自動控制原理與應(yīng)用第2章

1、自動控制原理與應(yīng)用電子工業(yè)出版社課件制作: 劉湘濤 黃大足第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 2.1 數(shù)學(xué)模型的建立與定義方法2.2 簡單系統(tǒng)微分方程2.3 傳遞函數(shù)2.4 結(jié)構(gòu)圖（方框圖）2.5 發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng) 2.6 應(yīng)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型本章小結(jié)2.1數(shù)學(xué)模型的建立與定義方法一、定義 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)的輸入與輸出變量，以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式、圖表、曲線。二、數(shù)學(xué)模型的建立1、方法(1)解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理化學(xué)定律，列出變量間的數(shù)學(xué)表達式。(2)實驗方法：通過實驗求出系統(tǒng)或元件各變量之間的關(guān)系2、型式微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖、

2、狀態(tài)變量表達式3、說明 數(shù)學(xué)模型的建立應(yīng)該在模型的準(zhǔn)確性和簡化性之間作折衷考慮。 2.2 簡單系統(tǒng)的微分方程 用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟：(1) 根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入輸出變量；(2) 從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理（或化學(xué)）定律，列定出變化（運動）過程的動態(tài)方程，一般為微分方程組；(3) 消去中間變量，寫出只含有輸入、輸出變量的微分方程；(4)標(biāo)準(zhǔn)化將與輸入變量有關(guān)的各項放在等號的右側(cè)，與輸出變量有關(guān)的各項放在等號左側(cè)；按降冪（階）排列；將系數(shù)歸化學(xué)具有一定物理意義的形式（時間常數(shù)）。(5)在列寫某元件的微分方程時，還必須注意與其他元

3、件的相互影響，即所謂負載效應(yīng)問題。一、比例環(huán)節(jié)1、數(shù)學(xué)表達式：c(t)=kr(t) （2-1）式中c(t)為輸出變量，r(t)為輸入變量，k為該環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。2、特點輸出量與輸入量的頻率無關(guān)，任何突變形式的輸入都能在輸出中連續(xù)地按比例重現(xiàn)。3、實例機械杠桿、齒輪、電位器、測速發(fā)電機、理想變壓器、電子放大器等。4、說明實際比例環(huán)節(jié)都有慣性，但與系統(tǒng)中其他環(huán)節(jié)比較，慣性要小得多，因而認(rèn)為它無慣性。二、一階慣性環(huán)節(jié)（一階滯后環(huán)節(jié)）1、數(shù)學(xué)表達式 ： (2-2)2、特點 一階慣性環(huán)節(jié)含有一個儲能元件，輸入量的作用不能立即在輸出端全部重現(xiàn)出來，而是有一個延緩，即有慣性。3、實例例2-1： 如圖2-1所

4、示的RL串聯(lián)電路，總電壓ur為輸入，電阻上電壓uR為輸出，試建立其微分方程。解 （1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量，如圖2-1已知，ur為輸入，uR為輸出。 圖2-1 LC網(wǎng)絡(luò)（2）列微分方程組： 由基爾霍夫第二定律有：uL+uR=ui 由電磁感應(yīng)定律有：uL=L 由歐姆定律有：i= （3）消去中間變量：將式代入式有uL= 將式代入有： + uR= ui （4）標(biāo)準(zhǔn)化：令 =T，即該電路的電磁時間常數(shù)，得 +uR= ui 例2-2 如圖2-2所示的RC串聯(lián)電路，以總電壓ur為輸入，電容上電壓uC為輸出，試建立其微分方程。圖2-2 RC網(wǎng)絡(luò)解（1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量，如圖已知ur為輸入，壓uC

5、為輸出； （2）列微分方程組： 由基爾霍夫第二定律有： uR +uC =ui 由歐姆定律有： uR=R i 由電容充放電特性，有：uC= idt （3）消去中間變量 由式有： i=C 將式代入式有：uR=RC 將式代入式有RC +uC= ur （4）標(biāo)準(zhǔn)化： 令RC=T，即該電路的充放電時間常數(shù)，代入式有： T +uC= ur1、輸入量（激勵）2、輸出量（響應(yīng)） 3、被控制量 4、控制量（控制作用） 5、反饋 6、干擾（擾動） 7、自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)三、微分環(huán)節(jié)三、微分環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達式理想情況(理想微分環(huán)節(jié)) c(t)=T 一般情況(有慣性微分環(huán)節(jié)) T+c(t)= T 2、特點：輸出是輸入對時間的微

