專題16 銳角的三角比

1、專題16銳角的三角比母題揭秘中考四大考點(diǎn)：1、銳角三角比的意義，特殊的銳角三角比的比值代數(shù)運(yùn)算問題；2、解直角三角形，利用勾股定理和銳角三角比相互結(jié)合解直角三角形；3、實(shí)際問題：測量問題、航海問題、坡度問題、方案設(shè)計(jì)問題等；4、數(shù)學(xué)模型相互滲透問題：與四邊形結(jié)合、與相似形結(jié)合、與圓結(jié)合、與函數(shù)結(jié)合等綜合問題。（【母題來源1】2020上海中考真題）如圖，在ABC中，AB=4，BC=7eqoac(,，)B=60，點(diǎn)D在邊BC上，CD=3，聯(lián)結(jié)AD如果將ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線BD的距離為_【答案】332【解析】eqoac(,，)過E點(diǎn)作EHBC于H，證明ABD是等

2、邊三角形，進(jìn)而求得ADC=120，再由折疊得到ADE=ADC=120進(jìn)而求出HDE=60，最后在RtHED中使用三角函數(shù)即可求出HE的長解：如圖，過點(diǎn)E作eqoac(,EH)BC于H，eqoac(,BC)=7，CD=3，eqoac(,BD)=BC-CD=4，eqoac(,AB)=4=BD，eqoac(,B)=60，ABD是等邊三角形，ADB=60，ADC=ADE=120，EDH=60，eqoac(,EH)eqoac(,BC)eqoac(,，)EHD=90eqoac(,DE)=DC=3，33eqoac(,EH)=eqoac(,DE)sinHDE=33=，22eqoac(,E)到直線BD的距離為3

3、32【母題來源2】（2018上海中考真題）如圖，已知ABCeqoac(,中，)AB=BC=5tanABC=eqoac(,)341）求邊AC的長；2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求AD的值DB【答案】1AC=102AD3eqoac(,)BD5【解析】（1）過A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；2eqoac(,）由)DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求解：1如圖，過點(diǎn)A作AEBCtaneqoac(,)DBF=DF在RtBFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AE3在RtA

4、BEeqoac(,中，)tanABC=AB=5BE4AE=3BE=4CE=BCBE=54=1在RtAEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=3212=102DF垂直平分BCeqoac(,)5BD=CDBF=CF=23BF4eqoac(,)15DF=8521522825815AD=5eqoac(,)25=88則AD3BD5（【母題來源3】2017上海中考真題）我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形（n為整數(shù)，n4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值”，記為n，那么6=_【答案】【解析】解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE、CF交于點(diǎn)O，連接EC易知BE是正六邊形最長的對角線，EC的正六邊

5、形的最短的對角線，OBC是等邊三角形eqoac(,，)OBC=OCB=BOC=60OE=OCeqoac(,，)OEC=OCEBOC=OEC+OCEOEC=OCE=30eqoac(,，)BCE=90BEC是直角三角形=cos30=，6=.銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即sinAA的對邊考點(diǎn)一、銳角三角比的概念如圖所示，在RtABCeqoac(,中，)C90，A所對的邊BC記為a，叫做A的對邊，也叫做B的鄰邊，B所對的邊AC記為b，叫做B的對邊，也是A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊a；斜邊c銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即cosA銳角A的對邊與鄰

6、邊的比叫做A的正切，記作tanA，即tanAA的鄰邊b；斜邊cA的對邊a；A的鄰邊b同理sinBB的對邊b；cosB斜邊cB的鄰邊a；tanB斜邊cB的對邊bB的鄰邊a知識(shí)要點(diǎn)：(1)銳角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成，不能理解成sin與A，cos與A，tan與A的乘積書寫時(shí)習(xí)慣上省略A的角的記號(hào)“”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如AEF)，其正切應(yīng)寫成“tanAEF”，不能寫成“tanAEF”；另外

7、，、常寫成、(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角比值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在(4)由銳角三角比的定義知：當(dāng)角度在0A90之間變化時(shí)，tanA0考點(diǎn)二、特殊角的三角比的比值利用銳角三角比的定義，可求出0、30、45、60、90角的各三角比的比值，歸納如下：、知識(shí)要點(diǎn)：(1)通過該表可以方便地知道0、30、45、60、90角的各三角比的比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角比的比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：，則銳角sin0、sin90的值依次為0、1、，而cos0、cos90的值的順序正好相反，、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)

