高中數(shù)學(xué)解題思維策略

1、.：.；導(dǎo) 讀數(shù)學(xué)家G . 波利亞在中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培育學(xué)生的思想才干，培育良好思想質(zhì)量的途徑，是進(jìn)展有效的訓(xùn)練，本戰(zhàn)略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)展講解：一、數(shù)學(xué)思想的變通性 根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈敏想象和解題方案二、數(shù)學(xué)思想的反思性 提出獨(dú)特見(jiàn)解，檢查思想過(guò)程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)密性 調(diào)查問(wèn)題嚴(yán)厲、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理準(zhǔn)確無(wú)誤。四、數(shù)學(xué)思想的開(kāi)辟性 對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面思索、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度察看、對(duì)一個(gè)標(biāo)題運(yùn)用多種不同的解法。什么轉(zhuǎn)變，從而培育他們的思想才干。的即時(shí)性、針對(duì)性、適用性，已在教學(xué)實(shí)際中得到了全面驗(yàn)證。一、高中數(shù)學(xué)解題思想戰(zhàn)略第一講 數(shù)學(xué)思

2、想的變通性一、概念數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必需具有思想的變通性擅長(zhǎng)根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈敏的想象和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思想變通性的主要表達(dá)，本講將著重進(jìn)展以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： 1擅長(zhǎng)察看 心思學(xué)通知我們：覺(jué)得和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)方式，而察看那么是知覺(jué)的高級(jí)形狀，是一種有目的、有方案、比較耐久的知覺(jué)。察看是認(rèn)識(shí)事物最根本的途徑，它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和處理問(wèn)題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想處理它，就必需根據(jù)標(biāo)題的詳細(xì)特征，對(duì)標(biāo)題進(jìn)展深化的、細(xì)致的、透徹的察看，然后仔細(xì)思索，透過(guò)外表景象看其本質(zhì)，這樣才干確定解題思緒，找到

3、解題方法。例如，求和.這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問(wèn)題很快就處理了。2擅長(zhǎng)聯(lián)想 聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和根底知識(shí)的聯(lián)絡(luò)，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由察看到的特征，靈敏運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題翻開(kāi)缺口，不斷深化。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為，這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程 的兩個(gè)根，所以或.可見(jiàn)，聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。3擅長(zhǎng)將問(wèn)題進(jìn)展轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G . 波利亞在中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的延續(xù)變換?？梢?jiàn)，解題過(guò)程是經(jīng)過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才干完成的。轉(zhuǎn)化是解

4、數(shù)學(xué)題的一種非常重要的思想方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把籠統(tǒng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成詳細(xì)問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成知問(wèn)題。在解題時(shí)，察看詳細(xì)特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，知,求證、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟習(xí)、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思想變通性的對(duì)立面是思想的保守性，即思想定勢(shì)。思想定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思想方法處理假設(shè)干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思想方法處理以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類(lèi)型、記方法、套公式，使思想遭到限制，它是提高思想變通性的極大的妨礙，必需加以抑制。綜上所述，擅長(zhǎng)察看、擅長(zhǎng)聯(lián)想、擅出息展問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思想變通性的詳細(xì)

5、表達(dá)。要想提高思想變通性，必需作相應(yīng)的思想訓(xùn)練。 二、思想訓(xùn)練實(shí)例察看才干的訓(xùn)練 雖然觀(guān)察看起來(lái)是一種外表景象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的根底。所以，必需注重察看才干的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)標(biāo)題的詳細(xì)特征，采用特殊方法來(lái)解題。例1 知都是實(shí)數(shù)，求證 思緒分析 從標(biāo)題的外表方式察看到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的間隔 公式很類(lèi)似，而xyO圖121左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的間隔 公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思想變通的表達(dá)。證明 無(wú)妨設(shè)如圖121所示，那么 在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： 當(dāng)且僅當(dāng)O在A(yíng)B上時(shí)，等號(hào)成立。 因此， 思想妨礙 很多學(xué)生看到這