6、分，即輸出是輸入的變化率。3、實例例2-3： 如圖2-4所示電容電阻串聯(lián)電路，總電壓ur為輸入，電阻上的電壓uR為輸出，試建立其微分方程。圖 2-4 CR串聯(lián)電路解 （1）確定輸入、輸出變量：如圖可知，ur為輸入，uR為輸出。 （2）列微分方程組： uc+uR=ur uC= idt （3）消去中間變量： 將式入式有： uC= uRdt 將式代入式，有： +uR=ur 式兩邊對t求導(dǎo)，有： （4）標(biāo)準(zhǔn)化：將式按降階排列，有：令RC=T，并將式T，有： 當(dāng)T 1時，上式左邊第一項可以忽略，有：uR=T 為理想微分環(huán)節(jié)。 式為一般情況下的微分環(huán)節(jié)，即有慣性的微分環(huán)節(jié)（一階慣性微分環(huán)節(jié)）T + uR=

7、T 例2-4 如圖2-5所示電阻電感串聯(lián)電路，總電壓ur為輸入，電感上電壓uL為輸出。試建立其微分方程。圖 2-5 R L串聯(lián)電路 四、積分環(huán)節(jié) 1、表達式： c(t)=kr(t)dt （2-7）2、特點：輸出量與輸入量的積分成比例。3、實例圖2-7 他激直流電動uj=常數(shù)uan例2-6 如圖2-7所示，他激直流電動機轉(zhuǎn)軸角位移為輸出，電框電壓ua為輸入，加恒定直流激勵，并忽略電樞回路的時間常數(shù)（即認(rèn)為電樞電流是瞬時增長到穩(wěn)定值），有：=kuadtxxyA圖2-8 壓力油液活塞機構(gòu)例2-7 如圖2-8所示，以油流量x為輸入，活塞行程y為輸出的壓力油液壓驅(qū)動的活塞機構(gòu)，有：xdt Y= 式中A為

8、活塞截面積，為油液密度。五、振蕩環(huán)節(jié)（二階滯后環(huán)節(jié)） 1、自動控制原理的研究對象是自動控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)，這是本章的重點，要求通過實例掌握自動控制系統(tǒng)各組成部分及其功能。 2、經(jīng)典控制理論討論的是按偏差進行控制的反饋控制系統(tǒng)，應(yīng)該了解其控制的目的、控制的對象和控制的過程；熟悉對控制系統(tǒng)動態(tài)性能的基本要求，即穩(wěn)、快、準(zhǔn)；為進一步掌握控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)打好基礎(chǔ)。 六、純滯后環(huán)節(jié)（純延遲環(huán)節(jié)）表達式： c(t)=r(t-) (2-9)特點：輸出比輸入滯后一個時間。實例：延時繼電器。七、線性定常微分方程的求解 有了各環(huán)節(jié)的微分方程以后，就可以建立整個系統(tǒng)的微分方程，系統(tǒng)的微分方程建立以后，直接求出微分

9、方程的時間解，即得到系統(tǒng)的時間響應(yīng)。在工程中，求解微分方程常采用拉氏變換法，其步驟如下： (1)對方程兩邊求拉氏變換。 (2)將給定的初始條件代入方程。 (3)寫出輸出量的拉氏變換。 (4)對出輸出量的拉氏變換求反拉氏變換，得到系統(tǒng)輸出的時間解。 2.3 傳遞函數(shù) 描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以是微分方程，解系統(tǒng)的微分方程，可以得到在確定初始條件及外作用下系統(tǒng)輸出的響應(yīng)表達式，并可作出時間響應(yīng)曲線，從而可直觀地反映系統(tǒng)的動態(tài)過程，即可以闡明系統(tǒng)的性能和行為。 例如：前述RC串聯(lián)電路，總電壓為輸入，電容電壓為輸出的網(wǎng)絡(luò)，其微分方程為 一、傳遞函數(shù)的概念及定義二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)三、舉例四、利用復(fù)阻抗概