8、為：當(dāng)角度在0A90之間變化時(shí)，正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)考點(diǎn)三、銳角三角比之間的關(guān)系如圖所示，在eqoac(,Rt)ABC中，C=90(1)互余關(guān)系：，；(2)平方關(guān)系：；(3)倒數(shù)關(guān)系：或；(4)商數(shù)關(guān)系：【母題來源4】（2018上海中考真題）如圖，已知ABCAB=BC=5eqoac(,中，)taneqoac(,)ABC=3DB的值4eqoac(,)1）求邊AC的長；2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求AD【答案】1AC=102eqoac(,)ADBD【解析】35eqoac(,)（1）過A作AEBC，在直

9、角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求即可；勾股taneqoac(,)DBF=DF在RtBFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=則AD解：1如圖，過點(diǎn)A作AEBCAE3在RtABEeqoac(,中，)tanABC=AB=5BE4AE=3BE=4CE=BCBE=54=1在RtAEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=3212=102DF垂直平分BCeqoac(,)5BD=CDBF=CF=23BF4eqoac(,)15DF=8521522815AD=5eqoac(,)25=883

10、BD5258（【母題來源5】2019上海中考真題）如圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60時(shí)，箱蓋ADE落在ADE的位置（如圖2所示）.已知AD90厘米，DE30厘米，EC40厘米.（1）求點(diǎn)D到BC的距離；（2）求E、E兩點(diǎn)的距離.（【答案】1）點(diǎn)D到BC的距離是（45370）厘米；（2）E、E兩點(diǎn)的距離是3010厘米?！窘馕觥縠qoac(,)eqoac(,)（1）過點(diǎn)D作DHBC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，利用矩形的性質(zhì)得到AFDBHD90，再解直角三角形即可解答（2）連接AE、AE、EE，得

11、出AEE是等邊三角形，利用勾股定理得出AE，即可解答解：過點(diǎn)D作DHBC，垂足為點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F.eqoac(,)由題意，得ADAD90（厘米），DAD60.eqoac(,，)eqoac(,)四邊形ABCD是矩形，ADBCAFDBHD90.在RtADF中，DFeqoac(,)ADsinDAD90sin60453（厘米）.eqoac(,)eqoac(,)又CE40（厘米），DE30（厘米），F(xiàn)HDCDECE70（厘米）、eqoac(,)DHDFFH（45370）（厘米）.答：點(diǎn)D到BC的距離是（45370）厘米.eqoac(,)（2）連接AE、AE、EE.由題意，得AEAE，EAE60.AEE

12、是等邊三角形eqoac(,)EEAE，四邊形ABCD是矩形，eqoac(,)ADE90在RtADE中，AD90（厘米），DE30（厘米）：eqoac(,)AEAD2DE29023023010（厘米）eqoac(,)EE3010（厘米）.答：E、E兩點(diǎn)的距離是3010厘米。（【母題來源6】2017上海中考真題）如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是ABC，水平橫梁BC長18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中點(diǎn)，且ADBC1eqoac(,）求)sinB的值；2）現(xiàn)需要加裝支架DEEF，其中點(diǎn)E在ABeqoac(,上，)BE2AE，且EFBC，垂足為點(diǎn)F，求支架DE的長【答案】1sinBeqoac(,)21

13、313【解析】2DE5（1）在RtABD中，利用勾股定理求出AB，再根據(jù)sinB=ADAB計(jì)算即可；（2）由EFADeqoac(,，)BE=2AE，可得EFBFBE2,求出EF、DF即可利用勾股定理解決問題；ADBDBA3AB=BD2AD29262=313eqoac(,，)sinB=AD6213（2eqoac(,）)EFeqoac(,，)ADBE=2AEeqoac(,，)EF解：，（1）在RtABDeqoac(,中，)BD=DC=9AD=6，=AB31313BFBE2EFBF2，eqoac(,，)EF=4BF=6，ADBDBA3693DF=3eqoac(,，在)RtDEF中，DE=EF2DF2

14、=4232=5考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.設(shè)在eqoac(,Rt)ABC中，C=90，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有：三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：A+B=90.邊角之間的關(guān)系：，.，h為斜邊上的高.知識(shí)要點(diǎn)：(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90)，是已知的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解考點(diǎn)五、解直角三

15、角形的常見類型及解法已知條件解法步驟由求A，兩直角邊(a，b)B=90A，兩eqoac(,Rt)ABC邊由求A，斜邊，一直角邊(如c，a)B=90A，一邊一直角邊一和一銳角角銳角、鄰邊(如A，b)銳角、對邊(如A，a)B=90A，B=90A，斜邊、銳角(如c，A)，B=90A，知識(shí)要點(diǎn)：1在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是.已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算2若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，