6、個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表方式上察看到它與平面上兩點(diǎn)間間隔 公式類(lèi)似的緣由，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)根底知識(shí)的掌握不結(jié)實(shí)。因此，平常應(yīng)多留意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。知，試求的最大值。解 由 得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思緒分析 要求的最大值，由知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)絡(luò)到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法察看到了隱蔽條件，表達(dá)了思想的變通性。思想妨礙 大部分學(xué)生的作法如下：由 得 當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要留意審題，不僅能從外表方式上發(fā)現(xiàn)

7、特點(diǎn)，而且還能從知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要留意主要的知條件，又要留意次要條件，這樣，才干正確地解題，提高思想的變通性。有些問(wèn)題的察看要從相應(yīng)的圖像著手。知二次函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖122思緒分析 由知條件可知，在與左右等間隔 的點(diǎn)的函數(shù)值相等，闡明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又由知條件知它的開(kāi)口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。解 如圖122由，知是以直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)它與間隔 越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思想妨礙 有些同窗對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的緣由，是沒(méi)有充分發(fā)掘知條件的含義，

8、因此思想遭到妨礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)知條件都要仔細(xì)琢磨，找出它的真正含義，這樣才干順利解題。提高思想的變通性。聯(lián)想才干的訓(xùn)練在中，假設(shè)為鈍角，那么的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思緒分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇B思想妨礙 有的學(xué)生能夠覺(jué)得此題條件太少，難以下手，緣由是對(duì)三角函數(shù)的根本公式掌握得不結(jié)實(shí)，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因此不能很快聯(lián)想到運(yùn)用根本公式。假設(shè)思緒分析 此題普通是經(jīng)過(guò)因式分解來(lái)證。但是，假設(shè)留意察看知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式類(lèi)似。于

9、是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。證明 當(dāng)時(shí)，等式 可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步察看這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 即 假設(shè)，由知條件易得 即,顯然也有.知均為正實(shí)數(shù),滿(mǎn)足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思緒分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)所對(duì)的角分別為、那么是直角，為銳角，于是 且當(dāng)時(shí)，有于是有即 從而就有 思想妨礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，難以進(jìn)展數(shù)與形的聯(lián)想，緣由是平常不留意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)絡(luò)，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因此不能將

10、標(biāo)題條件的數(shù)字或式子特征與直觀(guān)圖形聯(lián)想起來(lái)。問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是陌生的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先察看詳細(xì)特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟習(xí)的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問(wèn)題很快得到處理，所以，進(jìn)展問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 eq oac(,1) 轉(zhuǎn)化成容易處理的明顯標(biāo)題 例11 知求證、中至少有一個(gè)等于1。思緒分析 結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟習(xí)的方式。、中至少有一個(gè)為1，也就是說(shuō)中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易處理了。證明 于是 中至少有一個(gè)為零，即、中至少有一個(gè)為1。思想妨礙 很多學(xué)生只在知條件上下

11、功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其緣由是不能把要證的結(jié)論“翻譯成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變?yōu)槭炝?xí)問(wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯，是提高轉(zhuǎn)化才干的一種有效手段。直線(xiàn)的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問(wèn)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的間隔 等于該點(diǎn)到直線(xiàn)的間隔 。思緒分析 從標(biāo)題的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線(xiàn) 1是，又從知條件可得橢圓的方程為 2因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組1、2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將2代入1得： 3確定的范圍，實(shí)踐上就是求3有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等

12、式組： 在的條件下，得 此題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為規(guī)范問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。 eq oac(,2) 逆向思想的訓(xùn)練逆向思想不是按習(xí)慣思想方向進(jìn)展思索，而是從其反方向進(jìn)展思索的一種思想方式。當(dāng)問(wèn)題的正面思索有妨礙時(shí)，應(yīng)思索問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到處理。例13 知函數(shù)，求證、中至少有一個(gè)不小于1.思緒分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少等字樣，或以否認(rèn)方式給出時(shí)，普通可思索采用反證法。證明 反證法假設(shè)原命題不成立，即、都小于1。那么 得 ，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即、中至少有一個(gè)不小于1。 eq oac(,3)

