隨機(jī)

8、事件 同時發(fā)生”是一個 隨機(jī)事件，則稱此隨機(jī)事件為 n個隨機(jī)事件 的交（積），記為 ，簡記為 26 若隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B不能同時發(fā)生，則稱隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B互不相容或互斥。 用集合論語言， AB27若n個隨機(jī)事件 中任意兩個 隨機(jī)事件都不能同時發(fā)生，則稱n個隨機(jī)事件 兩兩互不相容或兩兩互斥。 用集合論語言， 3并28“隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B至少有一個發(fā)生”是一個隨機(jī)事件，則稱此隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B的并，記為 用集合論語言， 29“n個隨機(jī)事件 至少有一個發(fā)生” 是一個隨機(jī)事件，則稱此隨機(jī)事件為 n個隨 機(jī)事件 的并，記為 ，簡記為 若n個隨機(jī)事件 兩兩互不相容， 稱并 為n

9、個隨機(jī)事件 的和，記為 ，簡記 30 每次試驗(yàn)隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B有且僅有一個發(fā)生，則稱隨機(jī)事件B為隨機(jī)事件A的對立事件 （逆事件），記為 隨機(jī)事件A也為隨機(jī)事件B的對立事件（逆事件），記為 用集合論語言， A4對立事件（逆事件）31 “隨機(jī)事件A發(fā)生，且隨機(jī)事件B不發(fā)生”是一個隨機(jī)事件，則稱此隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A與隨機(jī)事件B的差，記為 5差用集合論語言， 32差化積： 331吸收律： 2冪等律： 3交換律： 三運(yùn)算規(guī)律344結(jié)合律： 5分配律： 6德莫根（De Morgan）律： 35運(yùn)算順序：逆交并差，括號優(yōu)先 36例1 在圖書館中隨意抽取一本書，隨機(jī)事件 A表示數(shù)學(xué)書 B表示中文書 C

10、表示平裝書則 表示抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書， 表示精裝書都是中文書， 表示非數(shù)學(xué)書都是中文版的書，且中文版的書都是非數(shù)學(xué)書。 37例2 若 表示第 個射手擊中目標(biāo) 則 3個射手都擊中目標(biāo)： 3個射手都未擊中目標(biāo)： 3個射手中至少有一個擊中目標(biāo)： 3個射手中至少有一個未擊中目標(biāo)： 3個射手中至少有二個擊中目標(biāo)： 38 如果隨機(jī)事件 在 次試驗(yàn)中發(fā)生了 次，稱比值 為隨機(jī)事件 的頻率， 記為 隨機(jī)事件 發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為 隨機(jī)事件 發(fā)生的概率（probability）， 記為 頻率具有穩(wěn)定性。 第三節(jié) 頻率與概率39第四節(jié) 古典概型與幾何概率 一古典概型 一個隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 滿足以下性

11、質(zhì)： （1）樣本點(diǎn)總數(shù)有限，即 有限； （2）每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，即 稱滿足以上2個性質(zhì)的模型為古典概型。 40隨機(jī)事件 定義 稱此概率為隨機(jī)事件 的古典概率。 41例1 將一枚均勻?qū)ΨQ的硬幣拋3次，觀察正反面，（1）寫出樣本空間；（2）設(shè)事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 （3）設(shè)事件 為“至少有二次出現(xiàn)正 面”，求 42例2 任取一個正整數(shù)，求它是奇數(shù)的概率。例3 擲兩顆骰子，求它們點(diǎn)數(shù)之和為3的概率。 設(shè) =“它們點(diǎn)數(shù)之和為3” 說明有限性 說明等可能性 43例4 P9 例1-12袋中有a個白球和b個黑球，每次從袋中任取一球，取出的球不再放回去，求第k次取到白球的概率。 說明用不同的

12、樣本空間解決問題 44例5 P8 例1-10 某批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，無放回地從中任取n件產(chǎn)品，問恰好有k件次品的概率是多少？注：這是一個重要模型45例6 任取一個正整數(shù)，求該數(shù)的平方末位數(shù)為1的概率。設(shè) =“該數(shù)的平方末位數(shù)為1” 例7 討論福利彩票和體育彩票。46 在一次乒乓球比賽中設(shè)立獎金1千元.比賽規(guī)定誰先勝了三盤,誰獲得全部獎金.設(shè)甲,乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了3盤, 甲兩勝一負(fù), 由于某種特殊的原因必須中止比賽.問這1000元應(yīng)如何分配才算公平? 問 題47二幾何概率 設(shè)有一個有界區(qū)域 ，區(qū)域中的每個點(diǎn) 出現(xiàn)的可能性相同， 事件 表示 點(diǎn)落在 中，則定義 為事件 的幾何概率

13、。 48例1 P10 會面問題 兩人約定于0到T時內(nèi)在某地會面，先到者等 時后離開，假定兩人在0到T時內(nèi)各 時刻到達(dá)的可能性相等，求兩人能會面的概率。 49例2 P11 蒲豐投針問題5051第五節(jié) 概率的公理化定義和性質(zhì)一概率的公理化定義古典概率的基本性質(zhì)： 1（非負(fù)性）對任何事件 2（規(guī)范性） 3（有限可加性）若事件 兩兩互不相容，則 52幾何概率的基本性質(zhì)：1（非負(fù)性）對任何事件 2（規(guī)范性） 3（可列可加性）若事件 兩兩互不相容，則 53一般概率的定義，即概率公理化定義： 隨機(jī)事件 發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為 隨機(jī)事件 發(fā)生的概率（probability）， 記為 1（非負(fù)性）對任何事件

14、2（規(guī)范性） 3（可列可加性）若事件 兩兩互不相容，則 還必須滿足以下3條公理： 54柯爾莫哥洛夫1903年4月25日生于俄國坦波夫 1987年10月20日卒于蘇聯(lián)莫斯科 Kolmogorov,A.N.最為人所道的是對概率論公理化所作出的貢獻(xiàn) 551939年，他被選為蘇聯(lián)科學(xué)院數(shù)理部院士 1980年鑒于他“在調(diào)和分析、概率論、遍歷論和動力系統(tǒng)深刻而開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)”而獲得沃爾夫(Wolf)獎 他一生共寫學(xué)術(shù)論文(包括合作)488篇 他是20世紀(jì)蘇聯(lián)最有影響的數(shù)學(xué)家，也是20世紀(jì)世界上為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學(xué)家之一 他研究的領(lǐng)域非常廣泛，幾乎遍及一切數(shù)學(xué)領(lǐng)域 56二一般概率的性質(zhì) 性質(zhì)1： 性質(zhì)2：（有限可加性）設(shè) 兩兩互不相容，則 性質(zhì)3： 57例1 有4張壹分，3張貳分，2張肆分和1張捌分的郵票，任取其中3張，求（1）取出的3張