16、關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.解這類問題的一般過程是：(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.拓展：在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：(1)坡角：坡面與水平面的夾角

17、叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=的形式.(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40，135，245.(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角，如圖中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30，南偏東45，南偏西80，北偏西60.特別如：東南方向指的是南偏東45，東北方向指的是北偏東4

18、5，西南方向指的是南偏西45，西北方向指的是北偏西45.知識(shí)要點(diǎn)：1解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.2非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解例如：3解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.eqoac(,、)【母題來源7】（2019上海中考真題）如圖1，AD、BD分別是ABC的內(nèi)角BACABC的平分線，過點(diǎn)A作AE上AD，交BD的延長線于點(diǎn)Eeqoac(,)（1）求證：E12C；（2）如圖2，如果AEA

19、B，且BD：DE2：3，求cosABC的值；（3）如果ABC是銳角，且ABC與ADE相似，求ABC的度數(shù)，并直接寫出SSADEABC的值.SS（【答案】1）見解析；2eqoac(,）)cosABC的值為23eqoac(,；)3eqoac(,）)ABC30eqoac(,或)ABC45，【解析】ADEABC的值22或23eqoac(,)（1）由AEAD，得到DAE90eqoac(,，)E90eqoac(,)ADE，再由ADeqoac(,平分)BAC，得到ABD可解答B(yǎng)FBD，再利用三角函數(shù)即可即可（2）延長AD交BC于點(diǎn)F，得出AEDE12BACeqoac(,，即)1eqoac(,)Ceqoac(

20、,)（3）根據(jù)題意得出ABCE，繼而可得ABC30，2S23，即可解答ADESABCSSADEABC22eqoac(,，)ABC45，ADeqoac(,平分)BACeqoac(,，)eqoac(,?)BAD1ADE1eqoac(,，)證明：AEADeqoac(,)DAE90eqoac(,，)E90eqoac(,)ADE.1BAC，同理ABDBAC22eqoac(,)eqoac(,)，eqoac(,)，又ADEBADABDBACABC180eqoac(,)C1eqoac(,)）eqoac(,）)eqoac(,（)BACBAC（180C.22eqoac(,)E90121eqoac(,）)（180C

21、eqoac(,)C2解：延長AD交BC于點(diǎn)F.eqoac(,)eqoac(,)AEABeqoac(,，)ABEE.eqoac(,，)eqoac(,)eqoac(,，)eqoac(,)BEeqoac(,平分)ABCABECBECBEE.AEBC.eqoac(,)eqoac(,)AFBFAE90，eqoac(,)又BDDE23BFBDAEDEeqoac(,)cosABCBFBFBDABAEDEeqoac(,)E1cosABC的值為23.eqoac(,)（3）解：ABC與ADE相似，且DAE90，ABC中必有一個(gè)內(nèi)角等于90.ABC是銳角，ABC90.eqoac(,)若BACDAE90，1eqoac

22、(,)C,ABCEC22S22eqoac(,)eqoac(,)ABCC90eqoac(,，)ABC30.這時(shí)SADEABCeqoac(,)綜上所述，ABC30eqoac(,或)ABC45，SSADEABC的值22或23【母題來源8】（2018上海中考真題）已知O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點(diǎn)E且ODAC，垂足為點(diǎn)F1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；2）如圖2，如果E為弦BD的中點(diǎn)，求ABD的余切值；3）聯(lián)結(jié)BCCDDA，如果BC是O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，求ACD的面積【答案】1AC=32cotABD=23Seqoac(,=)ACD212t=1

23、【解析】（1）由AC=BD知ADCDCDBC，得ADBC，根據(jù)ODAC知ADCD，從而得ADCDBC，即可知AOD=DOC=BOC=60，利用AF=AOsinAOF可得答案；2）連接BC，設(shè)OF=t，證OFeqoac(,為)ABC中位線及DEFBEC得BC=DF=2t，由DF=1t可得122，即可知BC=DF=，繼而求得EF=AC=，由余切函數(shù)定義可得答案；33433）先求出BCCDAD所對圓心角度數(shù)，從而求得BC=AD=2OF=面積公式計(jì)算可得解：1ODAC22，從而根據(jù)三角形AF=AOsineqoac(,)AOF=13ADCDAFO=90又AC=BDACBD，即ADCDCDBCADBCAD

