專題-圓錐曲線定值問題

1、將式兩邊平方并把y1=4x12,y2=：x22代入得y1=A2y2 由，消x得ky2y+y0(1化)=0解得yF1ky0,x(1-ky0)2；同理yF二1+kyG+ky)2EFyF1ky1+ky00(1ky)2(1+ky)20-4ky02y0(定值)所以直線EF的斜率為定值利用消元法高三二輪一一圓錐曲線中的“定值”問題概念與用法圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點.解決這個難點的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系等不受變量所影響的一個值，就是要求的定值.具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為

2、某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值.基本解題數(shù)學思想與方法在圓錐曲線中，某些幾何量在特定的關系結(jié)構(gòu)中，不受相關變元的制約而恒定不變,則稱該變量具有定值特征.解答此類問題的基本策略有以下兩種：1、把相關幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關.2、把相關幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關.題型示例一.證明某一代數(shù)式為定值：1、如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB.若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；解:設M(y0,y0),直線ME的斜率為k(l0)，直線MF的斜率為一k,直線ME方程為yy

3、=k(xy2).002、已知拋物線x2=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且AF=AFB(久0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M.證明FMAB為定值解：由已知條件，得F(0，1)，久0.設A(x1，y1)，B(x2,y2).由AF=AFB,即得(一工,1y)=(x2，y21)，所以，x1=A%21-y1=A(y2-1)解、式得1=久，y,1口士2=2，且有兀1兀2=加2?=4勿2=一4,拋物線方程為y=x2，求導得y=；x.所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是1,1,Rn1111y=2X(xX)十y1，y=2x2(xx2)十y2，即了=2工嚴一4X&y=2x2x_4X

4、/X1+x2X1X2X1+x2解出兩條切線的交點M的坐標為(2,4)=(2,1).x1+x2111所以FMAB=(2，2)(x2X,y2y1)=2(x22x12)2(4X224X12)=0所以FMAB為定值，其值為0.利用不變因素將式兩邊平方并把y1=4x12,y2=：x22代入得y1=A2y2 # #將式兩邊平方并把y1=4x12,y2=：x22代入得y1=A2y2 # #3、已知橢圓+，1Cb0為勺離心率為e.直線l:y=ex,a與x軸、y軸分別交于a2b2點A、B,M是直線1與該橢圓的一個公共點。求證J為定值。解:（設AM-九AB,由題意得Ayex+a由Sx2y2得+1、a2b2M(-c

5、,b2,AMIa丿九AB,ac九eb2kaa將式兩邊平方并把y1=4x12,y2=：x22代入得y1=A2y2 # #將式兩邊平方并把y1=4x12,y2=：x22代入得y1=A2y2 ca2b2,九1e2且1e20,故1e2為定值。利用輔助元AB解析幾何中的定值問題是數(shù)學中的重要問題，求解這類問題需要綜合應用解析幾何和代數(shù)的相關知識與方法。以上幾種思維策率是高中數(shù)學中常用到的。要注意體會。二.證明動直線過定點或動點在定直線上問題x2y24、如圖，橢圓a2，：2-1的兩焦點F1，F(xiàn)2與短軸兩端點B1，B2構(gòu)成B2F1B1為120，面積為23的菱形。（I）求橢圓的方程；（2）若直線1:ykx+m

6、與橢圓相交于M、N兩點（M、N不是左右頂點），且以MN為直徑的圓過橢圓右頂點A.求證:直線1過定點，并求出該定點的坐標.解：易得橢圓的方程為P電ykx+m(2)由X2y2，消去y得到+1,433+4k2乂2+8kmx+4m20,即(8km)2一4C+4k2)4m2一12)=48k2一12m2+36=12Ck2一m2+3)08km4m2一12則有x+x,xx123+4k2123+4k2因為以MN為直徑的圓過橢圓右頂點A，所以AM-AN=0,即2,y(2,y)=0，而y=kx+m,y=kx+m代入并整得11221122+k2乂x+Cx+x)(km一2)+Cm2+4)=01212+k2)4m212一

7、衛(wèi)(km2)+C2+4),化簡整理得到3+4k23+4k27m2+16km+4k2=0,.(m+2k)(7m+2k)=0,.m=-2k或m=k7m2k,m2k均滿足判別式大于0,所以當m-2k時，l:y=kx2k=k(x2)此時，直線過定點(2,0)2當m-k時,l:ykx-k7,此時，直線過定點2I畀三探索曲線在某條件下某一代數(shù)式是否取定值5、已知一動圓M,恒過點F(1,0)，且總與直線|:xb0)上任一點，A、B是該橢圓上關于原點對稱的兩點,a2b2那么kk是否為定值？PAPB思考：把橢圓改成雙曲線，結(jié)論是否仍然成立？2、過拋物線y22px的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD,判斷廠二，二是否為定|AB|CD|值，若是定值，求出該定值。13、已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線yx2的焦點,4離心率等于2J5求橢圓C的標準方程過橢圓的右焦點作直線1交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若MAAF,MBBF，求證+為定值。1212x2y24、已知橢圓一+=1(ab0)的兩個焦點分別為F(1,0),F(1,0)，點P在橢圓上，a2b212且滿足1