10、念求電氣環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.4 結(jié)構(gòu)圖（方框圖） 結(jié)構(gòu)圖的概念由前述方法，在求取傳遞函數(shù)時，需要對代數(shù)（變換）方程消元，如果方程的子方程數(shù)較多，消元是比較麻煩的；而且，消元之后，僅剩下輸入與輸出兩個變量，信號中間的傳遞過程得不到反映。能否找出一種形式的數(shù)學(xué)模型，即可以由它求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，又避免消元的麻煩，而且可以反映輸入信號在系統(tǒng)中間的傳遞過程呢？這就是下面將要介紹的結(jié)構(gòu)圖?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，是用具有一定函數(shù)關(guān)系和信號流向的若干方框，描述系統(tǒng)各組成元件之間信號關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。 二、結(jié)構(gòu)圖的組成 結(jié)構(gòu)圖是由若干對信號進行單向運算的方框和一些直線所組成的，它包含四種基本單元。 4、方框（環(huán)節(jié)）表

11、示對信號進行的數(shù)學(xué)變換。方框中寫入元件（一個或一組）的傳遞函數(shù)（該傳遞函數(shù)的求取按定義） 顯然，方框的輸出等于方框的輸入與方框中傳遞函數(shù)的乘積。即 C(S)=G(S)U(S)任何復(fù)雜的控制系統(tǒng)，都是由元件組成的，而元件的傳遞函數(shù)可以獨立確定。如果推導(dǎo)元件的傳遞函數(shù)時已考慮了負載效應(yīng)（或不計負載效應(yīng)），那么用傳遞函數(shù)描述的元件便可以用一個單向性的方框表示，整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，就可以按照系統(tǒng)中信號傳遞的順序，用信號線依次將各方框連接而成。三、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制方法 由原理圖繪制方框圖是分析的需要。由方框圖繪制原理圖是設(shè)計的過程。 1、列出各環(huán)節(jié)的方框圖：以典型環(huán)節(jié)或典型環(huán)節(jié)組合取代系統(tǒng)的具體元件，將各環(huán)

12、節(jié)的傳遞函數(shù)填入方框中，并標(biāo)出信號及其流向箭頭。 2、連接成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：按系統(tǒng)中信號流向，把代表各環(huán)節(jié)的方框連接起來，即成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 例2-16 繪制下圖所示RC電路的結(jié)構(gòu)圖四、結(jié)構(gòu)圖聯(lián)結(jié)的基本形式4、單環(huán)反饋連接（反并接）圖2-18 反饋連接及其等效傳遞函數(shù) (1)定義 一個方框的輸出，輸入到另外一個方框，得到的輸出再返回作用于前一個方框的輸入端，這種組合稱為反饋連接，如圖2-18所示。 前向通道：信號由系統(tǒng)輸入端流向輸出端的通道稱為前向通道，前向通道中的環(huán)節(jié)稱為前向通道環(huán)節(jié)。 反饋通道：信號由系統(tǒng)輸出端流向輸入端的通道稱為反饋通道，反饋通道中的環(huán)節(jié)稱為反饋環(huán)節(jié)。（2）特點： 系統(tǒng)的輸入

13、與反饋環(huán)節(jié)的輸出在同一相加點相加，系統(tǒng)的輸出與反饋環(huán)節(jié)的輸入在同一分支點引出，反饋連接的傳遞函數(shù)（閉環(huán)傳遞函數(shù)）為：(s)=Gc(s)= G(S)H(S)稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，它是閉環(huán)在主通道或反饋通道開斷后，開斷回路（從斷口看進出）總的傳遞函數(shù)（或構(gòu)成閉合環(huán)路所有串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)），這與開環(huán)系統(tǒng)中的開環(huán)傳遞函數(shù)含義是不同的，前者僅為系統(tǒng)的前向傳遞函數(shù)。 任何復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，都不外乎是由串接、并接和反并接三種基本結(jié)構(gòu)交織組成的。 五、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化 1、結(jié)構(gòu)圖等效變換法則 （1） 環(huán)節(jié)、分支點、相加點在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的前后關(guān)系： 信號流向始端為前（前向通道中靠系統(tǒng)輸入端為前，反饋通道

14、中靠系統(tǒng)輸出端為前），末端為后（前向通道中靠系統(tǒng)輸出端為后，反饋通道中靠系統(tǒng)輸入端為后）。 （2）法則：見表2-1，例如 同理可得 相加點前移法則：相加點由靠近方框輸出端的位置移到靠近方框輸入端的位置， 須將相加 （減）的信號V除以移過的方框之中的傳遞函數(shù)G，即Y= GU+V=G（U+V/G） 。相加點后移法則：相加點由靠近方框輸入端的位置移到靠近方框輸出端的位置，須將相加 （減） 的信號V乘以移過的方框之中的傳遞函數(shù)G，即Y= G（U+V）=GU+GV。 2、結(jié)構(gòu)圖簡化的一般過程 (1)確定系統(tǒng)的輸入和輸出 輸入和輸出不一定都是參考輸入U（s）和系統(tǒng)最后的輸出Y（s）。例如，輸出可以是誤差E