24、CDBCAOD=DOC=BOC=60AB=2AO=BO=13=22則AC=2AF=32）如圖1，連接BCAB為直徑，ODACAFO=C=90ODBCD=EBCDE=BEDEF=BEC則DF=BC=eqoac(,)AC=AB2BC2=223eqoac(,)EF=132DEFBECASABC=DFEC=EF又AO=OBOFeqoac(,是)ABC的中位線，設(shè)OF=t，則BC=DF=2tDF=DOOF=1t1t=2t解得：t=13222312FC=AC=423OB=ODABD=D2DF則eqoac(,)cotABD=cotD=EF233）如圖2423BCeqoac(,是)O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD

25、eqoac(,是)O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，eqoac(,)BOC=360則360360AOD=COD=nn4360+2=180nn4解得：n=4BOC=90AOD=COD=45BC=AC=2AFO=90eqoac(,)OF=AOcosAOF=22則DF=ODOF=122=122212eqoac(,S)ACDACDF=21=212考點(diǎn)七、解直角三角形與其他幾何知識(shí)結(jié)合問題如圖所示，在RtABCeqoac(,中，)C90，(1)三邊之間的關(guān)系：a2b2c2；eqoac(,)(2)兩銳角之間的關(guān)系：A+B90；(3)邊與角之間的關(guān)系：sinAcosBaaba1，cosAcosB，cosAsi

26、nB，tanAcccbtanB(4)如圖，若直角三角形ABCeqoac(,中，)CDAB于點(diǎn)D，設(shè)CDh，ADq，DBp，則eqoac(,，得)由CBDABCa2pc；eqoac(,，得)由CADBACb2qc；eqoac(,，得)由ACDCBDh2pq；由ACDABCeqoac(,或由)ABC面積，得abch(5)如圖所示，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則eqoac(,)CDADBD1AB；2eqoac(,點(diǎn))D是RtABC的外心，外接圓半徑R12AB(6)如圖所示，若r是直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，則r直角三角形的面積：abcab2abcS如圖所示，ABC111（abchacs

27、inBh為斜邊上的高）222如圖所示，SABC12r(abc)知識(shí)考點(diǎn)概括：一、單選題1（2018上海奉賢中考模擬）如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC互相垂直（A、D、B在eqoac(,)同一條直線上），設(shè)CAB，那么拉線BC的長度為（）sinBhcosChtanDh然后在RtBCD中coseqoac(,)BCD=CDAhcot【答案】B【解析】eqoac(,，)根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等，可由CAD+ACD=90ACD+BCD=90，可求得CAD=BCD，CDh，可得BC=.BCcosBCDcos5CtanA=35BcosA=44DcotA=4A、sinABC故選B，2（20

28、20上海大學(xué)附屬學(xué)校初三三模）在RtABCeqoac(,中，)C=90AB=10，AC=8.下列四個(gè)選項(xiàng)，不正確是()AsinA=43【答案】A【解析】3,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；AB5B、cosAC、tanAD、cotAAC4,故該選項(xiàng)正確；AB5BC3,故該選項(xiàng)正確；AC4AC4，故該選項(xiàng)正確BC3故選A.3（2020浙江蕭山初三其他）如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(eqoac(,OC)OB，點(diǎn)A、B、C、D、O在同一平面內(nèi))，已知AB=a，AD=b，BCO=x，則點(diǎn)A到OC的距離等于()Aasinxbsinx【答案】DBacosxbcosxCasinxbcosxDacosxbsinx【解析】

29、解：作AEOC于點(diǎn)E，作AFOB于點(diǎn)F，四邊形ABCD是矩形，eqoac(,，)ABC=90eqoac(,，)，ABC=AECBCO=xeqoac(,，)EAB=xeqoac(,，)FBA=xeqoac(,，)AB=aAD=b，eqoac(,，)FO=FB+BO=acosx+bsinx故選：D4（2020上海崇明初三一模）在RtABC中，C90，如果AC8，BC6，那么B的余切值為（）A34B433C5【答案】A【解析】eqoac(,)如圖，在RtABCeqoac(,中，)C90，AC8，BC6，D45eqoac(,)cotBBCAC故選：A6834，5（2020上海松江初三一模）如圖，兩條寬