13、 一題多解訓(xùn)練 由于每個(gè)學(xué)生在察看時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因此，同一問(wèn)題能夠得到幾種不同的解法，這就是“一題多解。經(jīng)過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生仔細(xì)察看、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思想的變通性。例14 知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。解法一代數(shù)法設(shè)解法二三角法設(shè)yxOi-2i圖123Z那么 解法三幾何法如圖123 所示，可知當(dāng)時(shí)，解法四運(yùn)用模的性質(zhì)而當(dāng)時(shí)，解法五運(yùn)用模的性質(zhì) 又第二講 數(shù)學(xué)思想的反思性一、概述數(shù)學(xué)思想的反思性表如今思想活動(dòng)中擅長(zhǎng)提出獨(dú)立見(jiàn)解，精細(xì)地檢查思想過(guò)程，不盲從、不輕信。在處理問(wèn)題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的處理問(wèn)題的方法，它和發(fā)明性思想存在著高度相關(guān)。

14、本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思想的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培育他們的發(fā)明性思想。二、思想訓(xùn)練實(shí)例(1) 檢查思緒能否正確，留意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。 例1 知，假設(shè)求的范圍。錯(cuò)誤解法 由條件得 2得 2得 +得 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)：作為滿(mǎn)足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大小值時(shí)，不一定取最大小值，因此整個(gè)解題思緒是錯(cuò)誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得 在此題中可以檢查出解題思緒錯(cuò)誤，并給出正確解法，就表達(dá)了思想具有反思性。只需結(jié)實(shí)地掌握根底知識(shí)，才干反思性地看問(wèn)題。證明勾股定理：知在中，求證錯(cuò)誤證法 在中，而，即錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來(lái)的。這

15、種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺(jué)中產(chǎn)生的，而且不易覺(jué)察。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法那么、定理，既要熟習(xí)它們的內(nèi)容，又要熟習(xí)它們的證明方法和所根據(jù)的論據(jù)。這樣才干防止循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)此題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思想具有反思性的表達(dá)。(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)展檢驗(yàn)的過(guò)程。經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，加強(qiáng)思想的反思性。知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤緣由，沒(méi)有留意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必需檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓與拋物線(xiàn) 聯(lián)立，消去，得 由于有

16、兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得 解之，得錯(cuò)誤分析 如圖221；222顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)。思索題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線(xiàn)，有一個(gè)公共點(diǎn)；有三個(gè)公共點(diǎn)；有四個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地加強(qiáng)思想反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域能夠會(huì)發(fā)生變化，這樣就有能夠產(chǎn)生增根或失根，因此必需進(jìn)展檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3

17、) 獨(dú)立思索，敢于發(fā)表不同見(jiàn)解受思想定勢(shì)或他人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出本人的看法，這不利于加強(qiáng)思想的反思性。因此，在處理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思索，敢于對(duì)標(biāo)題解法發(fā)表本人的見(jiàn)解，這樣才干加強(qiáng)思想的反思性，從而培育發(fā)明性思想。30支足球隊(duì)進(jìn)展淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問(wèn)需求安排多少場(chǎng)競(jìng)賽？解 由于每場(chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才干決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場(chǎng)競(jìng)賽。思 路 分 析 傳統(tǒng)的思想方法是：30支隊(duì)競(jìng)賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15742129場(chǎng)競(jìng)賽。而上面這個(gè)解法沒(méi)有盲目附和，思索到每場(chǎng)競(jìng)賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場(chǎng)競(jìng)賽。解方程調(diào)查方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖

18、象無(wú)交點(diǎn)。所以此方程無(wú)解。例7 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，那么的最小值是 思緒分析 本例只需一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)圈套，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案A的誘惑，盲從附和。這正是思想缺乏反思性的表達(dá)。假設(shè)能以反思性的態(tài)度調(diào)查各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)，的最小值是18；這時(shí)就可以作出正確選擇，只需B正確。第三講 數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)密性二、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思想的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思想過(guò)程服從于嚴(yán)厲的邏輯規(guī)那么，調(diào)查問(wèn)題時(shí)嚴(yán)厲、準(zhǔn)確，進(jìn)展運(yùn)算和推理時(shí)準(zhǔn)確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門(mén)具有高度籠統(tǒng)性和精細(xì)邏輯性的科

