D102對坐標曲線積分25184課件

1、2022/8/17阜師院數(shù)科院一、 對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例: 變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xoy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, 求移“大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院1) “大化小”.2) “常代變”把L分成 n 個小弧段,有向小弧段近似代替, 則有所做的功為F 沿則用有向線段 上任取一點在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院3) “近似和”4) “

2、取極限”(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院2. 定義.設 L 為xoy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院若 為空間曲線弧 , 記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標的曲線積分也可

3、寫作類似地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院3. 性質(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明: 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明: 下面先證存在, 且有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院對應參數(shù)設分點根據(jù)定義由于對應參數(shù)

4、因為L 為光滑弧 ,同理可證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院特別是, 如果 L 的方程為則對空間光滑曲線弧 :類似有定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例1. 計算其中L 為沿拋物線解法1 取 x 為參數(shù), 則解法2 取 y 為參數(shù), 則從點的一段. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例2. 計算其中 L 為(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 )

5、. 解: (1) 取L的參數(shù)方程為(2) 取 L 的方程為則則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例3. 計算其中L為(1) 拋物線 (2) 拋物線 (3) 有向折線 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例4. 設在力場作用下, 質點由沿移動到解: (1)(2) 的參數(shù)方程為試求力場對質點所作的功.其中為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例5. 求其中從 z 軸正向看為順時針方向.解: 取 的參數(shù)方程機

6、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記 A 在 t 上的投影為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院二者夾角為 例6. 設曲線段 L 的長度為s, 證明續(xù),證:設說明: 上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

7、 第17頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院例7.將積分化為對弧長的積分,解：其中L 沿上半圓周機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院1. 定義2. 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧(2) L 表示 L 的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院3. 計算 對有向光滑弧 對有向光滑弧機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第20頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院4. 兩類曲線積分的聯(lián)系 對空間有向光滑弧 :機動 目錄 上頁

8、下頁 返回 結束 第21頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院原點 O 的距離成正比,思考與練習1. 設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:(解見 P139 例5)F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 思考: 若題中F 的方向 改為與OM 垂直且與 y 軸夾銳角,則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計算提示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第23頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院作業(yè) P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院備用題 1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到 xoy 面的距離成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一質點在力場F 作用下由點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第25頁，共27頁。2022/8/17阜師院數(shù)科院2. 設曲線C為曲面與曲面從 o