30、度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，它們的夾角為銳角，它們重疊部分（陰影部分）的面積是1.5，那么sin的值為（）4B12C23D3A32【答案】C【解析】解：如圖示：作BCCD交CD于C點(diǎn)，ADCD交CD于D點(diǎn)，由陰影部分是兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起可知，陰影部分是一個(gè)菱形，則有ABAE，AD1，ABAE1sin陰影=ABAD1Ssin11.5解之得：sin23，sin36Bacos36Ca2sin18Da故選：C6（2020上海楊浦初三二模）如果正十邊形的邊長為a，那么它的半徑是（）Aa2cos18【答案】C【解析】eqoac(,，)如圖，正十邊形的中心角AOB=36010=36

31、AB=aOA=AMeqoac(,，)AOM=BOM=18AM=MB=12a=sinOAM2sin18故選C.a；7（2020安徽譙城初三月考）如圖，一架飛機(jī)在點(diǎn)A處測得水平地面上一個(gè)標(biāo)志物P的俯角為，水平飛行m千米后到達(dá)點(diǎn)B處，又測得標(biāo)志物P的俯角為，那么此時(shí)飛機(jī)離地面的高度為()Amcotcot千米Bmcotcot千米tantanm千米CDmtantan千米【答案】A【解析】eqoac(,-)PABOAO=POcotBO=POcotAB=m=AOPOcot-POcot=mcotcot.A.8（2020安徽譙城初三一模）在RtABCeqoac(,中，)C=90，eqoac(,A)eqoac(,

32、、)Beqoac(,、)C所對的邊分別為a、b、c，下列等式中不成立的是（）AtanBbaBcosBacCsinAacDcotAab【答案】D【解析】解：RtABCeqoac(,中，)C90，eqoac(,A)、eqoac(,B)eqoac(,、)C所對的邊分別為a、b、c，tanBcosBacba，故A選項(xiàng)成立；，故B選項(xiàng)成立；sinAcotAacba，故C選項(xiàng)成立；，故D選項(xiàng)不成立；故選D（92020安徽瑤海初三期末）如圖，反比例函數(shù)yk(k0)第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過ABC的頂點(diǎn)A，C，xABAC，且BCy軸，點(diǎn)A，C，的橫坐標(biāo)分別為1，3，若BAC120，則k的值為（）且A，C均在反比例函

33、數(shù)ykA(1,k)，C3,，eqoac(,，)CD=2AD=k-kDC，DC3AD，即23kkeqoac(,，)k3A1B2C3【答案】C【解析】過點(diǎn)A作ADBC，eqoac(,點(diǎn))A、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)分別為1，3，x第一象限內(nèi)的圖象上，k33，ABAC，BAC120，ADBC，ACD30，ADC90，eqoac(,)tanACD=AD3D2故選：C10（2020廣西初三一模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量斜坡CD旁一棵樹AB的高度，他們先在點(diǎn)C處測得樹頂B的仰角為60，然后在坡頂D測得樹頂B的仰角為30，已知斜坡CD的長度為10m，DE的長為5m，則樹AB的高度是（）A10mB15mC153mD53

34、msineqoac(,)DCE=DE【答案】B【解析】解：在RtCDE中，CD=10m，DE=5m，5m1CD10m2.DCE=30eqoac(,，)ACB=60DF/AE.BGF=60eqoac(,，)ABC=30DCB=90eqoac(,，)BDF=30eqoac(,，)DBF=60eqoac(,，)DBC=30eqoac(,)BCCD10103tan3033（m）ABBCsin6010332故選答案為B二、填空題15（m）得到ABC，當(dāng)點(diǎn)C在線段CA延長線上時(shí)ABC的面積為_11（2020上海寶山初三二模）如圖，在ABC中，AB=AC=5，tanB=341111，將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

35、，【答案】46825【解析】解：如圖，過B作BDACeqoac(,1)，過A作AFBC于F，eqoac(,1)BC=BC，BCeqoac(,1)C=C，tanABC=34，tanABC=AF3，BF4設(shè)AF=3x，BF=4x，則AB=5x，eqoac(,)AB5，x=1eqoac(,，即)AF=3，BF=4eqoac(,，)BC=8，sinC=eqoac(,)BD=245BD3，BC5，在RtABDeqoac(,中，)tanC=24BD3=，DC45DCDC=3253，4，eqoac(,1)BC=BCeqoac(,，)BDAC1，CC1=2DC=645，A1C=CC1AC=64395=，55A