19、學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知程度和心里特征等要素的影響，中學(xué)生的思想過(guò)程經(jīng)常出現(xiàn)不嚴(yán)密景象，主要表如今以下幾個(gè)方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)實(shí)際體系中非常重要的組成部分。它是構(gòu)成判別、推理的要素。因此必需弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判別和推理奠定根底。概念不清就容易墮入思想混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。判別錯(cuò)誤 判別是對(duì)思想對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、形狀、存在等情況有所斷定的一種思想方式。數(shù)學(xué)中的判別通常稱(chēng)為命題。在數(shù)學(xué)中，假設(shè)概念不清，很容易導(dǎo)致判別錯(cuò)誤。例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)就是一個(gè)錯(cuò)誤判別。推理錯(cuò)誤 推理是運(yùn)用知判別推導(dǎo)出新的判別的思想方式。它是判別和判別的結(jié)合。任何一個(gè)論證都是由

20、推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，闡明思想不嚴(yán)密。例如，解不等式解 或 這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由推導(dǎo)時(shí)，沒(méi)有討論的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。二、思想訓(xùn)練實(shí)例思想的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。(1) 有關(guān)概念的訓(xùn)練概念是籠統(tǒng)思想的根底，數(shù)學(xué)推理離不開(kāi)概念。“正確了解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)根底知識(shí)的前提。試行草案不等式 錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)因 ，闡明解法錯(cuò)誤。緣由是沒(méi)有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零這一條件呵斥解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思想的不嚴(yán)密性。正確解法 求過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，那么它與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，

21、消去得：整理得 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線(xiàn)為錯(cuò)誤分析 此處解法共有三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線(xiàn)為時(shí)，沒(méi)有思索與斜率不存在的情形，實(shí)踐上就是成認(rèn)了該直線(xiàn)的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只需一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有思索相切的情況，只思索相交的情況。緣由是對(duì)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)“相切和“只需一個(gè)交點(diǎn)的關(guān)系了解不透。第三，將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要思索它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒(méi)作思索，表現(xiàn)出思想不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)垂直軸，由于過(guò)點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線(xiàn)相切

22、。當(dāng)所求直線(xiàn)斜率為零時(shí)，直線(xiàn)為平行軸，它正好與拋物線(xiàn)只需一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為那么， 令解得所求直線(xiàn)為綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為： 判別的訓(xùn)練呵斥判別錯(cuò)誤的緣由很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)注重如下幾個(gè)方面。留意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。假設(shè)忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。錯(cuò)誤解法 方程至少有一個(gè)實(shí)根，或錯(cuò)誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必需經(jīng)過(guò)嚴(yán)厲推行后方可運(yùn)用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此標(biāo)題盲目地把它推行到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，呵斥解

23、法錯(cuò)誤。正確解法 設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，那么由于都是實(shí)數(shù)，解得 例4 知雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線(xiàn)方程。錯(cuò)解1 故所求的雙曲線(xiàn)方程為錯(cuò)解2 由焦點(diǎn)知故所求的雙曲線(xiàn)方程為錯(cuò)解分析 這兩個(gè)解法都是誤以為雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有通知中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判別錯(cuò)誤，而呵斥解法錯(cuò)誤。隨意添加、脫漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。正解1 設(shè)為雙曲線(xiàn)上恣意一點(diǎn)，由于雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線(xiàn)的定義知 整理得 正解2 依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的中心為那么 解得 所以 故所求雙曲線(xiàn)方程為 留意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用我們知道：假設(shè)成立，那么成立，即，那么稱(chēng)是的充分