15、（s），輸入是參考輸入U（s），這時求出的閉合傳遞函數(shù)就是誤差傳遞函數(shù)；若輸入是擾動，則可求出對擾動的傳遞函數(shù)等等。輸入、輸出確定后，從輸入到輸出的通道就成為前向通道。 (2)串接、并接、反饋連接的環(huán)節(jié)分別用其等效環(huán)節(jié)代替，如有交叉反饋，則可以先移動反饋信號的作用點（相加點）或分支點，使局部反饋解除交叉，獲得局部反饋連接，然后簡化。 (3)重復(fù)（2）中各項，最后求閉環(huán)系統(tǒng)的最基本結(jié)構(gòu)圖或總的傳遞函數(shù)。 結(jié)果檢驗：應(yīng)符合兩條原則 (1)前向通道中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。 （2）各回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。 六、結(jié)構(gòu)圖等效變換舉例圖2-15：超前校正器的結(jié)構(gòu)圖2.5 發(fā)電機勵磁控制系統(tǒng)一、

16、勵磁控制系統(tǒng)的構(gòu)成及動作原理二、 發(fā)電機的傳遞函數(shù)三、功率勵磁裝置的傳遞函數(shù)四、勵磁控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖一、勵磁控制系統(tǒng)的構(gòu)成及動作原理1、勵磁控制系統(tǒng)的主要作用（1）維持發(fā)電機機端電壓或系統(tǒng)某點電壓在給定的數(shù)值（2）保證并聯(lián)運行的各發(fā)電機的無功功率合理分配（3）提高系統(tǒng)的靜態(tài)穩(wěn)定及動態(tài)穩(wěn)定性。（4）改善電力系統(tǒng)的運行條件2、勵磁控制系統(tǒng)的構(gòu)成：由發(fā)電機功率勵磁裝置及自動勵磁調(diào)節(jié)器構(gòu)成的一個閉環(huán)負反饋控制系統(tǒng)。（1）發(fā)電機：被控對象（2）功率勵磁裝置：供給發(fā)電機轉(zhuǎn)子磁場所需的直流功率，有三種典型勵磁方式。直流勵磁機勵磁方式，適用于中小容量機組。交流勵磁機勵磁方式，適用于大容量機組。晶閘管功

17、率勵磁方式，適用于大中容量機組。（3）自動勵磁調(diào)節(jié)器AVR調(diào)節(jié)中樞，一般由調(diào)差環(huán)節(jié)、電壓檢測、綜合放大等環(huán)節(jié)組成。二、 發(fā)電機的傳遞函數(shù)三、功率勵磁裝置的傳遞函數(shù)四、勵磁控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖 設(shè)控制器為比例環(huán)節(jié)（簡記為P）或比例積分環(huán)節(jié)（簡記為PI），即 G1(S) =K，或 G1(S) =K+ 測量反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)主要因子亦為比例，即H(s)= ， 則可根據(jù)各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及方框圖建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖，如圖2-28所示。 圖2-28 勵磁控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖 （a） 勵磁機勵磁控制方式圖2-28 勵磁控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖（b）晶閘管勵磁控制方式 2.6 應(yīng)用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 本章小結(jié) 分析或設(shè)計控制系統(tǒng)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本章介紹了建立數(shù)學(xué)模型的原理一般方法及步驟，其要點是：數(shù)學(xué)模型是描述元部件及系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達式，是對系統(tǒng)進行理論分析研究的主要依據(jù)。根據(jù)實際系統(tǒng)用解析法建立數(shù)學(xué)模型，一般是從列寫微分方程著手。了解元部件的工作原理是正確建立微分方程的前提。只有這樣才能獲得一個既簡單又足夠精確地反映動態(tài)本質(zhì)的模型。實際元部件均不同程度地存在非線性，因此往往要做非線性處理。傳遞函數(shù)是又一種數(shù)學(xué)模型，而且是經(jīng)典控制理論中更為重要的模型。它是從對微分方程進行拉氏變換的推導(dǎo)中得出的。