隨機向量以及其概率分布

1、關(guān)于隨機向量及其概率分布第一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1 隨機向量的聯(lián)合分布4.1.1 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)引例 假設(shè)某商店一天內(nèi)的顧客人數(shù)X服從參數(shù)為1000的Poisson分布；購買某種商品的人數(shù)記為Y，若每個顧客購買這種商品的概率為0.25，且各個顧客是否購買這種商品是相互獨立的。求一天有m個顧客進入商店且有n個顧客購買這種商品的概率。第二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為，X、Y為定義在上的隨機變量，則稱(X,Y)為一個二維隨機向量。若(X,Y)是一個二維隨機變量，則稱函數(shù) F(x,y)=P(Xx,Yy)(等式右邊表示隨機事

2、件Xx、Yy的乘積的概率)為隨機變量(X,Y)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。第三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)：0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0，F(xiàn)(+,+)=1；當x固定時F(x,y)是y的單調(diào)不減函數(shù)，當y固定時F(x,y)是x的單調(diào)不減函數(shù)；F(x,y)最多有可列個間斷點，且在間斷點(x0,y0)處關(guān)于x和y都是右連續(xù)。第四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 已知(X,Y)的分布函數(shù)為求：A、B；概率P(0X1,0Y5)。離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布的性質(zhì)：pij0；p11+p12+p1n+p21+p22+p2

3、n+pn1+pn2+pnn+=1。第八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1.3 二維連續(xù)型隨機向量定義 對二維隨機向量(X,Y)，若存在非負可積函數(shù)f(x,y)，有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，f(x,y)為X與Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)或(X,Y)的密度函數(shù)，簡記為(X,Y)f(x,y)。第九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月連續(xù)型隨機向量的密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)：f(x,y)0； 例 設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：A；P(X+Y1)。第十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 若二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)，聯(lián)合分

4、布函數(shù)為F(x,y)。則有例 隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：A；P(XY)；(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)。第十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求：A；P(XY)。定義 若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從D上的均勻分布。第十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 若隨機向量(X,Y)的密度函數(shù)為則稱隨機向量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)N(1,2,12,12,r)。第十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2 邊緣分布4.2.1 邊緣分布函數(shù)定義 對二維隨機向量(X,

5、Y)，隨機變量X、Y 的分布函數(shù)稱為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣分布函數(shù)。定理 若(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FX(x)=F(x,+)，(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=F(+,y)。第十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2.2 二維離散型隨機向量的邊緣分布律定義 若(X,Y)是二維離散型隨機向量，則隨機變量X、Y的概率分布稱為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布。定理 若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率分布為pi=P(X=xi)=p

6、i1+pi2+pij+，i=1,2,3,，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率分布為pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，第十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月求邊緣概率分布時，可在表格上直接進行： YX y1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2xipi1pi2pijpipjp1p2pj第十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布。例 若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右求(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率分布。 YX 23410.20.250.0

7、5200.250.053000.2 YX 23410.10.250.1520.060.150.0930.040.10.06第十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2.3 二維連續(xù)型隨機向量的邊緣密度 定義 若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，則稱隨機變量X、 Y的概率密度為(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度。定理 若(X,Y)f(x,y)，則(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度分別為：第十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 若二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：求：c的值；(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣概率密度。第十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3

8、條件分布4.3.1 條件分布函數(shù)定義 (X,Y)為二維隨機向量，若對固定的x，極限存在，則稱之為在X=x下Y的條件分布函數(shù)，記為FY|X(y|x)。第二十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 (X,Y)為二維隨機向量，若對固定的y，極限存在，則稱之為在Y=y下X的條件分布函數(shù)，記為FX|Y (x|y)。第二十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.2 二維離散型隨機向量的條件分布律定義 設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機向量，若對固定的xi，有PX=xi0，則稱為在條件X=xi下Y的條件分布列。若對固定的yj，有PY=yj0，則稱為在條件Y=yj下X的條件分布列。第二十二張，P

9、PT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 若二維離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右，求：邊緣分布；在條件Y=2下X的條件分布；條件X=2下Y的條件分布。 YX12300.10.050.1510.050.150.0520.150.1030.100.1第二十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3.3 二維連續(xù)型隨機變量的條件分布密度定義 設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，若對固定的x，有fY(y) 0，則稱為在條件X=x下Y的條件分布。若對固定的y，有fY(y) 0，則稱為在條件Y=y下X的條件分布。第二十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 若二維連續(xù)型隨機向量(X,