24、條件。假設(shè)成立，那么成立，即，那么稱(chēng)是的必要條件。假設(shè)，那么稱(chēng)是的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用忽略，就會(huì)出錯(cuò)。例5 解不等式錯(cuò)誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯(cuò)誤分析 不等式成立的充分必要條件是：或 原不等式的解法只思索了一種情況，而忽視了另一種情況，所思索的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的本質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，那么PC(3,0)yxO圖321 MN或，或原不等式的解集為 例6軌跡問(wèn)題求與軸相切于右側(cè)

25、，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯(cuò)誤解法 如圖321所示，知C的方程為設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上恣意一點(diǎn)，并且P與軸相切于M點(diǎn)，與C相切于N點(diǎn)。根據(jù)知條件得，即化簡(jiǎn)得 錯(cuò)誤分析 此題只思索了所求軌跡的純粹性即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿(mǎn)足條件，而沒(méi)有思索所求軌跡的完備性即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上。現(xiàn)實(shí)上，符合標(biāo)題條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿(mǎn)足所求的方程。從動(dòng)圓與知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的間隔 為半徑不等于3的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完好的、細(xì)致地、縝密地分析問(wèn)題，這樣，才干保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯(cuò)誤以偏

26、概全是指思索不全面，脫漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從而表現(xiàn)出思想的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.假設(shè)，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由時(shí)，應(yīng)有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全能夠?yàn)?，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)展整理變形。正確解法 假設(shè)，那么有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 可得 即由于，所以所以所以 闡明 此題為1996年全國(guó)高考文史類(lèi)數(shù)學(xué)試題第21題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分規(guī)范而痛失2分。防止直觀(guān)替代論證我們知道直觀(guān)圖形經(jīng)常為我們解題帶來(lái)方便。但是，假設(shè)完全以圖形的直觀(guān)聯(lián)絡(luò)為根據(jù)來(lái)進(jìn)展推理，這就會(huì)使

27、思想出現(xiàn)不嚴(yán)密景象。O圖322例8 如圖322，具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.知內(nèi)的曲線(xiàn)的方程是，求曲線(xiàn)在內(nèi)的射影的曲線(xiàn)方程。錯(cuò)誤解法 依題意，可知曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是由于二面角等于，且所以設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線(xiàn)在內(nèi)的射影的曲線(xiàn)方程是錯(cuò)誤分析 上述解答錯(cuò)誤的主要緣由是，憑直觀(guān)誤以為。正確解法 在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上恣意一點(diǎn)O圖323MNH如圖323過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作軸，垂足為銜接，那么軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸或與重合，軸或與重合，設(shè)，那么 由于點(diǎn)在

28、曲線(xiàn)上，所以即所求射影的方程為 推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思想方式，它是數(shù)學(xué)求解的中心。以知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為根據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，到達(dá)解標(biāo)題的，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必需留意所運(yùn)用的命題之間的相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思索縝密、推理嚴(yán)密。例9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)間隔 是，求這個(gè)橢圓的方程。錯(cuò)誤解法 依題意可設(shè)橢圓方程為那么 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的間隔 為，那么 所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯(cuò)解分析 雖然上面

29、解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有思索到的取值范圍?，F(xiàn)實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。即：假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，從而有最大值。于是從而解得所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，從而有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯(cuò)解1 錯(cuò)解2 錯(cuò)誤分析 在解法1中，的充要條件是即這是自相矛盾的。在解法2中，的充要條件是這是不能夠的。正確解法1 其中，當(dāng)正 確 解 法2 取正常數(shù)，易得其中“取“的充要條件是因此，當(dāng)?shù)谒闹v 數(shù)學(xué)思想的開(kāi)辟性一、概述數(shù)學(xué)思想開(kāi)辟性指的是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面思索；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多

30、種角度察看；對(duì)一個(gè)標(biāo)題能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，留意了橫向聯(lián)絡(luò)，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫穿，這里所說(shuō)的橫向聯(lián)絡(luò)，主要是靠一題多解來(lái)完成的。經(jīng)過(guò)用不同的方法處理同一道數(shù)學(xué)題，既可以開(kāi)辟解題思緒，穩(wěn)定所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，到達(dá)開(kāi)發(fā)潛能，開(kāi)展智力，提高才干的目的。從而培育創(chuàng)新精神和發(fā)明才干。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要親密留意每種解法的特點(diǎn)，擅長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡(jiǎn)捷解法。數(shù)學(xué)思想的開(kāi)辟性主要表達(dá)在：一題的多種解法例如 知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，求的最大值。我們可以思