36、BC的面積為：1124394682552512（2019上海徐匯中考模擬）在梯形ABCD中，eqoac(,AB)DCeqoac(,，)B90，BC6，CD2，tanA34點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作eqoac(,EF)AD交邊AB于點(diǎn)Feqoac(,將)BEF沿直線EF翻折得到GEF，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，BE的長為_【答案】6512【解析】如圖，.eqoac(,EF)eqoac(,AD)，eqoac(,A)eqoac(,)EFB，GFEeqoac(,)AMF，GFEeqoac(,與)BFE關(guān)于EF對稱，GFEBFE，GFEeqoac(,)BFE，eqoac(,A)eqoac(,)AMF，AMF是等腰

37、三角形，eqoac(,AF)FM，作eqoac(,DQ)AB于點(diǎn)Q，AQDeqoac(,)DQB90eqoac(,AB)eqoac(,DC)，CDQ90eqoac(,B)90，四邊形CDQB是矩形，eqoac(,CD)QB2，QDCB6，eqoac(,AQ)1028，在RtADQ中，由勾股定理得AD64+3610，eqoac(,A)tan34，tanEFBBE3，BF4設(shè)EB3x，eqoac(,FB)4x，CE63x，eqoac(,AF)MF104x，eqoac(,GM)8x10，eqoac(,G)eqoac(,)Beqoac(,)DQA90eqoac(,，)GMDeqoac(,)A，DGMD

38、QA，eqoac(,)DGGMDQAQ，eqoac(,GD)6x152，eqoac(,DE)1523x，在RtCED中，由勾股定理得（1523x）2（63x）24，解得：3x6512，eqoac(,當(dāng))EG過點(diǎn)D時(shí)BE故答案為：6512651213（2020上海楊浦初三二模）如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB10，BC15eqoac(,，)tanA43，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PB，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段PQ，如果點(diǎn)Q恰好落在平行四邊形ABCD的邊上，那么AP的值是_【答案】6或10【解析】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時(shí)，作eqoac(,BE)AD于E，eqoac(,Q

39、F)AD交AD的延長線于F設(shè)PExA在RtAEBeqoac(,中，)tanBE4，AB10，AE3tanFDQtanA4eqoac(,BE)8，AE6，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段PQ，BPQ90，EBP+BPEeqoac(,)BPE+FPQ90，EBPeqoac(,)FPQ，eqoac(,PB)PQeqoac(,，)PEBeqoac(,)PFQ90，PBEQPF（AAS），eqoac(,PE)QFx，EBPF8，eqoac(,DF)AE+PE+PFADx1，eqoac(,CD)eqoac(,AB)，F(xiàn)DQeqoac(,)A，F(xiàn)Q，3DFx4，x13eqoac(,x)4，eqoac

40、(,PE)4，eqoac(,AP)6+410；如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在AD上時(shí)，將線段PB繞著點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段PQ，BPQ90，APBeqoac(,)BPQ90，A在RtAPBeqoac(,中，)tanAP4，AB10，BP3eqoac(,AP)6；如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q落在直線BC上時(shí)，作BEeqoac(,AD)于E，eqoac(,PF)BC于F則四邊形BEPF是矩形A在RtAEBeqoac(,中，)tanBE4，AB10，AE3eqoac(,BE)8，AE6，eqoac(,PF)BE8，BPQ是等腰直角三角形，PFeqoac(,BQ)，eqoac(,PF)BFFQ8，eqoac(,PB)PQ

41、82，BQ2PB1615（不合題意舍去），綜上所述，AP的值是6或10，故答案為：6或1014（2020上海初三月考）如圖：正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD邊的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接PD，則tanAPD_ABEC，BECF【答案】2【解析】連接AF，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，CFBE，AD2，DF在ABE和BCF中，ABBCeqoac(,，)RtABERtBCF(SAS)BAECBF，又BAEBEA90，CBFBEA90，BPEAPF90，ADF90，ADFAPF180，A、P、F、D四點(diǎn)共圓，AFDAPD，tanAPDtanAFD故答案為：2

42、ADDF2，15（2019上海市上外民辦勁松中學(xué)初三二模）如圖，矩形ABCD中，BC2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A、C處，如果點(diǎn)A、C、B在同一條直線上，那么tanABA的值為_【答案】512【解析】試題分析：如下圖，設(shè)矩形的邊長CDx，由ADAC22x，得，整理，得：CDBCx2，解得：x15，所以，CD51，所以，tanBAC=CD5151=故答案為AD2216（2018上海靜安初三二模）等腰ABC中，AB=AC，它的外接圓O半徑為1，如果線段OB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90后可與線段OC重合，那么ABC的余切值是_【答案】21【解析】分兩種情況，1eqoac(,）當(dāng))AB

