《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(韓旭里-謝永欽版)習(xí)題五及答案

1、習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X估計(jì)P10X18.4【解】設(shè)尤表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則X1=1E=1x2x3x4x5x6x=y9166666662x丄+2以+3心+4以+5以+6以=666666TOC o 1-5 h zoi(735從而Q(xj=e(苦)-=百-=6(2丿12又禺疋石石獨(dú)立同分布.447從而EX)=E送X)=工=4x-=14,2=if=i2443535Q(X)=Q(工XJ=工Q(H)=4x=.f=l1=1丄/3所以P10vx18=P|-14|1-|40.271,j84%之間2假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是08.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%上的概率不小J;90%,問這

2、批產(chǎn)品至少耍生產(chǎn)多少件?1,若第】個(gè)產(chǎn)品是合格品,0,其他情形.而至少要生產(chǎn)刃件,則z=1,2,.a且XvX，E獨(dú)立同分布，P=PX=08,現(xiàn)要求2使得WP07650.9.nYa;-0.8/1.0.76/1-0.8n臺(tái)0.84?-0.8n、P一0.98x0.2J/?x08x02J/?xO8xO2由中心極限定理得 (0.84/?-0.8?一0.9,沖,查表尋整理得(101.64, #巾？一140）查表知m-140V42=1.64,曲=151.268.96,故取n=269.某車間有同型號(hào)機(jī)床200部，每部機(jī)床開動(dòng)的概率為0.7,假定各機(jī)床開動(dòng)與否互不影響,開動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位問至少供應(yīng)

3、多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)【解】要確定最低的供應(yīng)的電能炭，應(yīng)先確定此車間同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最丿、值加，而加要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,J-是我們只要供應(yīng)15加單位電能就可滿足要求令X表同時(shí)開動(dòng)機(jī)床數(shù)目，則心（200,0.7）,E(A3=140,D(卻=42,0.95=PQXm=P(Xio5的近似值.k=l【解】易知衛(wèi)曙 #由中心極限定理知I,隨機(jī)變最20YK-20 x5幺k-20 x5近似的z、型X2012Z=7N(0,l)100“JX20V12丁是P/105=P0.387沖1一(0.387)=0.348, 即有105)0348

4、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小J：3ni現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短J3m,則心(100,0.2)從而PXn30=lFXv30ulr30-100 x0.2100 x0.2x0.8 # #=1-(2.5)=1-0.9938=0.0062某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品刈丁醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為08.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.

5、7,問接受這一斷言的概率是多少？1,0,第人治愈,其他 # #100令兀.1=1(1)XB(100,0.8),Pfl75亠冷75“-也：5-100心1=1IJlOOxO.8x0.2)=1一(一125)=0(1.25)=0.8944.(2)XB(100,0.7),100KEX、1=175=1FX575q1-75-100 x0.7x/100 x0.7x0.3=1一=1-0(1.09)=0.1379. 用Laplace中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X,則j9=0.05,=10005(1000,0.05),E(X)

6、=50,D(X)=47,5.故FX=20=1(20-50、而而汀16.89530)6.895丿16.895300(6895丿=4.5xl06.設(shè)有30個(gè)電子器件.它們的使用壽命忌服從參數(shù)久=0.1單位：（小時(shí)）1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類推令：T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過350小時(shí)的概率.【解】昭）=學(xué)尋10,D（7；）=A.=100,E（T）=10 x30=300,D（T）=3000.FT350-350-300/3000=1-0(0.913)=0.1814. #306x8-10/?、k10侖丿0.95=伽-2448、306x8=0.95,即0.051=

7、1 所以需272a元.10對(duì)J：一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,015若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（1）求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過450的概率？（2）求有1名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多340的概率-【解】（!）以&（戶12,400）記第z個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)則孟的分布律為012P0.05080.15易知E(JVJ=11)Q(&)=0.191,2,.,400.400而X=工X-由中心極限定理得400耳注警N(0,l).74x19工尤-400 x1.11=

8、7400 x0.19J：是PX450=lFX5450ul450-400 x1.174x19=1一0（1.147）=0.1357.（2）以Y記有一名家長(zhǎng)來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù).則YB（400,0.8）由拉普拉斯中心極限定理得/400 x0.8x0.2丿11.設(shè)男孩出生率為0.515,求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（10000,0.515）耍求女孩個(gè)數(shù)不少男孩個(gè)數(shù)的概率，即求F005OOO.由中心極限定理有PX5000：00-10000 x0.515=1-0=0.00135.IJ10000 x0.515x0.485丿12設(shè)有1000個(gè)人

9、獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為09.以95%概率估計(jì),在一次行動(dòng)中：（1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？（2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用&表第？個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（?=1,2,1000）.令S,產(chǎn)Y1+Z+X10Q0（1）設(shè)至少有加人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求/0.95,事件msn=1000 x0.9尹-900171000 x0.9x0.1碩)由中心極限定理知:Pm0.95.5/1000 x0.9x0.1丿從而加-900、790?0.05,所以加=9005.65=884.35=884人（2）設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，耍求P00.95.加卡“M900I查表知一=165M=90OH565=

10、91565=916人.丁90在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi)求：（1）保險(xiǎn)公司沒有利潤(rùn)的概率為多人；（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率為多人？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則灼（10000,0.006）.（1）公司沒有利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)“1000衛(wèi)=10000X12”即120”.J：是所求概率為PX=1201V10000 x0.006x0.994120-10000 x0.006(p0000 x0.006x0.994 # (60-i(60/594)2e21=J_L

11、_TOC o 1-5 h zl/5964丿J5964=0.0517xZ30*0（2）因?yàn)槔U公司利潤(rùn)60000當(dāng)且僅當(dāng)0r60nJ：是所求概率為(60-10000 x0.006、0-10000 x0.006)IVlOOOOx0.006x0.994丿QlOOOOx0.006x0.994)P0X60DTOC o 1-5 h zr60=6的估計(jì)-（2001研考）【解】令z=Y-r,有E(Z)=0,D(Z)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2%Jq(X)阿込=3.所以P|Z-（Z）|6=PX-Y6D（X7）=2=丄.6-3612某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%,以X表示在隨機(jī)

12、抽查的100個(gè)索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).（1）寫出X的概率分布；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少丁74戶且不多丁T0戶的概率近似值-（1988研考）【解】（1）X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是0.2,因此，XB（100,0.2）,故X的概率分布是PX=k=CfgO/O.*00,上=1,2,100.（2）被盜索賠戶不少F14戶且不多J-30戶的概率即為事件14X3069概率由中心極限定理，得r14-100 x0.2lJ100 x02x08丿P1430f30-100 x0.27100 x0.2x0.8丿=(2.5)-(一15)=0.994-933=0.927.生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重鼠是隨機(jī)的假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最人載重帚為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大F0.977【解】設(shè)乂（R2“）是裝運(yùn)！箱