31、索用下面幾種方法來(lái)處理：運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)方式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角方式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)三角不等式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系；數(shù)形結(jié)合運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與有公共點(diǎn)時(shí)，的最大值。一題的多種解釋例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋?zhuān)嚎梢钥闯勺栽诼潴w公式可以看成動(dòng)能公式可以看成熱量公式又如“1這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)詳細(xì)情況變成各種方式，使解題變得簡(jiǎn)捷?！?可以變換為：，等等。思想訓(xùn)練實(shí)例例1 知求證：分析1 用比較法。此題只需證為了同時(shí)利用兩個(gè)知條件，只需求察看到兩式相加等于2便不難處理。證法1 所以 分析2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用知的條件、定理和性質(zhì)等

32、，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋覓命題成立的充分條件。因此，證明過(guò)程必需步步可逆，并留意書(shū)寫(xiě)規(guī)范。證法2 要證 只需證 xMyd圖421O即 由于 所以只需證 即 由于最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3 運(yùn)用綜合法綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理主要是平均值不等式進(jìn)展推理、運(yùn)算，從而到達(dá)證明需求證的不等式成立的方法證法3 即 分析4 三角換元法：由于知條件為兩數(shù)平方和等于1的方式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)展三角代換的能夠，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來(lái)方便。證法4 可設(shè) 分析5 數(shù)形

33、結(jié)合法：由于條件可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)絡(luò)到點(diǎn)到直線(xiàn)間隔 公式，可得下面證法。證法5 如圖4-2-1由于直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心O，所以圓上恣意一點(diǎn)到直線(xiàn)的間隔 都小于或等于圓半徑1，即 簡(jiǎn)評(píng) 五種證法都是具有代表性的根本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有順應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍谠敿?xì)運(yùn)用過(guò)程中，根據(jù)標(biāo)題的變化的需求適當(dāng)進(jìn)展選擇。例2 假設(shè)求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必需有成立才行。此條件應(yīng)從知條件中得出。故此得到直接的想法是展開(kāi)知條件去尋覓轉(zhuǎn)換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于知條件具有輪換對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用

34、就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來(lái)便利。證法2 設(shè)那么于是，知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3 知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的構(gòu)造特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適宜上述條件的二次方程的求解的試探的時(shí)機(jī)。證法3 當(dāng)時(shí)，由知條件知即成等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知 即 成等差數(shù)列。簡(jiǎn)評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡(jiǎn)單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新穎的感受和啟發(fā)。知，求的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的構(gòu)造式具有兩個(gè)字母，但知

35、條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問(wèn)題。解法1 設(shè)，那么二次項(xiàng)系數(shù)為故有最小值。當(dāng)時(shí)， 的最小值為分析2 知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有親密關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 即即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 的最小值為分析3 配方法是處理求最值問(wèn)題的一種常用手段，利用知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的方式，從而到達(dá)求最值的目的。解法3 設(shè) 當(dāng)時(shí)，即的最小值為11Oxy圖422分析4 由于知條件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見(jiàn)方程的特點(diǎn)，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法4 如圖422，表示直線(xiàn)表示原點(diǎn)到直線(xiàn)上的點(diǎn)的間隔 的平方。顯然其中以原點(diǎn)到直線(xiàn)的間隔 最短。此時(shí)，即所以的最小值為注 假設(shè)設(shè)那么問(wèn)題還可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與圓有交點(diǎn)時(shí)，半徑的最小值。簡(jiǎn)評(píng) 幾種解法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是根本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)絡(luò)起來(lái)，所以具有乖巧簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，籠統(tǒng)直觀(guān)，值得效仿。設(shè)求證：分析1 由知條件為實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)，可提供設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程的能夠，在該二次方程有兩個(gè)