43、C為銳角三角形，AB=ACOB=OCAD垂直平分BCOB=OCBOC=90OBD=45OB=1,eqoac(,)BD=OD=22在RtABDeqoac(,中，)tanABC=ADBD122212;22eqoac(,）當(dāng))ABC為鈍角三角形，AB=ACOB=OCAD垂直平分BCOB=OCBOC=90OBD=45OB=1eqoac(,)BD=OD=22在RtABDeqoac(,中，)tanABC=ADBD122212.2故答案為21（172018全國初三單元測試）如圖是利用四邊形的不穩(wěn)定性制作的菱形涼衣架已知其中每個(gè)菱形的邊長為13cm，cosABC5，那么涼衣架兩頂點(diǎn)A、E之間的距離為_cm13

44、【答案】【解析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，作AMBC于點(diǎn)M，eqoac(,，)AB=BC=13cmcosABC=513，eqoac(,)5BM=BCcosABC=1313=5，由勾股定理得：AM=12eqoac(,，)MC=8由勾股定理得：AC=413在直角三角形ABO中，AO=AB2AO2313BD=2BO=613涼衣架兩頂點(diǎn)A、E之間的距離為61318（2020上海寶山初三一模）如圖，ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點(diǎn)E，連接BE，若BE=9，BC=12，則cosC=_【答案】23【解析】線段中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.根據(jù)DE是BC的中垂線可得CE=BE=9，CD

45、=CD62.EDC=90eqoac(,，則)cosC=CE9312BC=6，（192019上海市民辦新竹園中學(xué)初三月考）如圖，由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，、如圖所示，則cos=_.【答案】217.【解析】給圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，連接DE，如圖所示，在ABCeqoac(,中，)ABC=120BA=BC，eqoac(,)=30eqoac(,)同理，可得出：CDE=CED=30=eqoac(,，)又AEC=60eqoac(,)AED=AEC+CED=90設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2sin60a=3a，ADAE2DE27a，eqoac(,（)cos+）=DE21AD7故答案

46、為：217三、解答題（202020上海大學(xué)附屬學(xué)校初三三模）如圖，在梯形ABCD中，ADBCeqoac(,，)BCD=90，ABBC5，AD2,eqoac(,求)CD的長；eqoac(,若)ABC的平分線交CD于點(diǎn)E，連結(jié)AE，求AEB的正切值eqoac(,；)【答案】1422【解析】解：（1）過點(diǎn)A作AFBC垂足為F，由題意得FC=AD=2，AF=CD，.eqoac(,BC)=5，eqoac(,BF)=5-2=3，在eqoac(,Rt)AFB中：，AB2AF2BF2（勾股定理）即：5232AF2解得AF=4，eqoac(,CD)=4；（2）由AB=BCeqoac(,，)ABE=CBE，BE=

47、BE，得到ABECBE（SAS），AEB=CEB（全等三角形對應(yīng)邊相等），AE=EC（全等三角形對應(yīng)邊相等），設(shè)AE=EC=x，則DE=4x，在eqoac(,Rt)ADE中，AE2AD2DE2x2(4x)222，解得x52，tanAEBtanCEBBC52CE52（212019上海長寧初三二模）如圖，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，CFBD，垂足為點(diǎn)F，延長CF與邊AB交于點(diǎn)E求：（1）ACE的正切值；（2）線段AE的長（【答案】1）tanACE240；（2）AE317【解析】eqoac(,，)（1eqoac(,）)ACB=90eqoac(,，)ACE+BCE=

48、90eqoac(,，)又CFBDeqoac(,，)CFB=90eqoac(,，)BCE+CBD=90eqoac(,，)ACE=CBDAC=4且D是AC的中點(diǎn)，eqoac(,，)CD=2taneqoac(,)CBD=CDeqoac(,，)又BC=3在RtBCDeqoac(,中，)BCD=902，BC3tanACE=tanCBD23；（2）過點(diǎn)E作EHAC，垂足為點(diǎn)H，在RtEHAeqoac(,中，)EHA=90eqoac(,)tanA=EHHA，eqoac(,，)BC=3AC=4，在RtABCeqoac(,中，)ACB=90tanA=BC3，AC4EH3，HA4設(shè)EH=3k，AH=4k，AE2E