10、Y)的聯(lián)合概率密度為：求：(X,Y)關(guān)于X、Y的邊緣密度函數(shù)；在條件X=0下Y的條件密度函數(shù)；條件密度函數(shù)fX|Y(x|y)。第二十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.4 隨機變量的獨立性定義 設(shè)(X,Y)為二維隨機向量，若對任意x、yR，有F(x,y)=FX(x)FY(y)則稱X與Y相互獨立。定理 若X與Y相互獨立，則FX|Y (x|y)=FX(x)；FY|X (y|x)=FY(y)。第二十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若離散型隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為 PX=xi ,Y=yj=pij，i,j=1,2,3,，則X與Y相互獨立的充要條件為：對任意i,j， pi

11、j=pipj例 已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布如右圖：且X與Y相互獨立，求a、b的值。 YX01210.080.20.122a0.3b第二十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月若連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X與Y相互獨立的充要條件為： f(x,y)=fX(x)fY(y)例 已知隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為判斷X與Y是否相互獨立。例 已知Xe(1)，Ye(2)，且X與Y相互獨立，求P(XY)。第二十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 設(shè)隨機試驗的樣本空間為，X1、X2、Xn為定義在上的隨機變量，則稱(X1,X2,Xn)為一個n維隨

12、機向量。若(X1,X2,Xn)是一個n維隨機向量，則稱函數(shù)F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)為隨機向量(X1,X2,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)。函數(shù)FXi(x)=P(Xix)為隨機向量(X1,X2,Xn)關(guān)于Xi的的邊緣分布函數(shù)。第二十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 若隨機向量(X1,X2,Xn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)F(x1,x2,xn)及其邊緣分布函數(shù)FXi(x)滿足F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)則稱X1、X2、Xn相互獨立。定理 若X1、X2、Xn相互獨立，則其中任意k個隨機變量也相互獨立，2kn 。第三十張，PPT

13、共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定義 若隨機向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn)和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(聯(lián)合)分布函數(shù)分別為F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)則稱(X1,X2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立。定理 若(X1,X2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立，對任意函數(shù)g和h，則g(X1,X2,Xm)與h(Y1,Y2,Yn)相互獨立。第三十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 若(X1,X

14、2,Xm)與(Y1,Y2,Yn)相互獨立，記則Ak與Ak、Ak與Bk、Bk與Ak、Bk與Bk相互獨立。第三十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.5 隨機向量函數(shù)的分布定義 設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，Z是隨機變量。對連續(xù)函數(shù)g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件發(fā)生時，Z=g(x,y)描述的事件一定會發(fā)生，則稱隨機變量Z為(X,Y)的函數(shù)，記為Z=g(X,Y)。求二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)Z的分布時，常把Z描述的事件轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示。第三十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.5.1 二維離散型隨機變量函數(shù)的分布 例 設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布為求

15、X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。 YX-11200.10.20.110.150.30.15第三十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月總結(jié) 求離散型隨機向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的概率分布的步驟為：把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有取值；對Z的每一個取值z0，找出所有滿足g(x,y)=z0的(x,y)，把對應(yīng)的概率PX=x,Y=y相加得到P(Z=z0)。例 設(shè)Xg(p1)，Yg(p2)，且X與Y相互獨立，求X+Y的概率分布。第三十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 對和的分布，重要的離散型分布的結(jié)果：設(shè)XB(n1,p)，YB(n2,p)，

16、且X與Y相互獨立，則X+YB(n1+n2, p)； 設(shè)XP(1)，YP(2)，且X與Y相互獨立，則X+YP(1+2)。定義 若兩個同種分布的隨機變量的和仍服從這種分布，并且和的參數(shù)等于參數(shù)的和，則稱這種分布具有可加性或再生性。第三十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4.5.2 二維連續(xù)型隨機向量函數(shù)的分布已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)為已知函數(shù)，求Z=g(X,Y)的概率密度的步驟為：把FZ(z)轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示(其中Dz為區(qū)域或者幾個區(qū)域的并)：FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz)；計算積分FZ(z)=P(X,Y)Dz對FZ(z)求導(dǎo)得到Z的概率密度。這種方法一般稱為分布函數(shù)法。第三十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 已知求X+Y的概率分布。定理 已知(X,Y)f(x,y)，則X+Y的概率密度為已知XfX(x)，YfY(y)，且X與Y相互