點(diǎn)線面的位置關(guān)系與平行關(guān)系

1、點(diǎn)、線、面位置關(guān)系以及線面平行關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)杭理】1、公理及推論公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1:公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).公理2：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)：平面a和0相交，交線是a,記作a A B=a.符號(hào)語(yǔ)言：PeApB=ArB = LPel .公理2作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法.它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn).(它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù).公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論：一直線和直

2、線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一面.公理3及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)；它是證明平面重合的依據(jù).公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.2、空間直線與直線之間的位置關(guān)系異面宜線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交.異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線.異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或克角，即所成角.兩條異面克線所成角的范 圍是(0。, 90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條

3、，或兩條同時(shí)平移到某個(gè) 特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上.B、證明作出的角即為所求角.C、利用三角形來(lái)求角.異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長(zhǎng)度，叫做 兩條異面直線間的距離.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ).3、空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)一一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)彈交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).(或直線在平面外)平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：cu a ； aC a =A； a/ a .直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外.4、平面與平面之間的

4、位置關(guān)系：平行一沒(méi)有公共點(diǎn)：a/ fi；相交一有一條公共直線：adfi = J.5、直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條宜線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.一（記憶口訣：線線平行線面平行）符號(hào)表示為：a （Z a.b c a.a/h=a/a圖形如右圖所示.用符號(hào)表示為:au 0.bu卩、（心匕= ullablla6用符號(hào)表示為:au 0.bu卩、（心匕= ullablla圖形如右圖所示.直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)該直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（記憶口訣：線面平行 線線平行）alia用符號(hào)表示為：“U0=/?a（p

5、= b圖形如右圖所示.8、面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.用符號(hào)語(yǔ)言表示為：a/?./p|a0/7 = b=a/b .其它性質(zhì)：a/0Juan/0；a/0,/丄丄 0 ；夾在平行平面間的平行線段相等.圖形如右圖所示.【典型例題】題型一、證明點(diǎn)或線共面、三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)問(wèn)題例題1：如圖，已知空間四邊形ABCD中，E. F、G、H分別是AB. AD. BC. CD上的點(diǎn)，且EF交GH于P.求 證：P在直線BD上.變式h如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn), CF CG2 rIz 、=一，則()CB CD3EF與GH互相平行E

6、F與GH異面C) EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上(D) EF與GH的交點(diǎn)M 一定在直線AC上變式2：如圖所示，設(shè)E, F , G , H分別是空間四邊形ABCD的邊A3,BC, CD、04上的點(diǎn)，且埜= = 2, = = 求證：AB AD CB CD(1) E, F , G、H四點(diǎn)共面；當(dāng)入=口時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形；當(dāng)幾工“時(shí)，四邊形FGH是梯形.題型二、異面直線的判定或求異面直線所成的角例題2:力是彩平面外的一點(diǎn)，E、F分別是必、彳的中點(diǎn),求證：直線肪與血是異面直線；)若AC丄BD、AOBD、求與加所成的角.變式3：給出下列關(guān)于互不相同的克線l.m.n和平

7、面4隊(duì)丫的三個(gè)命題:若/，加為異面直線，I u a、m u卩，則al I p ；若a 11隊(duì)I u a、m u 0、則/ / /加；若 af!0 = /, A / = /?, yCa = n, /,則 ml In,其中真命題的個(gè)數(shù)為()2 3B. 2C. 1D. 0題型三、直線與平面、平面與平面平行的判定MM3:如圖所示，正方體ABCDAiBiCiDi中，側(cè)面對(duì)角線AB. BG上分別有兩點(diǎn)E, F,且BiE=CiF.求證:EF 平面 ABCD.Aea,Ae /3 3 w w 0 n = AB I(Z a,A el A e a AyB,C e a A、B、C 已卩 A,B,C Oa p a ma

8、, nz a, m nil a m a a, n 丄 BC P-ABCD 2 2AB /CD, AB =丄DC E PD F PC AEU PBC ABCD AB O F O FC M OM / DAF 273 A4BCA4CDC ABCD -M N CD CC舛M DN ABCDEF - ABCXDXE,FXFB C、E FC嚴(yán)伍 FBEG ABCD-ABCD E,F BB,DD. AFIIEC AEUFC, O、D AB,PB OD/PA PAu PAC OD(z PAC ODII PAC E、F PB、PC EF/BC AD/BC AD/EF A)u PAD EF u PAD EF/ P

9、AD CB CB, E ED BBg E CXB D AB ED/C.A EDu CDB、CA h CDB、C.A/ CDB、BDMO ABCD O AC O BD M PD PB! IMO PEu ACM MOu ACM PBH ACM CE P FP、BP F CD pfhed、pf = Led AB/ED,AB=-DE ABMPF、AB = PF ABFP AF! I BP AFu 2 2BCE BPu BCE AF/ BCE F AA. HBB, /CC, A4, = BB = CCX ACC.A,AC/MjCp AC = AC ABCD F F AC E FCIIA.E, FC =

10、A、E A.EFC FAJICE FAu ABD CE 11.解:(1)在正方體 ABCD-AiBiCiDi 中，胚入分別是易氏邱?用中點(diǎn)zq 5 = 90AD =可以證明DC | A.BLSI | AXBA堤朋l的中點(diǎn)、LM | 45_同理坤=軌氏3=呂C可以求得蓉= CB=g= Z是的中點(diǎn)= LM =nAZJ是等邊三角形弋M :ZD今是等腰直角三角形B竺=1 今 mviixc血的2 / /NB-Z AABCMCD=-乙乙ACH平面胚VPAC AF 3丁打= Z A ly/3 Z= Z A ly/3 ZNB PD =5D X 平面PN u平面胚VP設(shè)平面MVPD平CD = PEHCu平面4C

11、D1=FE|AC，即平面MNP與平面ACD的交線/AC.旳|平面MVP3、拓展訓(xùn)練答案B,【解析】對(duì)于A,直線厶與厶可能異面；對(duì)于C,直線厶、厶、厶可能構(gòu)成三棱柱三條側(cè)棱所在直線時(shí) 而不共面；對(duì)于D,直線Z、12、厶相交于同一個(gè)點(diǎn)時(shí)不一定共面，所以選B.B,解析】在a內(nèi)存在直線與/相交，所以A不正確；若a內(nèi)存在直線與/平行，又V/(Z a,則有Ma、 與題設(shè)相矛盾，.B正確，C不正確；在a內(nèi)不過(guò)/與a交點(diǎn)的直線與/異面，D不正確.C,【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交， 所以A錯(cuò)；一個(gè)平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行，故B錯(cuò)；若兩個(gè) 平面垂直同一個(gè)平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯(cuò)；故選項(xiàng)C正確.B 5. 90s【答案】證明：因?yàn)閳A柱的上下底面平行，且FB、GEi是截面與圓柱上、下底面的交線，所以 FBIICE依題意得，正六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，所以，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，即A8 = 4F = 1在中，由正六邊形的性質(zhì)可知，ZBAF = 120 ,所以，BF2 = AB- + AF2