49、H2AH2，即AE23k24k2，eqoac(,，)AE=5k，在RtCEHeqoac(,中，)CHE=90tanECA=EH2，CH3AC=AH+CH=4k9eqoac(,)9CH=k，217kk4，22解得：k817，eqoac(,)AE=5k=401722（2020上海金山初三二模）如圖，已知在四邊形ABCD中eqoac(,A=)ABC=90，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，ABD與EBD關(guān)于直線BD對稱，AD1，AB3（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)E之間的距離；（2）聯(lián)結(jié)AC交BE于點(diǎn)F，求AFAC的值（【答案】1）AE=3；（2）AF3AC5【解析】（1）連接AE交BD于H，ABD與EBD關(guān)于直線BD對稱，eq

50、oac(,，)AEBDAH=HE，eqoac(,A=)90，AD1，AB3，eqoac(,，)BD=2S1ABD21ABADBDAH,2ABADBDAH，2AH3，AE=2AH3；sineqoac(,)ABD=ADeqoac(,)AF（2ADBEMeqoac(,A=)90，AD1，BD=2，1，BD2eqoac(,，)ABD=30ABD與EBD關(guān)于直線BD對稱，eqoac(,，)BED=eqoac(,A=)90，DE=AD=1，DBE=ABD=30eqoac(,點(diǎn))E是CD的中點(diǎn)，BE垂直平分CD，eqoac(,，)BC=BD=2eqoac(,，)CBE=DBE=30eqoac(,A=)ABC

51、=90，eqoac(,，)ADBCeqoac(,，)M=CBE=30eqoac(,)AM=AB3，tan30eqoac(,，)AMBCAM3，CFBC2eqoac(,)AF3.AC5（232020上海浦東新初三二模）已知：如圖，在RtABC中，ACB90，AC8，BC16，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，5為半徑的圓與BC相交于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)OE、OC（1）求EF的長；（2）求COE的正弦值（【答案】1）6；（2）55【解析】解：（1）過點(diǎn)O作OGEF于點(diǎn)G，eqoac(,，)EG=FGOGAC，又O為AB的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，即OGeqoac(,為)ABC的中位線，eqoac(,)1O

52、G=AC=4，2在RtOEG中，由勾股定理得，EG=OE2OG23，eqoac(,；)EF=2EG=6（2）在RtABC中，由勾股定理得，AB=AC2BC285，又O為AB的中點(diǎn)，CO=BO=45，又OGBCeqoac(,，)eqoac(,)1CG=BG=2BC=8，sineqoac(,)OCE=OGeqoac(,-)CE=CGEG=8-3=5，eqoac(,，)CE=EOeqoac(,，)COE=OCE45CO455COE的正弦值為5524（2020上海閔行初三二模）已知：如圖，在ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)D（1）求CD的長；（2）求

53、點(diǎn)C到ED的距離（【答案】1）CD=5；（2）53【解析】解：（1）過A點(diǎn)作eqoac(,AF)BC于點(diǎn)Feqoac(,在)RtABF中，cosBBFAB=AC=6，BC=4，eqoac(,AF)BC，BF=FC=2eqoac(,，)BFA=901AB3eqoac(,DE)垂直平分AB，AB=6，AE=BE=3eqoac(,，)DEB=90在RtDEB中，cosBBD=9，CD=BD-BC=5BE1，BD3（2）過C點(diǎn)作CHeqoac(,ED)于點(diǎn)Heqoac(,)CHeqoac(,CH)eqoac(,ED)，ABeqoac(,ED)，DEB=DHC=90，eqoac(,CH)eqoac(,A

54、B)，CDBEBDBE=3，BD=9，CD=5，CH5，3eqoac(,點(diǎn))C到ED的距離CH為53（252020上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)初三月考）如圖，已知拋物線yax22x+ceqoac(,經(jīng)過)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(9，10)eqoac(,，)ACx軸(1)求這條拋物線的解析式.(2)求tanABC的值.(3)若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)CDE與ABC相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)【答案】(1)y11x22x1；(2)tanABC；(3)E(4，1)或E(3，1)32(3)過點(diǎn)D作DKeqoac(,AC)，垂足為K，先證明DCK為等腰直角三角形，則DCKeqoac(,)BAC，當(dāng)ACc1a，解得3c1【解析】(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a、c的值即可；(2)過點(diǎn)B作eqoac(,BH)AC交AC延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作eqoac(,CG)AB于點(diǎn)G，先證明ABH和ACG均為等腰直角三角形，再求出CG和BG的長，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可；EC或ABCDACDCeqo